수학방

행렬의 뜻에 대해서 알아봤는데 이제는 조금 더 자세히 공부해보죠.

숫자나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 양쪽을 괄호로 묶어서 나타낸 것을 행렬이라고 하고 행렬을 이루는 숫자나 문자를 행렬의 성분이라고 해요. 이 글에서는 행렬의 성분을 여러 가지 방법으로 나타나는 법을 알아볼 거예요.

두 개의 행렬이 있을 때 두 행렬이 서로 같을 조건은 어떤 것인지 알아보죠. 두 행렬이 서로 같을 조건을 이용해서 문제도 풀어볼 거예요. 어떤 조건을 만족할 때 두 행렬이 서로 같을 수 있는지 기억해 두세요.

행렬의 성분

집합에서 집합은 알파벳 대문자로 나타내고, 원소는 알파벳 소문자로 나타내죠? 이처럼 행렬도 알파벳 대문자 A, B, C, … 를 써서 나타내고 행렬의 성분은 알파벳 소문자 a, b, c, … 를 이용해서 나타내요.

행렬 A의 제i행과 제j열이 만나는 곳의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라고 하고 기호로는 a_ij라고 써요. 읽을 때는 알파벳 그대로 a i j (에이 아이 제이)로 읽고요.

제1행 제2열의 성분은 a₁₂, 제3행 제5열의 성분은 a₃₅로 쓰지요.

때로 행렬을 A = (a_ij)로 나타내기도 해요. 이때는 i와 j에 해당하는 값을 함께 적어줍니다.

A = (a_ij) (i = 1, 2, 3, j = 1, 2)

i = 1, 2, 3은 i가 1, 2, 3이 될 수 있다는 말로 행렬 A가 제3행까지 있다는 뜻이에요. j = 1, 2는 j가 1, 2가 될 수 있다는 얘기로 행렬 A가 제2열까지 있다는 뜻이고요. 즉 3 × 2 행렬이라는 얘기죠.

3 × 2 행렬 A의 (i, j) 성분 a_ij = i +2j - 3일 때 행렬 A를 구하여라

3 × 2 행렬이니까 i = 1, 2, 3, j = 1, 2에요. 대입해보죠.

(1, 1) 성분 a₁₁ = 1 + 2 × 1 - 3 = 0
(1, 2) 성분 a₁₂ = 1 + 2 × 2 - 3 = 2
(2, 1) 성분 a₂₁ = 2 + 2 × 1 - 3 = 1
(2, 2) 성분 a₂₂ = 2 + 2 × 2 - 3 = 3
(3, 1) 성분 a₃₁ = 3 + 2 × 1 - 3 = 2
(3, 2) 성분 a₃₂ = 3 + 2 × 2 - 3 = 4

두 행렬이 서로 같을 조건

두 행렬 A, B의 행의 수와 열의 수가 같을 때 두 행렬을 같은 꼴의 행렬이라고 해요. A도 3 × 2 행렬이고 B도 3 × 2 행렬이면 두 행렬은 같은 꼴의 행렬이 되는 거죠.

두 행렬 A, B가 같은 꼴이고 대응하는 성분이 각각 같을 때 두 행렬 A, B는 서로 같다고 하고 기호로 A = B로 나타내요.

그러니까 행렬 A의 (i, j) 성분을 a_ij, 행렬 B의 (i, j) 성분을 B_ij라고 할 때 a_ij = b_ij이면 두 행렬이 서로 같은 거죠.

(A의 제1행 제1열의 성분) = (B의 제1행 제1열의 성분)
(A의 제1행 제2열의 성분) = (B의 제1행 제2열의 성분)

같은 위치에 있는 성분끼리 값도 같아야 서로 같은 행렬이에요.

두 행렬 A, B는 성분을 구성하는 숫자는 같지만, 성분의 위치까지 같은 건 아니라서 두 행렬은 같다고 할 수 없어요.

두 행렬 일 때

두 행렬 에 대하여 A = B일 때, a, b, c의 값을 구하여라.

위치가 같은 성분끼리 값도 같아야 두 행렬이 서로 같은 행렬이에요.

a + b = 4   … ①
a - c = 2   … ②
3 = 3
b - c = 4   … ③

①, ②, ③식을 미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법에 따라 풀어보죠.

① - ②하면 b + c = 2   … ④

③ - ④하면 -2c = 2 → c = -1 … ⑤

⑤를 ②에 대입하면 a + 1 = 2 → a = 1

⑤를 ③에 대입하면 b + 1 = 4 → b = 3

따라서 a = 1, b = 3, c = -1

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행렬, 행렬의 뜻, 정사각행렬

수학 1 첫 시간에 공부할 내용은 행렬이에요. 행렬은 이제까지 한 번도 본 적이 없는 내용이니까 주의하여 잘 보세요. 처음이긴 하지만 용어의 뜻을 잘 이해하면 어려운 내용은 아니에요.

이 글에서는 행렬이 무엇인지 알아보고 행렬에서 사용하는 여러 가지 용어들을 알아볼 거예요. 어려운 내용은 없으니까 그냥 쭉 한 번 읽어보세요.

행렬

수연이와 수정이가 가지고 있는 시계, 가방, 모자의 수를 표로 나타냈어요.

이 표에서 숫자들만 빼서 적은 다음에 양쪽에 괄호를 쳐주면 아래 같은 모양이 돼요.

이처럼 숫자나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 양쪽을 괄호로 묶어서 나타낸 것을 행렬(Matrix)이라고 해요. 또 행렬 속의 숫자나 문자를 그 행렬의 성분(entry)이라고 하고요. 여기서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 행렬의 성분이죠.

행렬에서 가로로 배열한 줄을 행(row)이라고 하고, 세로로 배열한 줄을 열(column)이라고 해요. 행과 열로 이루어져 있으니까 이름이 행렬이에요.

가로로 보면 1, 2, 3이 한 줄이고 4, 5, 6이 한 줄이죠? 1, 2, 3이 첫 번째 줄이니까 제1행, 4, 5, 6이 두 번째 줄이니까 제2행이라고 해요.

세로로 보면 1, 4가 한 줄이고, 2, 5가 한 줄, 3, 6이 한 줄이죠? 처음에 있는 1, 4를 제1열, 두 번째 있는 2, 5를 제2열, 세 번째 있는 3, 6을 제3열이라고 해요.

행렬을 한 번에 전부 다 쓰기도 하지만 필요에 따라 각 행과 열만 따로 떼서 쓰기도 하고 일부분만 쓰기도 해요.

행렬: 숫자나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 양쪽을 괄호로 묶어서 나타낸 것
행: 행렬의 가로줄
열: 행렬의 세로줄

m × n행렬, 정사각행렬

행의 개수가 m개, 열의 개수가 n인 행렬은 m행 n열인 행렬인데 이걸 m × n 행렬이라고 해요.

앞에서 봤던 행렬은 가로로 2줄 세로로 3줄, 2행 3열인 행렬이니까 2 × 3 행렬이라고 하지요.

2 × 2, 3 × 3 행렬처럼 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 그려보면 정사각형과 비슷한 모양이죠? 그래서 이런 행렬을 정사각행렬이라고 하는데, 행과 열의 개수가 2개면 2차 정사각행렬, 3개면 3차 정사각행렬, n개면 n차 정사각행렬이라고 해요.

빙고 게임을 할 때 보통 가로 5줄, 세로 5줄 총 25개의 칸을 만들어서 하죠? 이건 5 × 5 행렬, 즉 5차 정사각행렬이라고 할 수 있어요.