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폄면에서 두 직선의 위치관계에서 두 직선은 만나는 경우와 만나지 않는 경우가 있었어요. 만나는 경우는 2가지였으니까 전체 총 3가지 경우가 있었죠. 한 점에서 만난다, 일치, 만나지 않는다(평행)

공간에서 두 평면의 위치 관계는 한 점(교점)이 아니라 한 직선(교선)에서 만난다는 것 빼고는 평면에서 두 직선의 위치 관계와 똑같아요. 한 직선에서 만난다. 일치, 평행

두 평면 사이의 수직 관계

공간에서 평면과 직선의 수직에서 평면과 평면에 있지 않는 직선이 수직으로 만나는 경우를 공부했는데요. 평면 Q와 수직인 직선 l이 평면 P에 포함할 때, 평면 P와 평면 Q도 서로 수직이에요. Q ⊥ l → P ⊥ Q

두 평면 사이의 거리

평행한 두 평면 P, Q사이에는 거리를 구할 수 있어요. 평행하지 않은 평면 사이의 거리는 구할 수 없고요. 평행하지 않으면 사이가 일정하지 않으니까 위치에 따라 값이 달라지잖아요.

평행한 두 평면 중 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이를 평행한 두 평면 P, Q 사이의 거리라고 하고, 이 거리는 두 평면 사이 어디에서든 일정해요.
$P\quad\parallel\quad Q\quad\rightarrow\quad\overline{AB}\quad=\quad\overline{CD}$

반대로 서로 다른 점에서 구한 거리가 일정하면 두 평면은 평행이에요.

점과 선, 각 등에서 쭉 공부해오고 있는데요.

이제는 점과 선의 위치 관계에 대해서 공부할 거예요. 서로 어떤 위치에 있는가인데 어렵게 생각하지 마세요. 서로 만나느냐 만나지 않느냐 평행하냐를 따지는 거예요.

예를 들어, 두 직선이 만나는지, 두 직선이 평행한지, 두 직선이 일치하는지를 구분하는 거죠.

지금 여기서 공부할 내용은 평면에서 점과 직선의 위치관계, 평면에서 두 직선의 위치관계예요.

점과 직선의 위치관계

한 평면 위에 점과 직선이 있을 때 서로 어떤 위치에 있는지 알아보죠.

먼저 점이 직선 위에 있을 때가 있어요. 점이 직선 위에 있다는 말은 직선이 점을 지나간다는 얘기지요. 문제에서 직선 위의 점 어쩌고저쩌고 나오면, 직선이 점을 지나가는 구나 하고 생각하면 돼요.

점이 직선 위에 있지 않을 때도 있겠지요? 이때를 다르게 표현하면, 직선이 점을 지나지 않는다고 표현할 수 있겠죠? 다른 말로 직선 밖의 점이라고 하는데 자주 쓰이는 말은 아니에요.

아래 그림에서 왼쪽은 점이 직선 위에 있는 것으로 직선 위의 점이라고 하고, 오른쪽은 점이 선 위에 있지 않은 것으로 직선 위에 있지 않은 점이라고 말해요.

여기서 말하는 위는 위, 아래 방향이 아니라는 걸 이해해야 해요.

점이 직선 위에 있느냐 없느냐는 직선이 점을 지나느냐 지나지 않느냐로 표현할 수도 있는 거예요.

두 직선의 위치관계

평면에서 두 직선의 위치관계에 대해서 알아볼까요?

평면이라고는 하지만 우리가 익히 아는 그냥 종이 위에 그린 그림이라고 생각하면 쉬워요. 평면이라고 다를 게 없어요.

평면에서 두 직선은 세 가지의 위치관계가 있어요. 첫 번째는 두 직선이 한 점에서 만나는 경우이고, 두 번째는 평행한 경우, 세 번째는 일치하는 경우예요.

