직각
각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도
이전 글 작도, 수직이등분선의 작도에 이어서 이번에는 각의 이등분선과 직각의 삼등분선을 작도해볼거예요.
작도는 그냥 설명만 봐서는 잘 이해가 안 돼요. 컴퍼스와 자를 가지고 직접 그려봐야 해요. 연습장에 컴퍼스와 자를 이용해서 순서대로 따라 해보고, 나중에는 설명 없이 혼자서 그려보세요.
설명 없이 혼자서 척척 해낼 때의 성취감은 그냥 일반적인 문제를 풀 때보다 더 많이 생길 거예요.
직접 해보면 이해하기는 어렵더라도 머리 속에 더 오래 남아요. 해보지 않으면 금방 잊어버리니까 꼭 직접 해보세요.
각의 이등분선의 작도
각이 있는데, 몇 °인지 몰라요. 하지만 이 각을 절반으로 나누는 선을 그릴 수 있어요. 물론 이등분한 각도 몇 °인지는 모르겠지요?
각의 이등분선을 작도해보죠.
- 각 XOY를 그려요.
- 컴퍼스를 적당히 벌려서 점 O에 바늘을 놓고 원을 그려요. 선분 OX와 원이 만나는 점을 점 A라고 하고, 선분 OY와 만나는 점을 점 B라고 하지요.
- 점 A에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 사용했던 반지름과 달라도 상관없어요.
- 이번에는 ③에서 사용했던 반지름 그대로 점 B에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. ③의 원과 한 점에서 만나죠? 이 점을 점 C라고 할게요.
- 점 C와 점 O를 자로 연결해요. 이 선분 OC가 바로 각 O의 이등분선입니다.
각의 이등선의 특징을 알아볼까요?
각의 이등분선이니까 각 XOC와 각 YOC는 같겠죠.
선분 OA의 길이과 선분 OB의 길이가 같아요. 이등분선의 작도 ②단계에서 점 O를 중심으로 그은 원이니까 당연히 같겠죠.
이등분선의 작도 ③, ④단계에서 같은 반지름으로 그렸으니까 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이도 같아요.
점 C에서 선분 OX에 내린 수선의 발을 점 P, 점 C에서 선분 OY에 내린 수선의 발은 점 Q라고 할 때, 선분 CP의 길이와 선분 CQ의 길이가 같아요. 삼각형 OCP와 삼각형 OCQ가 똑같거든요.
직각의 삼등분선의 작도
일반적인 각은 삼등분선을 작도할 수 없지만, 직각만 유일하게 삼등분할 수 있어요.
정삼각형은 세 변의 길이가 같잖아요. 세 변의 길이가 같고 또 세 각의 크기가 같아요. 이 성질을 이용해서 직각을 삼등분하는 겁니다. 직각을 삼등분했으니 한 각은 30°가 되겠죠?
- 각 XOY를 그려요. 이 각 XOY는 직각이에요.
- 점 O에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 선분 OX가 만나는 점을 점 A, 선분 OY와 만나는 점을 B라고 하지요.
- ②에서 사용한 원의 반지름 그대로 점 A에 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 C라고 할게요.
- 같은 반지름으로 점 B를 중심으로 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 D라고 하지요.
- 점 O와 점 C를 연결하고, 점 O와 점 D를 연결하세요. 이 두 선분이 각 XOY를 삼등분하는 선입니다.
- 참고로 ③, ④의 원이 만나는 점을 점 E라고 할 때, 점 O와 점 E를 연결하면 각의 이등분선이 돼요.
점 A와 점 C는 ②에서 그린 원 위에 있는 점이에요. 그러니까 선분 OA의 길이와 선분 OC의 길이는 같겠죠?
또 ③에서 그린 원과 ②에서 그린 원의 반지름이 같으니까 선분 AC의 길이는 선분 OA의 길이와 같아요.
즉 삼각형 OAC가 세 변의 길이가 같은 정삼각형이라는 거지요. 정삼각형의 한 각의 크기는 60°로 모두 같아요. 따라서 ∠AOC가 60°니까 ∠XOY에서 ∠AOC를 뺀 나머지 ∠BOC는 30°예요.
같은 이유로 ∠AOD도 30°고, ∠COD도 30°지요.
∠AOB = 90°
∠AOC = ∠BOD = 60°
∠AOD = ∠BOC = ∠COD = 30°
∠AOE = ∠BOE = 45°
직각의 삼등분선 작도에서 제일 중요한 건 컴퍼스의 폭이 바뀌지 않는다는 거예요. 그리는 원의 반지름이 모두 같아야 하는 것에 주의하세요.
