확률의 덧셈
연속하여 뽑는 확률의 계산
확률 마지막 편이에요.
이번 글은 조금 어려울 수 있어요. 개념에 대한 이해가 중요합니다. 조금은 천천히 읽어와야 이해가 될 거예요.
초등학교 때 이런 문제 많이 봤을 거예요.
1 ~ 5까지 숫자가 적힌 카드가 있다. 여기서 카드를 세 장 꺼내어 만들 수 있는 수 중 가장 큰 수를 구하여라.
카드를 세 장 꺼내서 만들 수 있는 수 중 가장 큰 수는 543이잖아요.
그런데 카드를 꺼내서 사용하고 다시 넣어서 또 뽑을 수 있다면 어떻게 되나요? 중복해서 뽑는다면 말이죠? 가장 큰 수는 555가 되죠?
이렇게 뽑기를 하는데, 꺼낸 다음에 다시 넣는 경우와 넣지 않는 경우에 확률이 달라져요. 어떻게 달라지는지 알아보죠.
연속하여 뽑는 경우의 확률
뽑은 것을 다시 넣는 경우
뽑기를 하는데, 한 번 뽑았던 걸 다시 넣어서 뽑는 경우예요.
주머니에 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있어요. 이 주머니에서 공을 하나 뽑아서 색을 확인한 다음에 공을 주머니에 다시 넣고 공을 하나 더 뽑는다고 하죠. 뽑은 공의 색이 둘 다 빨간색일 확률을 구해볼까요?
문제에서 제일 중요한 부분은 뽑은 공의 색을 확인하고 다시 넣는 거예요. 공은 총 다섯 개예요. 두 번째 공을 뽑을 때도 마찬가지고요.
처음으로 공을 뽑을 때 빨간색 공을 뽑을 확률은 3 ÷ 5 =
두 번째 공을 뽑을 때 빨간색 공을 뽑을 확률도 마찬가지로 3 ÷ 5 =
처음도 빨간색이고 두 번째고 빨간색이어야 하므로 두 확률을 곱해야 해요. 
뽑기를 하는데, 뽑았단 걸 다시 넣으면 처음이나 나중이나 조건이 똑같아요. 위에서는 공의 총 개수와 빨간색, 파란색 공의 개수라는 조건이 같죠.
그래서 처음 뽑나 나중에 뽑나 그 확률이 같아집니다.
뽑은 것을 다시 넣지 않는 경우
이번에는 한 번 뽑은 건 다시 넣지 않을 때 어떻게 되는지 알아보죠.
주머니에 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있어요. 이 주머니에서 공을 두 개 뽑을 때 뽑은 공의 색이 둘 다 빨간색일 확률을 구해볼까요?
위에서 했던 문제와 같은 데 딱 하나가 달라요. 위에서는 처음에 뽑은 공의 색을 확인하고 다시 넣었잖아요. 이번에는 뽑은 공을 넣지 않고 바로 새 공을 뽑는 거예요.
일단 처음에 공을 뽑을 때는 전체 공의 수가 5개고, 빨간색 공은 3개에요. 따라서 빨간색 공을 뽑을 확률은 3 ÷ 5 =
두 번째 공을 뽑을 때는 앞에서 공을 하나 뺐으니까 전체 공의 수가 4개예요. 여기서 중요해요.
만약에 첫 번째 공이 파란색이라면 주머니 속에는 빨간색 공 3개, 파란색 공 1개가 남아있겠죠? 따라서 두 번째 뽑은 공이 빨간색일 확률은 3 ÷ 4 = 
이번에는 반대로 첫 번째 공이 빨간색이라면 주머니 속에는 빨간색 공 2개, 파란색 공 2개가 남아있겠죠? 그래서 두 번째 뽑은 공이 빨간색일 확률은 2 ÷ 4 = 
문제에서 구하는 건 둘 다 빨간색이어야 하니까 첫 번째 공이 빨간색이었다는 가정 하에 구한
결국, 첫 번째 공이 빨간색일 확률 
뽑은 것을 다시 넣지 않은 경우에는 처음의 조건과 그다음 조건이 달라져요. 위에서는 공의 총 개수가 달라졌지요.
그리고 앞선 순서에서 뽑은 게 어떤 것인지에 따라서 다음 순서에서의 확률이 달라져요. 위에서는 첫 번째 공이 빨간색인지 파란색인지에 따라서 두 가지 경우가 나왔잖아요. 이건 문제에 따라 어떤 경우가 맞는 건지 잘 골라야 해요.
연속하여 뽑는 경우의 확률
뽑은 것을 다시 넣을 때: 처음과 나중의 조건이 같다.
뽑은 것을 다시 넣지 않을 때: 처음과 나중의 조건이 다르다. → 앞선 순서에 뽑은 것이 다음 순서의 확률에 영향을 줌.
1 ~ 5까지의 자연수가 적힌 카드가 있다. 이 중에서 2장의 카드를 뽑을 때 다음을 구하여라.