직선이 두 점 이상에서 만나면 두 직선이 일치한다고 할 수 있어요. 두 점을 지나는 직선은 하나 밖에 없거든요. 거꾸로 말해 두 직선이 일치하면 두 개 이상의 점에서 만난다고 할 수 있는 거죠.

두 직선이 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 한꺼번에 두 직선이 만나는 경우라고 할 때도 간혹 있어요.

그리고 여기에서 생각하는 평면은 아주아주 넓은 평면이에요. 아래 그림처럼 그려진 평면이 작아서 두 직선이 만나지 않을 때 '직선이 만나지도 않고, 평행도 아니고, 일치하는 것도 아닌데요.' 하는 학생은 없기 바랍니다. 평면을 더 크게 그리면 두 직선은 만나게 되어 있어요. 직선이 끝이 없이 계속되는 것처럼 평면도 끝이 없어요.

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공간에서 두 직선의 위치관계, 평면과 직선의 위치관계

우리가 지금까지 공부했던 직선, 반직선, 선분, 각 등은 모두 평면에서 구했던 거예요. 평면이라는 게 어렵게 들릴 수도 있지만 그냥 간단히 도화지라고 생각하면 돼요. 지금까지 그냥 하얀 종이 위에 직선을 그려놓고 그 관계를 알아봤잖아요.

함수에서 그래프 그렸던 모눈종이처럼 생긴 좌표평면 기억나죠? 그게 바로 평면이에요.

평면이라는 말이 새롭게 들어간다고 해서 절대로 어려워하지 마세요. 면 중에서 평평한 면을 평면이라고 하는 거니까요.

기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 선은 점이 여러 개 모인 거였죠? 선이 여러 개 모이면 면이 되고요. 그런 점이 여러 개 모이면 면이 되는 거잖아요. 점 몇 개가 있어야 면을 만들 수 있을까요? 또 선이 몇 개가 있어야 면을 만들 수 있을까요?

평면의 결정조건

평면을 만드는 방법은 여러 가지가 있어요. 그런데 그중에서도 딱 하나의 평면만 만들 수 있는 조건들이 있어요. 이런 조건들을 평면의 결정조건이라고 해요.

그러니까 어떤 조건을 주면 다른 평면을 만들고 싶어도 못 만들고, 정해진 딱 하나의 평면만 만들 수 있는 거예요. 같은 조건을 가지고 어떤 사람은 A라는 평면을 다른 사람은 B라는 평면을 만든다면 그건 평면의 결정조건이라고 할 수 없어요.

평면의 결정조건에는 네 가지가 있어요. 하나씩 알아보죠.

① 한 직선 위에 있지 않은 점이 세 개 있으면 평면을 만들 수 있어요. 점이 직선 위에 있지 않다는 건 직선이 그 점을 지나지 않는다는 뜻이에요. 그러니까 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 세 점을 동시에 지나는 직선이 없다는 거죠. 점 세 개를 연결해서 삼각형을 그린다고 생각해보세요. 그 삼각형은 평면이죠? 이 삼각형을 양쪽으로 계속 늘릴 수 있잖아요. 그럼 아주 넓은 평면이 만들어져요.

② 한 직선과 직선 위에 있지 않은 점이 하나 있으면 평면을 만들 수 있어요. 한 직선이 있다는 말은 직선 위에서 점 두 개를 가져올 수 있다는 뜻이죠? 직선 위의 두 점과 직선 밖의 한 점을 이용해서 ①번과 같은 방법으로 평면을 만들 수 있겠죠?

③ 한 점에서 서로 만나는 두 직선이 있으면 평면을 만들 수 있어요. 각 직선에서 두 점을 가져오면 총 네 개의 점이 찍히겠죠? 그다음 네 점을 연결하면 사각형 모양의 평면이 생길 거예요. 물론 이걸 확장하면 매우 넓은 평면을 만들 수 있고요.

④ 서로 평행한 두 직선이 있으면 ③번과 같은 방법으로 평면을 만들 수 있어요.

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