지수법칙 두 가지를 공부했었죠? 밑이 같은 거듭제곱의 곱일 때는 밑을 그대로 써주고 지수는 더해주는 거였고요. 거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑은 그대로 쓰고, 지수를 곱해주는 거였어요.
지수법칙 두 번째는 나눗셈과 괄호가 있을 때의 거듭제곱이에요.
나눗셈에서는 지수의 크기가 중요해요. 지수의 크기에 따라 계산 방법이 달라지거든요. 괄호가 있을 때는 분수든 아니든 상관없이 공통된 특징이 있으니 이건 쉽게 이해할 거예요.
지수법칙
25 ÷ 23을 해볼까요? 지수를 풀어서 계산(약분)한 다음, 다시 거듭제곱으로 나타내보죠.
지수만 보면 5 - 3 = 2가 되죠. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 빼면 돼요. 여기까지는 지수법칙 첫 번째에서 했던 밑이 같은 거듭제곱의 곱과 비슷해요. 밑이 다르거나 나눗셈이 아니면 쓸 수 없다는 것까지 같지요.
이번에는 25 ÷ 25을 해보죠.
위처럼 밑은 그대로 쓰고, 지수의 차를 구해보면 25 ÷ 25 = 25 - 5 = 20이 되겠지요? 여기에서 20 = 1이라는 걸 알 수 있어요. 지수가 같으면 나누기의 결과로 지수는 0이 되고, 밑이 2든 3이든 상관없이 모든 수의 0 제곱은 1이에요.
이번에는 23 ÷ 25를 해볼까요?
밑이 같고 지수의 나눗셈이니까 밑은 그대로 쓰고, 지수끼리 빼면 23 ÷ 25 = 23 - 5 = 2-2이 돼요. 지수가 -2인데, (-)는 분수라는 걸 말해요. 지수가 2인 분수꼴이라는 뜻이죠. 나누는 수의 지수가 클 때는 분수로 쓰되, 지수는 큰 것에서 작은 걸 빼주는 거지요.
위 세 경우에서 보듯이 거듭제곱의 나눗셈은 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 크기에 따라 계산 방법이 살짝 달라져요.
a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때
다음을 간단히 하여라.
(1) a6 ÷ a2
(2) b5 ÷ b3 ÷ b2
(3) c3 ÷ c7
밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈에서는 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 중 어디가 큰지에 따라 달라져요. 나누어지는 수의 지수가 크면 밑은 그대로 쓰고 지수의 차, 같으면 1, 나누어지는 수의 지수가 더 작으면 분수 형태예요.
(1) 나누어지는 수의 지수가 나누는 수의 지수보다 크네요.
a6 ÷ a2
= a6 - 2
= a4
(2)에서는 항이 3개지만 밑이 같으면 한꺼번에 계산할 수 있어요.
b5 ÷ b3 ÷ b2
= b5 - 3 - 2
= b0
= 1
(3)은 나눠지는 수의 지수가 더 작으니까 분수로 나오겠지요.
괄호가 있을 때 지수법칙
이번에는 여러 개의 문자나 수를 한꺼번에 거듭제곱할 때 어떻게 되는지 알아보죠.
(ab)3을 볼까요? ab를 3번 곱한 건데, 원래 a × b에서 곱셈기호가 생략된 거죠.
(ab)3
= (a × b)3 곱셈기호 살리기
= (a × b) × (a × b) × (a × b)
= (a × a × a) × (b × b ×b ) 곱셈에 대한 교환법칙
= a3 × b3
= a3b3 곱셈기호 생략
첫 줄과 끝줄만 보면, (ab)3 = a3b3로 괄호 안에 있는 것들을 각각 세제곱한 것과 같아요.
분수의 거듭제곱도 분자, 분모를 각각 거듭제곱한 것과 같죠.
위 두 가지를 정리해 보면, 괄호로 묶여있는 걸 거듭제곱하면 괄호 안에 있는 것들을 각각 거듭제곱한 것과 같다는 걸 알 수 있어요.
b ≠ 0이고, m이 자연수일 때
다음을 간단히 하여라.
괄호 안에 있는 건 분수든 아니든 상관없이 각각을 거듭제곱해줘야 해요.
(1) (a3b2)2
= (a3)2(b2)2
= a3 × 2b2 × 2
= a6b4
(2)에서 (-a) = (-1) × a에요.
(-a)4 × (-b)3
= (-1)4a4 × (-1)3b3
= a4 × (-b3)
= -a4b3
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비밀댓글입니다
지수법칙은 헷갈리면 안돼요.
이번 기회에 확실히 해놓으세요.
고맙습니다^^
지수법칙-나눗셈,괄호,분수에서 정리해볼까요에서 오타났어요!!
