근의 공식을 몰라도 풀 수 있는 이차방정식

중학교 수학 교육의 가장 정점에 있는 공식은 누가뭐라해도 이차방정식에서 쓰는 근의 공식이죠. 피타고라스의 정리와 함께요.

이차방정식 중 인수분해를 할 수 있는 경우라면 굳이 근의 공식을 사용하지 않아도 되지만, 그렇지 않다면 근의 공식을 필수로 써야합니다.

그런데, 인수분해되지 않는 이차방정식에서 근의 공식이 아닌 다른 방법으로 근을 구할 수 있어 소개하려고 합니다.

근의 공식은 완전제곱식을 이용해서 근을 구하는 방법으로 계수를 정해진 위치에 대입, 계산해서 해를 구할 수 있게 한 공식이에요.

그런데 위 글에서 소개한 방법은 두 근과 계수와의 관계, 두 근의 평균과 곱을 이용해서 푸는 방법입니다.

위 글에서 소개한 x² - 2x - 24 = 0를 다시 한 번 풀어볼까요?

두 근을 α, β라고 해보죠.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = -(-2) = 2예요.

두 근의 평균은 = 1이고요.

두 근은 평균에서 같은 값만큼 차이가 나므로 이 차이를 u라고 하면 α = 1 + u, β = 1 - u라고 할 수 있어요.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱 α × β = -24예요.

(1 + u)(1 - u) = -24
1 - u² = -24
u² = 25
u = ±5

1) u = 5일 때,

α = 1 + 5 = 6
β = 1 - 5 = -4

2) u = -5일 때,

α = 1 - 5= -4
β = 1 - (-5) = 6

u의 부호와 상관없이 두 근은 -4과 6으로 같아요.

x² - 2x - 24 = 0
(x - 6)(x + 4) = 0
x = -4 or 6

인수분해해서 구한 값과 같죠? 계산을 간단히 하려고 인수분해가 되는 식을 예제로 했는데, 인수분해가 되지 않는 식도 같은 방법으로 해를 구할 수 있어요.

다시 한 번 정리해 보죠.

근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.
두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.
②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.
(이 식 역시 이차방정식이긴 하지만 제곱근을 이용해서 풀 수 있습니다.)
③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.

위 과정을 일반적인 이차방정식에서 사용할 때 어떻게 되는지 해봤어요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때

1. 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = 죠.