히포크라테스의 초승달
히포크라테스의 초승달, 직각삼각형과 피타고라스의 정리
피타고라스의 정리는 기본적으로 직각삼각형에서 출발한 정리잖아요. 그래서 이번에는 조금 복잡한 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하는 방법들을 설명할 겁니다.
하나의 직각삼각형 안에 다른 직각삼각형들이 들어있을 때, 각 변들의 관계에 대해서 알아보죠. 숨어있는 직각삼각형을 잘 찾아내는 게 중요한 문제들입니다.
그리고 히포크라테스의 초승달이라고 불리우는 직각삼각형을 중심으로 그려진 반원들에 대해서도 알아보죠. 반원의 넓이와 직각삼각형의 넓이는 어떤 관계가 있는 지 말이죠.
직각삼각형과 피타고라스의 정리
직각삼각형 △ABC에서 빗변이 아닌 두 변에 임의의 점 D, E를 잡아요. D, E에서 반대편 꼭짓점으로 선을 그었더니 아래 그림처럼 됐어요.
위 그림에서 직각삼각형을 몇 개나 찾을 수 있나요? △ABC, ADE, △ADC, △ABE 총 네 개의 직각삼각형을 찾을 수 있어요. 각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해볼까요?
△ABC에서 
△ADE에서 
△ADC에서 
△ABE에서 
① + ② = ③ + ④ = a2 + b2 + (a + c)2 + (b + d)2이 돼요.
공식이나 말로 외우려면 절대 외워지지 않아요. 선을 찾아서 그으면서 그림으로 외우세요.
다음 그림을 보고
= 82 + (32 + 42)
= 64 + (9 + 16)
= 89
히포크라테스의 초승달
직각삼각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에도 재미있는(?) 특징이 있어요.
아래 그림처럼 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원을 그렸어요. 각 부분의 넓이를 P, Q, R이라고 해보죠.
P, Q, R을 구해보면 아래처럼 나오네요. 원의 넓이 구하는 법 모르는 사람은 없겠죠?
(P의 넓이) = 
(Q의 넓이) = 
(R의 넓이) = 
여기에서 P와 Q를 더해보면,
P + Q = 
=
= 
= R
빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이는 다른 두 변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같음을 알 수 있어요.
이 성질을 이용해서 다른 문제를 풀어보죠. 아래 그림을 보세요.
이번에는 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원을 반대방향으로 즉, 삼각형과 겹치게 그려봤어요. 겹치는 부분을 뺀 나머지 넓이를 S1, S2라고 해볼까요?
S1 + S2는 전체의 넓이에서 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이를 빼면 되겠죠?
S1 + S2 = P + Q + △ABC - R
= R + △ABC - R (∵ P + Q = R)
= △ABC
두 영역의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같다는 걸 알 수 있어요.
다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. (
일단 색칠한 부분은 직각삼각형 부분과 반원의 일부이죠? 반원의 일부는 직각삼각형의 넓이와 같아요. 따라서 문제의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배가 되겠네요.
S1 + S2 + △ABC = 2 × △ABC = 2 × ½ × 3 × 4 = 12(cm2)
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