네, 지수가 0인데, 값을 0이라고 썼네요.
대박!!이렇게 좋은걸 왜 이제 알았지??
대박일만큼 좋은 건가요? ㅎ
지수법칙 첫번째예문에서 3번째 c7 칠이 지수가 되어야하는데 상수로 오타가나있네요
틀린 것 정말 잘 찾아주시네요.
내용을 제대로 다 이해하신 듯 해요.
-b^2 과 (-b)^2 은 달라요?
네 달라요.
-b^2 = -1 x b^2
(-b)^2 = b^2
우왕 굿
댓글 굳
그런데 (x⁴/x²)³ 은 어떻게 계산하나요?
풀면 (x⁴/x²)×(x⁴/x²)×(x⁴/x²)=x¹²/x⁶=x²으로 (x⁴/x²)와 결과가 같게 되지 않나요?
그런데, (x⁴/x²)=x² 이니까 세제곱하면 x⁶이 되는데..윗 식도 틀린 게 없는것 같은데 답이
x²이 되니까 혼란스러워요..뭐가 잘못된 건지 봐주실 수 있나요?
x^12 / x^6 = x^6 이에요.
지수끼리는 나누는 게 아니라 빼야죠. 이게 이 글의 핵심이에요.
아...! 그렇군요. 기초적인 걸 까먹고 있었네요.
비밀댓글입니다
5^3을 다섯 번 더한거니까 5 x 5^3이잖아요. 이 이후로는 지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱(http://mathbang.net/243)을 참고하세요.
비밀댓글입니다
이제는 학원말고 학교 시험에서 100점 맞으세요.
너무너무 잘 보고있습니다. 감사합니다.
근데 본문에 나와있는 내용중에 지수에서 -를 분수라는 뜻으로 한다는게 정확한건가요..?
저는 지수에 대해서 알고있는 상황에서 보니까 괜찮은데 처음 배우는 사람들은 헷갈릴 수도 있을 것 같아요.
왜냐하면 만약에 2^2/2^3= 2^(2-3) = 2^(-1) 인데 2-3에서 -를 분수로 착각해서 나눗셈으로 생각할수도 있을것같아요..
2^(2-3)을 2^(2/3)으로 착각한다는 뜻인가요? 숫자의 부호 (-)와 연산기호 (-)를 구별하지 못하면 안돼죠.
지수에서 (-)가 분수를 의미하는 건 원래 고등학교에서 공부하는 건데, 그 결과만 알고 있는 건 별로 어렵지도 않아서 미리 설명을 한 거예요.
괄호로 묶여있는걸 거듭제곱 하면~ 밑 노란 네모상자에서
m, n이 자연수일 때
(ab)^m
(a/b)^m
n은 쓰이지 않으니 n은 빼도 될꺼같아요.
없어도 되겠네요. ㅎㅎ
항상 잘보고있고 많이 참고하고 있습니다.
감사합니다.
그래도 조금더 깔끔하게 보이는게 나아서 계속 이런글을 남기네요.
기분 나빠하지 않으셨으면 좋겠습니다.
맨 아래 문제 (3) (ab) ~~
풀이가
(4)라고 되어있네요.
아니요. 절대 기분 나쁘지 않아요. 오히려 오타를 찾아주셔서 고맙습니다. 다른 글 보시다가 또 오타찾으시면 댓글로 알려주세요. ㅎㅎ
지수가 음수면 분수로 표현이 되는데 왜 나눌때 뒤에 지수가 크면 뒤에 지수 빼기 앞의 지수해서 분수로 하는 건가요?
지수가 음수가 되는 내용은 원래 고등학교에 나오는 과정( http://mathbang.net/587 )인데, 더 쉬워서 중간 증명 없이 공식처럼 사용할 수 있게 결과만 소개한 거예요.
이해하기 어려우시면 모르셔도 상관없어요.
마지막 2번 문제는 두 음수를 곱하면 양수가 되니 (-1)^4×a^4 × (-1)^3×b^3 = 1×a^4×(-1)×b^3 이므로 a^4×-b^3 아닌가요?
(2)번의 풀이 마지막 2번째 줄까지가 그 내용이고요.
가운데 있는 곱셈을 한 게 마지막 줄이에요.
(x^2)^3÷(-x)^4×(-x) 같은 문제들은 나눗셈에 음수여서 어떻게 풀어야하나여
똑같아요.
지수를 먼저 계산하고 나서 우선순위에 따라 계산하는데, 곱셈, 나눗셈은 우선순위가 같으니 앞에서부터 계산하죠.
지수가 분수일때는 어떻게 계산하나요??
고등학교 과정이에요.
지수의 확장 - 유리수 지수를 참고하세요.
http://mathbang.net/587