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숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?

근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.

이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.

이중근호

는 무리수예요. 는 무리식이고요. 는 뭘까요? 가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.

이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.

첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a² + 2ab + b² = (a + b)²이에요. 여기서 a, b가 로 바뀌었다고 생각해보세요. 이 되겠죠?

또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가 로 바뀌었다고 생각하세요.

이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.

곱 앞에 2가 없을 때

이중근호 중에서 의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.

근호 안의 12 = 2² × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.

2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.

근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가  의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에 가 있어서 유리화까지 해줬고요.

이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

다음을 간단히 하여라.

(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.

(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.

(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.

이중근호가 있는 무리식의 계산

이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.

이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.

1. 이중근호를 푼다
2. 상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
3. 양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다

x = 일 때, 2x² + 4x + 5의 값을 구하여라.

일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.

x =
x =  - 1

이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.

x + 1 =
(x + 1)² = ()²
x² + 2x + 1 = 2

x² + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x² + 4x + 5로 변형해보죠.

x² + 2x + 1 = 2
2x² + 4x + 2 = 4    (∵ 양변 × 2)
2x² + 4x + 5 = 7    (∵ 양변 + 3)

x =  - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.

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제곱근의 사칙연산 첫번째에요. 사칙연산에서는 보통 덧셈과 뺄셈을 먼저하는데, 여기서는 곱셈과 나눗셈을 먼저할께요. 왜냐고요? 더 쉬우니까요.

제곱근의 곱셈과 나눗셈은 제곱과 제곱근의 관계를 잘 알고 있다면 이해하기 쉬워요. 계산은 더 쉽고요. 규칙이라고 하기에도 좀 민망하죠.

또, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있어요. 따라서 곱셈만 할 줄 알면 나눗셈은 그냥 덤으로 할 수 있게돼요.

블로그에 쓰려다보니 기호가 너무 많아져서 복잡하네요. 예제는 생략하도록 할께요. 교과서의 예제 문제쯤은 그냥 간단히 풀 수 있을 거예요.

제곱근의 곱셈

제곱근끼리의 곱셈

은 얼마일까요? 숫자만 곱해서 이면 좋겠지요? 실제로 얼마인지 해볼까요?

을 제곱해보죠.

이죠. 제곱근의 뜻에 따르면 제곱과 제곱근은 서로 반대의 의미이므로 은 2 × 3의 양의 제곱근이에요.

그런데 2 × 3 = 6으로 6의 양의 제곱근은 이에요. 결국  = 이 되는 거죠.

제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근 기호를 씌워주면 돼요.

정수와 제곱근의 곱셈

제곱근과 정수의 곱은 더 쉬워요.곱셈기호는 생략할 수 있어요. 그래서 그냥 생략해서 쓰면 돼요.  2 × =

이번에는 풀어서 계산해보죠.

이 되는 걸 알 수 있죠? 즉, 근호 앞의 정수는 제곱해서 근호안에 넣고, 원래 근호 안에 있던 숫자와 곱해주면 되는 거지요. 반대로 근호 안에 제곱인 수가 곱해져 있다면 근호 앞으로 빼낼 수 있어요.

제곱근의 곱셈

이번에는 조금 더 복잡한 거에요.를 해보죠.

근호 앞의 정수는 정수끼리, 제곱근은 제곱근끼리 곱하는 걸 알 수 있죠?

위 세 가지를 정리해보죠.

제곱근의 나눗셈

기본적으로 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있으니까 곱셈에서 했던 세 가지 성질이 똑같이 적용됩니다.

를 해보죠. 마찬가지로 제곱을 합니다. 

제곱과 제곱근의 관계에 따라서 의 양의 제곱근으로 가 돼요. 제곱근의 나눗셈은 근호 안의 숫자끼리 나누고 근호를 씌워주면 되는 거죠.

근호 앞의 분수는 제곱을 해서 근호 안에 넣고, 반대로 근호 안의 분수의 제곱을 근호 밖으로 뺄 수도 있죠.

근호 앞에 정수가 있다면 정수끼리 나누고, 제곱근끼리 나눌 수 있어요.