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최대공약수에 이어 최소공배수에요. 최소공배수가 뭔지는 다 알고 있죠?

최대공약수와 최소공배수 구하는 방법은 한 끗 차이에요. 기본적인 방법은 같으니까 그 차이만 기억한다면 어렵지 않은 부분이죠. 대신 둘을 헷갈리면 안 돼요.

또 어떤 친구들은 최대공배수, 최소공약수라는 표현을 쓰기도 하는데, 이는 잘못된 내용이니까 틀리지 않도록 주의하세요.

최소공배수 구하는 방법을 하기 전에 최대공약수, 최대공약수 구하는 방법을 미리 한번 읽어보면 더욱더 잘 이해가 될 거예요.

최소공배수

공배수는 2개 이상의 자연수의 공통된 배수죠. 이 공배수 중에서 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요.

공배수를 구할 때는 두 수의 배수를 죽 쓰고, 그중에 공통으로 들어있는 걸 찾았죠? 이제부터는 다른 방법을 이용할 거예요. 공배수는 최소공배수의 배수라는 성질을 이용하는 거죠.

5와 6의 공배수를 찾아볼까요?
5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, ….
6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, …
5과 6의 공배수: 30, 60, 90, …

5와 6의 최소공배수는 30이에요. 30의 배수는 30, 60, 90, 120, … 이죠. 바로 5와 6의 공배수와 같아요. 즉 어떤 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수라는 걸 알 수 있어요.

이제부터 공배수를 구할 때는 최소공배수만 구하고, 그 최소공배수의 배수를 구하면 되는 거예요.

최소공배수: 공배수 중 가장 작은 공배수
둘 이상의 자연수의 공배수 = 최소공배수의 배수

최소공배수 구하는 방법

최소공배수를 구하는 방법은 두 가지에요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 방법이에요.

공약수로 나누기

방법은 최대공약수 구하는 방법과 같아요. 두 수를 적고, 서로소가 나올 때까지 계속 공약수로 나누는 거지요. 차이가 있다면 최대공약수에서는 공약수들만 곱했는데, 최소공배수는 공약수에 서로소까지 곱하는 거예요.

60과 48의 최소공배수를 구해볼까요?

위처럼 됐는데, 최대공약수는 왼쪽에 있는 2² × 3 = 12이에요.
최소공배수는 2² × 3에 아래에 있는 서로소(5, 4)까지 곱해서 2² × 3 × 5 × 4 = 2⁴ × 3 × 5 = 240이지요.

만약에 세 자연수의 최소공배수를 구하려 한다면 조금 달라져요.

③에 보면 15, 12, 10이라는 숫자가 있는데, 세 숫자의 공약수가 아닌 2로 나눴지요? 세 수에서 공약수를 찾을 수 없을 때는 두 수를 선택해서 둘의 공약수로 나눠주는 거예요. 그럼 두 수는 공약수로 나누고, 나뉘지 않는 다른 한 수는 그냥 그대로 쓰면 돼요. 15, 12, 10을 2로 나눴더니 15는 그대로 12는 6, 10은 5로 되었지요?

④에서도 마찬가지예요. 15, 6, 5라는 세 숫자는 공약수가 없어요. 그래서 15와 6만 공약수인 3으로 나눠주고 5는 나뉘지 않으니까 그대로 5에요.

⑤ 5, 2, 5에서는 5로 나눈 거지요.

숫자가 세 개일 때는 세 수에서 모두 서로소가 나올 때까지 계속 나누는 거예요.

60, 48, 40의 최소공배수는 2⁴ × 3 × 5 = 240이네요.

지수이용

지수를 이용할 거니까 숫자를 소인수분해를 해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

최대공약수는 공통인 소수를 쓰되, 지수가 작은 걸 썼죠? 최소공배수는 달라요. 공통이든 아니든 모든 소수를 다 쓰되, 공통인 건 지수가 큰 걸 써요.

60과 48의 최소공배수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴에요. 48에 있는 2의 지수가 더 크네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최소공배수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 큰 걸 쓰고, 공통이 아닌 소수는 모두 다 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2⁴이 지수가 크죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 1로 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 48에는 들어있지 않지만 60에는 들어있으니까 5도 쓰고요. 최종적으로 60과 48의 최소공배수는 2⁴ × 3 × 5네요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최소공배수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수와 서로소를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 높은 수들과 공통되지 않은 모든 소수 곱. 소인수분해가 된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최소공배수를 구하여라. (1) 72, 126       (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최소공배수는 왼쪽에 있는 공약수와 아래에 있는 소수들의 곱이므로 2 × 3² × 4 × 7 = 2³ × 3² × 7

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²과 2³중 지수가 큰 건 2³
5는 한쪽에만 들어있으니까 쓰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 큰 7²을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최소공배수는 2³ × 5³ × 7²이에요.

