등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.
그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.
등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계
등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
Sn = a1 + a2 + … + an = Sn - 1 + an
마지막 줄을 보죠.
Sn = Sn - 1 + an
an = Sn - Sn - 1
등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.
이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?
그림으로 표현해볼까요?
근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.
그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?
an에 n = 1을 대입해서 S1와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 an에 n = 1을 대입한 값과 S1의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.
등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 Sn일 때
a1 = S1
an = Sn - Sn - 1 (n ≥ 2)
(an에 n = 1을 대입) = S1 → 제1항부터 등차수열
(an에 n = 1을 대입) ≠ S1 → 제2항부터 등차수열
제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합은 이에요. 전개해서 정리해보죠.
Sn을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.
특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d
a1 = S1인데 S1 = A + B고요.
등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 an = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.
- 등차수열의 일반항 an = An + B일 때 (n은 자연수)
공차 d = A
a1 = A + B - 등차수열의 합 Sn = An2 + Bn일 때 (n은 자연수)
공차 d = 2A
a1 = S1 = A + B
등차수열의 합 Sn = 2n2 + 3n일 때 일반항 an과 제1항을 구하여라.
제n항 an = Sn - Sn - 1이에요. 대입해보죠.
an = Sn - Sn - 1
= 2n2 + 3n - {2(n - 1)2 + 3(n - 1)}
= 2n2 + 3n - (2n2 - 4n + 2 + 3n - 3)
= 2n2 + 3n - 2n2 + n + 1
= 4n + 1
일반항 an = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.
제1항 a1 = S1이므로 a1 = S1 = 2 + 3 = 5
등차수열의 일반항 an = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 Sn = An2 + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.
an = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a1 = 5로 S1과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.
등차수열의 합 Sn = 2n2 + 3n + 4일 때 일반항 an과 제1항을 구하여라.
위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 Sn에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.
방법은 똑같으니까 한번 해보죠.
an = Sn - Sn - 1
= 2n2 + 3n + 4 - {2(n - 1)2 + 3(n - 1) + 4}
= 2n2 + 3n + 4 - (2n2 - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
= 2n2 + 3n + 4 - 2n2 + n - 3
= 4n + 1
일반항 an = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.
제1항 a1 = S1이므로 a1 = S1 = 2 + 3 + 4 = 9
an = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a1 = 5 ≠ S1 = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.
Sn에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.
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Sn 이차식이해가안갔는데 와~감사합니다.
수학방책 윗글이랑설명이똑같이되어있나요??
압축시켜서설명이잘되어있네요
그냥 내용 자체가 똑같아요.
수학방 교재 구입(http://mathbang.net/555)에 자세히 설명되어 있습니다.
수1은책이안나왔나보네요 ㅠㅠ
고2용 수1은 아직 안 나왔어요. ㅠㅠ
와 감사합니다 설명완전잘되어있네요 ㄷ ㄷ
고맙습니다. 공식 잊지말고 잘 외워두세요. ㅎㅎ
중간에 등차수열의 합 2n^2+3n 으로 예시푼거있잖아요 이러이러해서 일반항이 4n+1 이나왔는데 왜 뒤에 n은 2보다 크거나같다가 왜이죠? n은 1보다 크거나같다아닌가요?ㅜㅡㅜㅡㅜ
첫 번째 노란 상자 위쪽에 설명되어 있습니다.
만약에 제2항부터 등차수열일땐 일반항답을 뭐라고써야하나요? 일반항을쓰고 제1항은 따로쓰나요??
문제의 의도에 따라서 달라질 수 있겠지만 대부분 1항도 쓰고, 2항부터 적용되는 일반항도 쓰죠.
이 경우는 대게 "몇 번째 항부터 등차수열인가?를 묻는 유형이 아니면 그런 경우가 별로 없어요.
두번째노란박스부터 어렵네요ㅠ
꼭 알아야 하는건가요?
공식의 유도 과정이 조금 복잡해보여서 그렇지 결과만 보면 어렵지 않아요. 등차수열의 합 공식을 보고 일반항을 구하는 내용이에요.
두 어번 더 정독해보세요.