(1) 첫 번째 카드를 뽑아 숫자를 확인한 다음 카드를 넣고 다시 한 장을 뽑을 때 둘 다 홀수일 확률
(2) 첫 번째 카드를 뽑고 바로 두 번째 카드를 뽑을 때 둘 다 홀수일 확률
(1)은 뽑은 카드를 다시 넣고 (2)번은 뽑은 카드를 다시 넣지 않는군요.
(1)은 카드를 다시 넣기 때문에 첫 번째 카드와 두 번째 카드에서의 조건이 달라지지 않아요. 즉 카드의 총 개수가 5장으로 같지요. 홀수인 카드도 1, 3, 5로 같아요. 따라서 첫 번째 카드가 홀수일 확률과 두 번째 카드가 홀수일 확률이 3 ÷ 5 =
둘 다 홀수여야 하므로 "동시에"라는 개념이 들어있죠? 따라서 두 확률을 곱하면 답이 되겠네요.
(2)는 카드를 넣지 않고 다음 카드를 또 뽑아요. 그래서 조건이 달라지죠.
첫 번째 카드는 총 5장의 카드 중에서 1, 3, 5의 세 장의 홀수 카드가 있으므로 3 ÷ 5 =
첫 번째 카드가 홀수라면 두 번째 카드를 뽑을 때 카드 총 수는 4장이 되고, 홀수인 카드는 2장이 되겠죠. 따라서 두 번째 카드가 홀수일 확률은 2 ÷ 4 = 
두 카드가 모두 홀수일 확률은 
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확률의 계산에서는 확률의 덧셈과 확률의 곱셈에 대해서 배워요.
먼저 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 봤던 경우의 수의 합과 곱에 대해서 알고 있어야 해요.
확률의 계산에서도 덧셈과 곱셈을 하는데, 경우의 수에서 봤던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙이 그대로 사용되거든요.
우리가 알고 있는 공식에서 경우의 수라는 단어를 확률이라는 단어로 바꾸면 끝이에요.
경우의 수에서 했던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙을 정리해보죠. 두 사건이 동시에 일어날 때는 경우의 수를 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더했죠?
- 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지) - 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A와 사건 B가 동시에(모두) 일어날 경우의 수 = a × b(가지)
확률의 덧셈과 곱셈에서도 똑같아요.
두 사건이 동시에 일어나면 확률을 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 더하는 거죠.
확률의 덧셈
1 ~ 10까지의 자연수가 적힌 카드가 있어요. 이 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때 3 또는 5의 배수가 나올 확률을 구해보죠.
카드가 1 ~ 10까지 있으니까 전체 경우의 수는 10이에요. 3 또는 5의 배수를 뽑는 경우는 3, 5, 6, 9, 10 이렇게 5 가지 경우가 있네요.
(3 또는 5의 배수가 나올 확률) = 
그럼 이번에는 각각의 확률을 구해보죠.
전체 경우의 수는 마찬가지로 10이에요. 3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9의 3가지 경우이고, 5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지 경우가 있어요. 두 확률을 더해볼까요
(3의 배수가 나올 확률) + (5의 배수가 나올 확률) = 
사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) + (사건 B가 일어날 확률)
사건이 동시에 일어나지 않을 때는 각각의 확률을 더해주면 돼요. 보통은 문제에서 "또는" 이라는 단어가 보일 때에요.
서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 나오는 눈금의 합이 3 또는 6일 확률을 구하여라.
눈금이 3 또는 6일 확률이니까 각각의 확률을 구해서 더해주면 되겠죠? 물론 경우의 수를 한꺼번에 구해서 확률을 계산할 수도 있고요. 한 번 더해보죠.
주사위를 2개를 동시에 던져서 눈금의 합을 구할 수 있는 경우의 수는 6 × 6 = 36
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 3이 되는 경우: (1, 2), (2, 1)
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 6이 되는 경우: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
(합이 3이 될 확률) + (합이 6이 될 확률) =
확률의 곱셈
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 두 사건이 동시에 일어나면 경우의 수를 곱한다고 했어요. 마찬가지로 확률에서도 두 사건이 동시에 일어나면 각각의 확률을 곱해서 계산하면 돼요.
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) × (사건 B가 일어날 확률)
A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 주사위 A는 짝수가, 주사위 B는 3의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?
이때는 주사위 두 개를 던지지만 두 주사위가 서로 영향을 미치지 않죠? 따라서 각각을 별개의 사건으로 봐야 해요. 또 동시에 일어나는(둘 다 일어나야 하는) 사건이니까 확률을 구할 때는 곱해서 구해야 하죠.
A 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 짝수가 나올 경우의 수는 2, 4, 6 이렇게 3이에요.
B 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 3의 배수가 나올 경우의 수는 3, 6의 2이네요.
(A 주사위에서 짝수가 나올 확률) × (B 주사위에서 3의 배수가 나올 확률)
=
A 주머니에 파란 공 2개와 빨간 공 3개가, B 주머니에는 빨간 공 4개와 파란 공 2개가 들어있다. 양쪽 주머니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때 둘 다 파란 공일 확률을 구하여라.
양쪽 모두에서 한 개씩 꺼낸다고 했네요.
A주머니에는 총 5개의 공이 있고 그 중 파란색은 2개
B주머니의 6개 공 중에 파란색은 2개
(A 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률) × (B 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률)
=
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