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이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.

이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.

공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.

최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

최대공약수

최대공약수의 뜻과 성질

공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.

최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.

예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.

이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.

최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.

최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1

최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.

최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기

소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.

바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.

60과 48의 최대공약수를 구해보죠.

60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.

왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 2² × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.

한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.

60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?

최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용

두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해 볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2²이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 2² × 3이에요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126      (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 3²

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²와 2³중 지수가 작은 건 2²
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 2² × 7이에요.

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초등학교에서는 약수를 구할 때, 곱하기를 이용해서 구했어요. 중학생이니까 조금 더 세련된 방법으로 약수를 구해야겠죠?

약수를 구하는 것뿐 아니라 약수의 개수를 구하는 방법도 공부할 거예요. 약수를 모두 구하지 않고도 약수의 개수를 구하는 방법이요.

두 가지 모두 소인수분해를 통해서 구하는 거예요. 소인수분해를 한 후에 거듭제곱으로 나타내는데, 거듭제곱과 약수와의 관계를 잘 이해해야 해요.

소인수분해를 이용하여 약수 구하기

72의 약수를 구해보죠. 72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9

72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72이고, 12개네요.

그런데 만약에 72가 아니라 100이 넘어가는 수라면 하나씩 찾기가 너무 어렵겠죠? 이럴 때 소인수분해를 이용하면 약수를 쉽게 구할 수 있어요.

일단 72를 소인수분해하면 2³ × 3²이 나와요.

72는 2³과 3²이 곱해진 걸 알 수 있어요. 2³의 약수를 따로 구하고, 3²의 약수를 따로 구해서 각각을 서로 곱해주면 72의 약수가 되는 거예요. 2³의 약수는 직접 계산할 필요없이 지수를 이용해서 구할 수 있어요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구할 수 있어요. 예를 들어 2¹⁰⁰의 약수는 2, 2², 2³, 2⁴, … 이렇게 쭉 나가다가 2⁹⁹, 2¹⁰⁰이 되는 거죠. 그리고 모든 수의 약수인 1도 함께 써주면 돼요.

2³의 약수는 1, 2, 2², 2³이에요.

3²의 약수는 뭘까요? 일단 1을 쓰고, 3, 3²이에요.

1, 2, 2², 2³과 1, 3, 3²을 각각 곱하면 돼요. 표를 이용해서 곱해보죠.

표를 잘 보면 곱하기를 이용해서 구했던 약수들과 똑같죠? 처음이라 이 방법이 복잡해 보일 수 있지만 어느 정도 숙달만 되면 곱하기를 이용해서 구하는 것보다 더 정확하고 빨리 약수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용해서 약수 구하기
주어진 수를 소인수분해 → 거듭제곱의 약수를 모두 구하여 서로 곱한다.

135의 약수를 모두 구하여라.

먼저 135를 소인수분해부터 해야겠죠?

135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 3³ × 5

135의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135네요.

이번에는 150의 약수를 구해볼까요? 150을 소인수분해하면 150 = 2 × 3 × 5²이죠.

소인수가 3개인데, 이때는 먼저 소인수 2, 3의 약수를 이용해서 150의 약수를 구하고, 이렇게 구한 약수와 남은 소인수 5의 약수들을 곱해서 150의 약수를 구해요.

2와 3을 이용해서 약수를 구했더니 위 표처럼 나왔네요. 이 표에서 구한 약수 1, 2, 3, 6과 소인수 5의 약수 1, 5, 5²을 각각 곱해서 150의 약수를 구해보죠.

150의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150으로 총 12개네요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기

이번에는 약수를 구하는 게 아니라 약수의 개수만 구하는 거예요.

물론 약수를 모두 구하면 약수의 개수도 알 수 있죠. 하지만 약수를 구하지 않고도 약수의 개수를 구할 수 있어요.

위 예제의 표를 보세요. 135의 약수의 개수는 8개에요. 표의 칸 수가 몇 개인가요? 8개죠. 바로 이걸 이용해서 약수의 개수를 구하는 거예요.

135 = 3³ × 5에요. 3³의 약수의 개수는 1, 3, 3², 3³이므로 4개, 5의 약수의 개수는 1, 5이므로 2개죠. 각각의 약수의 개수인 4와 2를 곱하면 8이고 이게 바로 135의 약수의 개수에요.

