'행렬의 거듭제곱' 태그의 글 목록

케일리-해밀턴 정리
15

2014.02.16
행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱
8

2014.02.12

케일리-해밀턴 정리라는 것에 대해서 알아볼 건데요 꼭 알아야 하는 건 아니에요. 몰라도 상관없는데 알아두면 문제를 풀 때 도움을 받을 수 있어요. 케일리-해밀턴 공식 자체가 어렵지는 않은데요. 이 공식을 이용해서 풀어야하는 문제는 조금 어려운 문제예요. 그러니까 실제로 공식을 안다고 하더라도 문제에 적용하기가 만만치 않은 내용이죠. 이 내용이 너무 어렵다고 생각된다면 그냥 이런 게 있구나 하는 정도로 넘어가고 이해가 된다면 외워두고 문제 풀 때 활용하세요.

이왕 외워서 활용하기로 했다면 어떤 공식이고 어디에 사용하면 외워둔 보람을 느낄 수 있을지 잘 확인하세요.

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.

이상하게 생긴 공식이죠?

증명은 어렵지 않아요. 그냥 대입해서 전개해보세요.

이 공식은 행렬의 거듭제곱, 고차행렬, 다음에 공부할 역행렬 등과 관련된 문제를 풀 때 사용해요. 단순히 이 공식을 활용하는 문제라기보다는 어려운 문제를 풀 때 이 공식을 이용할 수 있도록 하는 문제들이에요. 그런데 이런 문제는 자주 나오는 문제도 아닐뿐더러 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않아도 풀 수 있는 수준의 문제가 나오죠. 하지만 이 공식을 알고 있다면 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.

2차 정사각행렬 가 A² - 4A + 3E = O를 만족할 때, 행렬 A를 구하여라.

행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

따라서 또는 이네요.

그런데 만약에 이라면 어떨까요? A를 문제에 나와 있는 식대로 계산해보죠.

은 A² - 4A + 3E = O라는 식도 만족하고 라는 기본꼴도 만족하죠. 그러니까 도 문제에서 원하는 답이 될 수 있어요.

그런데 케일리-해밀턴 정리를 적용해보세요.

-(3 + 3) ≠ -4
3² - 0 ≠ 3

어떤가요? 케일리-해밀턴 정리를 만족하지 않아요.

케일리-해밀턴 정리가 적용된 식을 이용해서 원래의 행렬을 구할 수 없다는 뜻으로 케일리-해밀턴 정리의 역은 성립하지 않는다는 얘기죠.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 원래를 행렬 A를 구하려면 다른 조건이 추가되어야 해요. 바로 행렬 A ≠ kE (k는 실수)라는 조건이요. 단위행렬 E의 실수배인 행렬이 아니라는 조건이요.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 문제를 풀려면 행렬 A ≠ kE인지 아닌지 확인하고 문제를 푸세요.

문제를 다시 풀어보죠.

ⅰ) A ≠ kE일 때: 케일리-해밀턴 정리를 이용해서 풀이

-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

또는

ⅱ) A = kE일 때: 행렬을 계산식에 직접 대입해서 풀이

a² - 4a + 3 = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
a = 3 or 1

또는

총 네 개의 행렬 A를 구했네요.

이 문제는 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것과 A = kE, A ≠ kE 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어야 한다는 걸 설명하기 위해서 낸 문제에요. 실제로는 이렇게 답이 여러 개인 문제는 나오지 않아요. 대게 행렬 A의 성분 중 한두 개 정도를 알려주는데 성분을 보면 A = kE인지 아닌지를 확인할 수 있어요.

이 문제를 풀었던 이유와 방법을 잘 이해하세요.

2차 정사각행렬 에 대하여 A⁴ - 5A³ - 2A² + A를 구하여라.

일단 행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
A² - 5A - 2E = O

A⁴ - 5A³ - 2A² + A
= A²(A² - 5A - 2E) + A
= A²O + A
= O + A
= A

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

정리해볼까요

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

행렬의 곱셈에 대한 항등원

<< 수학 1 수학 목차 >>

역행렬

그리드형

❮ ❯

행렬의 곱셈은 행렬의 실수배에 비하면 훨씬 어려워요. 행렬을 곱할 수 있는 조건이 있어 이 조건을 만족하지 않으면 곱셈을 하지 못하는 경우도 있어요.

게다가 계산방식도 매우 까다롭죠. 도형 문제처럼 행렬을 그리고 자리와 위치를 이용해서 계산 방식을 이해하도록 노력하세요. 행렬의 곱셈 계산은 연습을 많이 해봐야 해요. 교과서나 문제집에 있는 문제를 많이 풀어보세요.

또, 행렬도 숫자나 문자처럼 거듭제곱으로 나타낼 수 있는데 어떤 경우에 어떻게 나타내는지 알아보죠.

행렬의 곱셈

두 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i , j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라 하고 기호로 AB와 같이 나타내요.

행렬의 곱셈

그림에서 보면 행렬 A는 m × k 행렬이고 행렬 B는 k × n 행렬이에요. (행렬 A의 열의 개수 k) = (행렬 B의 행의 개수 k)이므로 두 행렬을 곱할 수 있어요. 행렬 A와 행렬 B를 곱한 결과인 행렬 AB는 m × n행렬이에요. × 기호의 앞에 있는 행렬의 행의 개수와 × 기호 뒤에 있는 행렬의 열의 개수를 따르죠.

그럼 반대로 B × A를 구할 수 있을까요? ×기호 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 두 행렬을 곱할 수 있어요.

B는 k × n 행렬이고 A는 m × k 행렬로 (B의 열의 개수 n) ≠ (A의 행의 개수 m)이므로 이 경우에 BA라는 행렬을 얻을 수는 없습니다.

A × B를 구해보죠.

A는 2 × 3 행렬, B는 3 × 2 행렬이므로 AB는 2 × 2 행렬이에요. 각 성분을 구해볼까요?

행렬의 곱셈 2

선으로 연결된 것끼리 곱한 값들을 더해요. 이런 과정을 반복하는 거죠.

행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁

행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂

정리해보죠.

좀 복잡해 보이죠? 문자로 되어있어서 그렇지 문제에는 숫자로 나오니까 실제로 해보면 이보다는 조금 더 쉬워요.

행렬의 곱셈
(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분