작도할 수 있는 각
위에서 공부한 내용을 어떻게 활용할까요? 이제 우리는 각도기가 없어도 몇 가지 각을 작도할 수 있어요.
제일 먼저 직선의 수직이등분선을 이용하면 90°를 작도할 수 있죠? 이 직각을 각의 이등분선 작도를 하면 45°를 그릴 수 있고요. 직각을 삼등분선을 그리면 30°와 60°를 그릴 수 있어요.
그 다음에 이 30°, 45°, 60°, 90°를 각의 이등분하면 각각 15°, 22,5° 등도 만들 수 있겠죠?
또 30°를 그린 다음에 그 선분을 연장해서 거기에 직각을 그리고 각의 이등분선을 긋는다면 30° + 45° = 75°까지 그릴 수 있어요. 다시 말해서 작도할 수 있는 각을 더하거나 빼서 나오는 각도 작도할 수 있는거지요. 90° + 45° = 135° 같은 각도 작도할 수 있는 거지요.
수직이등분선의 작도 → 90°
직각의 삼등분선의 작도 → 30°, 60°
각의 이등분선의 작도 → 45° 22.5° 15° 등
위 방법을 혼합 → 위에서 작도할 수 있는 각을 서로 더하거나 뺀 각 ex) 30° + 45° = 75°
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이번 글에서는 각에 대해서 알아볼 거예요. 초등학교 다닐 때에는 두 직선이 만나서 생기는 게 각이라고 공부했어요
이제 중학생이니까 조금 다르게 그리고 조금 더 정확하게 각의 의미를 공부할 거예요.
각의 정의와 각을 기호로 어떻게 표시하는지 각의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.
각의 정의, 각의 표시
각은 한 점 O에서 시작하는 두 반직선 OA, OB로 이루어지는 도형을 말하고 이것을 각 AOB라고 불러요.
각 rㄴㄷ과 각 ㄷㄴr은 같은 거잖아요. 각 AOB와 각 BOA는 같은 거예요.
각은 기호로 ∠ 로 표시해요. "니은"자 모양인데, 옆으로 약간 기울어져 있어요. 그래서 각 AOB는 ∠AOB로 쓰고, 각 BOA는 ∠BOA로 써요.
각은 세 알파벳을 모두 쓰지 않고, 각이 있는 부분의 꼭짓점의 알파벳을 이용해서 ∠O라고 하기도 하고, 각의 크기를 이용해서 ∠a로 나타내기도 해요. 똑같은 각을 나타내는 방법이 여러 가지인데 모두 다 알고 있어야 해요.
∠AOB = ∠BOA = ∠O = ∠a
각의 크기와 종류
각의 크기는 ∠AOB에서 반직선 OA가 점 O를 중심으로 반직선 OB까지 회전한 정도를 말하지요. 쉽게 말해서 두 반직선 사이의 벌어진 정도인데, 각의 크기를 알 때는 숫자로 표시하지만 정확한 값을 알 수 없을 때 대게 알파벳 소문자로 표시해요.
각은 그 크기에 따라 종류를 나눠요.
평각은 평평한 각이에요. 평평하다는 건 굴곡이 없이 고른 걸 말하잖아요. 그러니까 각을 이루는 두 반직선 OA와 OB가 직선을 이룰 때를 평각이라고 해요. 물론 점 O는 A와 B 사이에 있어야겠죠? 평각은 크기가 180°에요.
직각은 직각삼각형, 직사각형에서 볼 수 있어요. 직각은 평각의 
예각은 0°보다 크고 90°보다 작은 각을 말해요. 0°는 예각이 아니에요. 각을 나타내는 기호인 ∠은 예각의 모양을 작게 그린 거예요.
둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 각을 말해요.
각을 크기에 따라서 네 가지로 나눌 수 있겠죠?
다음 그림에서 예각을 모두 찾으시오.
예각은 0°보다 크고 90°보다 작은 각이에요. 그림에서 90°보다 작은 각을 찾아보죠.
먼저 점 A에서 생기는 각 중 90°보다 작은 각은 ∠CAF, ∠EAF(=∠BAF) 두 개네요.
점 B, C, D에는 직각밖에 없어서 넘어가고요.
점 E에서는 ∠BEF가 예각이고, ∠AEF는 둔각이네요.
점 F에서는 ∠AFC, ∠AFE, ∠EFC의 예각 세 개, ∠AFD, ∠DFE의 둔각이 두 개 있어요.
따라서 예각은 ∠CAF, ∠EAF, ∠BEF, ∠AFC, ∠AFE, ∠EFC의 총 여섯 개입니다.
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