소인수분해를 이용해서 약수의 개수를 구하는 방법은 지수를 이용하는 거에요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구한다고 했어요. 3³의 약수는 3, 3², 3³과 모든 수의 약수 1을 해서 4개죠. 그럼 약수의 개수는 지수의 개수보다 1개 더 많죠? 바로 이걸 이용하는 거지요.

135 = 3³ × 5에서 3의 지수 3에 1을 더하고, 5의 지수 1에 1을 더해요. (3 + 1) × (1 + 1) = 8

72 = 2³ × 3²이에요. 약수의 개수는 2의 지수 3에 1을 더한 것과 3의 지수 2에 1을 더해서 곱한 (3 + 1) × (2 + 1) = 12(개)가 되는 거죠.

소인수분해를 이용해서 약수 개수 구하기: 각 소인수의 지수에 1을 더해서 서로 곱함
소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

다음 수의 약수의 개수를 구하여라.
(1) 36         (2) 2³ × 3 × 5²

(1)번 36을 소인수분해하면 2² × 3²이 나오네요. 약수의 개수는 각 소인수의 지수에 + 1해서 곱하는 거니까 (2 + 1) × (2 + 1) = 9(개)에요.

(2)번은 소인수분해를 한 게 3개의 소인수로 되어 있어요. 소인수의 개수가 2개든 3개든 상관없어요. 각 소인수의 지수에 + 1 해서 곱해주는 건 똑같아요. 소인수 3에는 지수가 안 쓰여 있는데 이건 지수가 1이란 걸 말하죠? (3 + 1) × (1 + 1) × (2 + 1) = 24(개)

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소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.

이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.

이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.

소인수분해

약수와 인수, 소인수

나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지)

여기서 나머지가 0일 때 (나누는 수)를 (나눠지는 수)의 약수라고 해요.

12 ÷ 1 = 12,   12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 2 = 6,   12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 3 = 4,   12 ÷ 4 = 3

12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수예요. 2, 3, 4, 6도 마찬가지고요.

인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.

1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12

12는 1과 12의 곱으로 표현할 수 있죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이때, 1과 12가 12의 인수예요. 2, 3, 4, 6도 12의 인수고요.

그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12고 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12죠? 약수와 인수는 의미는 다르지만 실제 값을 구해보면 같다는 걸 알 수 있어요

인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.

다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10       (2) 25

(1) 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5

(2) 5의 인수 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5

소인수분해

소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.

소인수분해는 합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 바꾸면 돼요

60을 소인수분해보죠.

60 = 2 × 30
    = 2 × 2 × 15            (∵ 30 = 2 × 15)
    = 2 × 2 × 3 × 5        (∵ 15 = 3 × 5)
    = 22 × 3 × 5            (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로)

1. 60은 2 × 30으로 나타낼 수 있죠?
2. 소수인 2는 그대로 두고, 합성수 30을 2 × 15로 나타냈어요.
3. 소수들의 곱인 2 × 2는 그대로 두고, 합성수 15를 3 × 5로 나타냈어요.
4. 합성수가 없어서 소인수분해가 끝났는데, 2가 2번 곱해져있어서 거듭제곱으로 나타냈어요.

아래 그림처럼 할 수도 있어요.

곱하기가 아닌 나누기를 이용하는 방법도 있어요. 합성수를 몫이 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.

1. 합성수 60을 가장 작은 소수 2로 나눠요.
2. 몫 30은 합성수니까 또 소수 2로 나눠요.
3. 몫 15는 합성수지만 2로 나누어지지 않아서 다음으로 큰 소수인 3으로 나눠요.
4. 15를 3으로 나눴더니 몫이 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝

왼쪽에 있는 세 수 2, 2, 3과 마지막 나온 몫 5가 모두 소인수예요

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

어떤 방법으로 해도 결과는 같아요.

81로 한 번 더 해보죠.

81 = 3 × 27
    = 3 × 3 × 9
    = 3 × 3 × 3 × 3
    = 3⁴

소인수분해 하는 법
합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 나타낸다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속해서 소수로 나눈다.

다음을 소인수분해하여라.
(1) 135       (2) 36

(1)은 아래처럼 나와요.

135 = 3 × 45
   = 3 × 3 × 15
   = 3 × 3 × 3 × 5
   = 3³ × 5

윗쪽에서는 3을 먼저, 아랫쪽에서는 5를 먼저 계산했지만, 3과 5 모두 소수라서 어떤 걸 먼저 계산해도 상관없어요.

135 = 3³ × 5

(2) 36은 한 번 해보죠.

36 = 2 × 18
  = 2 × 2 × 9
  = 2 × 2 × 3 × 3
  = 2² × 3²

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