연립부등식의 해
여러가지 연립부등식
연립부등식의 풀이는 공통해를 찾는 과정이 중요해요. 수직선을 통해서 충분히 연습해봐야 합니다.
연립방정식에서 A = B = C 꼴의 연립방정식을 푼 기억이 나죠? 어떻게 풀었나요? A = B, B = C, A = C 중 두 개를 선택해서 연립방정식으로 풀었었죠?
이렇게 생긴 게 연립부등식에서 있어요. A < B < C인데요. 방법이 약간 달라요.
이거는 무조건 A < B, B < C를 연립해서 풀어야 해요. A < C라는 식을 만들어서는 안 됩니다. A < C라는 식에서는 A와 B, B와 C 사이의 대소를 알 수가 없잖아요. 그래서 엉뚱한 답이 나오거든요.
A < B < C → A < B and B < C
3x - 2 ≤ 2x + 4 < 20 + 4x의 해를 구하여라.
A < B < C 꼴이기 때문에 A < B와 B < C로 나누어서 연립부등식을 만들어야 해요.
3x - 2 ≤ 2x + 4와 2x + 4 < 20 + 4x로 나눌 수 있겠군요.
3x - 2 ≤ 2x + 4 2x + 4 < 20 + 4x
3x - 2x ≤ 4 + 2 2x - 4x < 20 - 4
x ≤ 6 -2x < 16
x > -8
해는 x ≤ 6과 x > -8의 공통부분인 -8 < x ≤ 6이에요.
해가 특별한 연립부등식
미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 묶은 연립방정식에서는 보통 해가 한 쌍이었어요. 그런데 해가 특수한 연립방정식에서는 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?
연립부등식에서도 보통은 해가 일정한 범위를 갖게 나오는데요, 그렇지 않은 경우가 있어요. 해가 한 개일 때도 있고 해가 하나도 없을 때도 있어요.
수직선으로 표현해보면 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
아래 그림에서는 두 부등식의 해의 공통부분이 a라는 수로 딱 떨어져요. 이때는 x = a라는 하나의 해만 갖게 돼요.
다음에는 해가 하나도 없을 때가 있어요. 즉 공통부분이 하나도 없다는 거지요. 빈 동그라미와 까맣게 칠해진 동그라미를 잘 구별해야 해요.
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연립부등식에 대해서 배워볼까요? 연립이라는 단어는 연립방정식에서 이미 들어본 단어입니다. 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 것이었죠. 연립부등식은 부등식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요.
연립방정식의 해는 묶여있는 방정식들을 모두 만족시키는 미지수의 값이었죠? 마찬가지로 연립부등식의 해는 묶여있는 모든 부등식을 만족시키는 해에요. 부등식들의 해의 공통부분을 찾으면 돼요.
연립방정식과 연립부등식의 차이를 알아보죠.
우리가 배운 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개가 있었어요. 하지만 연립부등식은 미지수가 x 하나에요.
연립방정식을 풀 때는 가감법, 대입법을 이용해서 풀었는데, 이 방법들은 기본적으로 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요. 그런데 연립부등식은 미지수가 하나니까 따로 특별한 방법이 필요한 게 아니에요.
연립부등식은 미지수도 하나고, 특별한 방법이 필요한 것이 아니라서 연립방정식보다 조금 더 쉬워요.
연립부등식의 풀이
연립방정식에서는 두 식을 한꺼번에 이용해요. 두 식을 더하거나 한 식을 다른 식에 대입하거나요.
하지만 연립부등식은 두 식을 한꺼번에 이용하지는 않아요. 식의 독립성(?)을 유지해요. 부등식별로 따로 해를 구한 다음에 공통인 부분을 찾아서 표시합니다.
- 각 부등식의 해를 구한다.
- 두 부등식의 해의 공통부분을 찾는다.
연립부등식 3x - 4 < 2x + 3 와 3x - 6 ≥ 2x - 1을 풀어라.
3x - 4 < 2x + 3 3x - 6 ≥ 2x - 1
3x - 2x < 3 + 4 3x - 2x ≥ -1 + 6
x < 7 x ≥ 5
각 부등식의 해를 구했으니까 이제 공통인 부분을 찾아야 하는데, 수직선으로 표시해보면 쉽게 알 수 있어요.
연립부등식의 해 - 수직선으로 구하기
제일 오른쪽에서 보라색으로 표시된 부분이 바로 두 부등식의 공통부분 즉, 연립부등식의 해에요. 5 ≤ x < 7
각각의 해를 수직선에 그린 뒤 두 수직선을 합치면 되는데, 실제로 문제를 풀 때는 수직선 하나에 함께 그리세요. 높이를 다르게 해서 구분하면 되니까요.
나중에 익숙해지면 수직선을 그리지 않고 바로 구할 수도 있어요.
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