중학교 수학 교육의 가장 정점에 있는 공식은 누가뭐라해도 이차방정식에서 쓰는 근의 공식이죠. 피타고라스의 정리와 함께요.
이차방정식 중 인수분해를 할 수 있는 경우라면 굳이 근의 공식을 사용하지 않아도 되지만, 그렇지 않다면 근의 공식을 필수로 써야합니다.
그런데, 인수분해되지 않는 이차방정식에서 근의 공식이 아닌 다른 방법으로 근을 구할 수 있어 소개하려고 합니다.
이차방정식을 푸는 새로운 방법
[주말N수학]'아듀~근의 공식' 2차 방정식 쉽게 푸는 새 방법
근의 공식은 완전제곱식을 이용해서 근을 구하는 방법으로 계수를 정해진 위치에 대입, 계산해서 해를 구할 수 있게 한 공식이에요.
그런데 위 글에서 소개한 방법은 두 근과 계수와의 관계, 두 근의 평균과 곱을 이용해서 푸는 방법입니다.
위 글에서 소개한 x2 - 2x - 24 = 0를 다시 한 번 풀어볼까요?
두 근을 α, β라고 해보죠.
근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = -(-2) = 2예요.
두 근의 평균은 = 1이고요.
두 근은 평균에서 같은 값만큼 차이가 나므로 이 차이를 u라고 하면 α = 1 + u, β = 1 - u라고 할 수 있어요.
근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱 α × β = -24예요.
(1 + u)(1 - u) = -24
1 - u2 = -24
u2 = 25
u = ±5
1) u = 5일 때,
α = 1 + 5 = 6
β = 1 - 5 = -4
2) u = -5일 때,
α = 1 - 5= -4
β = 1 - (-5) = 6
u의 부호와 상관없이 두 근은 -4과 6으로 같아요.
x2 - 2x - 24 = 0
(x - 6)(x + 4) = 0
x = -4 or 6
인수분해해서 구한 값과 같죠? 계산을 간단히 하려고 인수분해가 되는 식을 예제로 했는데, 인수분해가 되지 않는 식도 같은 방법으로 해를 구할 수 있어요.
다시 한 번 정리해 보죠.
- 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.
- 두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.
- ②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.
(이 식 역시 이차방정식이긴 하지만 제곱근을 이용해서 풀 수 있습니다.) - ③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.
위 과정을 일반적인 이차방정식에서 사용할 때 어떻게 되는지 해봤어요.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때
1. 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.
근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = 죠.
2. 두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.
두 근의 평균은 이므로 α =
+ u, β =
- u로 나타낼 수 있어요.
3. ②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.
근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱은 α + β =
α × β =
4. ③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.
α = + u =
β = - u =
근의 공식과 다른 형태의 공식이 나올 줄 알았는데, 결과는 기존의 근의 공식과 같네요.
즉, 이 방법은 이차방정식을 푸는 새로운 방법, 근의 공식을 유도하는 새로운 방법일 뿐 근의 공식과 직접 비교할 수 있는 관계는 아니에요. 오히려 이제까지 해왔던 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이법과 비교되는 거예요.
이차방정식을 푸는 새로운 방법이 나왔으니 정말로 이 내용이 교과서에 실릴 지 지켜봐야겠어요. 당연한 얘기지만 이 내용이 실린다고 해서 근의 공식이 교과서에서 빠지는 일은 없을 거예요. 어쩌면 유도 과정이 달라질 수도 있고, 두 방법이 모두 다 실릴 수도 있고요.
두 방법을 직접 해보신 여러 분은 어떤 방법이 더 쉽나요?
함께 보면 좋은 글
[중등수학/중3 수학] - 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
[중등수학/중3 수학] - 근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
본문 오타
1. 알파+베타=24 에서 -24 수정 필요
2. 1)u=5일때 '알파= 알파=' 에서 '알파= 베타='로 수정 필요
수정했어요.
굳이 새로운 풀이법이 필요하다면 2차방정식일 때 라그랑주 분해식을 쓰는게 더 좋을듯요
그냥 새로운 풀이법이 나왔길래 소개한 거예요.
필요해서 한 것도 아니고 좋고 나쁘고를 따지는 것도 아니에요.
이미 주입식교육에 파묻혀서 근의공식이 계속 머리를 맴도네요
새로운걸 받으려고 해도 머리가 거부... 크흠
좋은글 보고 갑니다
결과는 어차피 근의 공식과 같아요. 다만 공식을 얻는 과정이 다를 뿐이지요.
그 과정을 이용하면 근의 공식 없어도 해를 구할 수 있는 방법이에요.