수학방

이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.

이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.

중근을 알려주었을 때

중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.

두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)² = 0라는 식이 돼요.

주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.

중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)² = 0

x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

공식에 바로 대입하죠.

2(x - 3)² = 0
2(x² - 6x + 9) = 0
2x² - 12x + 18 = 0

생각보다 어렵지 않죠?

계수가 유리수인 이차방정식

계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.

계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.

근의 공식을 한 번 생각해보세요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은이고 다른 한 근은이니까요.

그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.

계수가 유리수고 한 근이 m + n이면
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수, ≠ 0)

두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.

두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

한 근이 2 -이고 계수가 유리수인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2이다.)

일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 - 라면 다른 근은 2 + 에요.

두 근의 합은 (2 - ) + (2 + ) = 4
두 근의 곱은 (2 - )(2 + ) = 4 - 5 = -1

따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.

2(x² - 4x - 1) = 0
2x² - 8x - 2 = 0

주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면

여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.

예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +이니까 무리수 부분의 부호만 바꿔서 다른 근을 구하면 3 - = 3이 되죠? 그렇다면 두 근 모두 3이니까 중근이라고 할 수 있을까요?

절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.

(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요

함께 보면 좋은 글

합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식

이차방정식에서 근을 구하는 방법을 모두 배웠어요. 간단하게 정리해보자면 먼저 인수분해를 해서 구하고, 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하는 거죠.

이제는 거꾸로 생각해볼까요?

이차방정식을 주고 그 해를 구하는 게 아니라 해를 알려주고 이차방정식을 구하는 경우요.

이번 글에서는 이차방정식의 두 근을 알려주었을 때와 두 근 대신 두 근의 합과 곱을 알려주었을 때 이차방정식을 구하는 방법을 공부해보죠.

두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기

방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거에요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, x = 2

두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α, β
(x - α)(x - β) = 0
x² - (α + β)x + αβ = 0

두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

거꾸로 주어진 두 근을 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 이 식을 전개해서 이차방정식을 구하는 거예요.

두 근이 2, 3이므로
(x - 2)(x - 3) = 0
x² - 5x + 6 = 0

두 근이 4, 5이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식을 구하여라.

위 문제와 다른 점은 이차항의 계수가 1이 아닌 3이라는 거예요.

(x - 4)(x - 5) = 0
x² - 9x + 20 = 0

여기에 이차항의 계수가 3이라고 했으니 3x² - 9x + 20 = 0이라고 쓰면 될까요? 절대 안돼요. 3x² - 9x + 20 = 0에 x = 4를 넣으면 식이 성립하지 않아요. 그러니까 이 식은 4를 근으로 갖지 않는 거죠.

이차항의 계수가 1이 아닐 때는 인수분해로 만든 식에 이차항의 계수 곱해줍니다. 위에서 만든 식이 (x - 4)(x - 5) = 0였으니까 여기에 이차항의 계수 3을 곱하면 3(x - 4)(x - 5) = 0이 되는 거죠.

이 식을 전개하면 3x² - 27x + 60 = 0가 되는데 이게 문제에서 구하는 이차방정식이에요.

두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기

두 근이 아니라 합과 곱이 주어졌을 때입니다. 이 때는 근을 구할 필요가 없어요.

위에서 사용했던 공식 a(x - α)(x - β) = 0의 괄호 부분을 전개해보세요. 식이 어떻게 되나요?

a(x - α)(x - β) = 0
a{x² - (α + β) x + αβ} = 0

이 전개식에 합과 곱을 집어넣으면 돼요.

두 근의 합이 2이고 곱이 -8인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2)

두 근의 합과, 곱, 이차항의 계수를 알려주었네요.

a(x² - 합x + 곱) = 0
2(x²  - 2x - 8) = 0
2x²  - 4x - 16 = 0