일차방정식의 활요
일차방정식의 활용 2
일차방정식의 활용 두 번째는 일차방정식의 활용 첫 번째보다 조금 더 어려운 유형이에요. 공식을 알아야 풀 수 있거든요.
이 공식들은 수학, 과학 등의 과목에서 계속해서 보게 될 공식이니까 반드시 외워야 해요. 공식을 외우지 못했다는 건 일차방정식의 활용을 포기하는 것과 같아요. 물론 2, 3학년 수학도 일정 부분 포기한다는 뜻이고요.
원래는 하나의 공식인데, 모양만 바뀌는 거라서 외우기 헷갈릴 수 있어요. 그러면 그림으로 외우는 것도 좋은 방법이에요.
일차방정식의 활용
과부족
과부족 문제는 개수의 많고 적음을 이용한 문제에요. 문제에서는 물건의 개수를 구하라고 하는데, 식에서는 물건의 개수가 아닌 사람 수를 x라고 놓으면 돼요.
과부족 문제는 x가 들어있는 식을 두 개 만들고 그 둘이 같다고 놓고 푸는 문제입니다.
학급 학생들에게 공책을 나눠주려고 한다. 한 학생에게 공책을 5권씩 나눠주면 3권이 남고, 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 한다. 공책은 총 몇 권인가?
공책의 개수를 구하라고 했다고 해서 이걸 x로 놓으면 문제가 복잡해져요. 이 문제에서는 학생 수를 x라고 놓으세요.
학생 수가 x명일 때, 한 사람에게 5권씩 주면 3권이 남는다고 했으니까 공책의 수는 5x + 3이에요. 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 했으니까 공책 수는 6x - 4죠. 공책 수는 두 경우 모두에 같으니까 둘을 같게 놓고 문제를 풀면 돼요.
5x + 3 = 6x - 4
5x - 6x = - 4 - 3
-x = -7
x = 7
여기서 x는 공책의 수가 아니라 학생 수에요. x = 7을 5x + 3에 대입하면 공책의 수는 38권이 되네요.
도형
사각형의 넓이 = (가로) × (세로), 사각형의 둘레 = {(가로) + (세로)} × 2에요. 이것만 잘 기억하면 풀 수 있어요.
둘레가 50cm인 사각형이 있다. 가로의 길이가 세로 길이보다 3cm 더 길 때, 가로, 세로의 길이를 구하여라.
가로의 길이를 x라고 하면 세로의 길이는 x - 3이에요. 이때 사각형의 둘레는 {x + (x - 3)} × 2죠.
{x + (x - 3)} × 2 = 50
2(2x - 3) = 50
2x - 3 = 25
2x = 25 + 3
2x = 28
x = 14
가로 길이는 14cm이므로 세로 길이는 11cm네요.
거리, 속력, 시간
문자와 식, 문자를 포함한 식에서 봤던 공식이 또 나왔네요. 그만큼 중요하니까 또 나오는 거예요.
거리, 속력. 시간문제에서는 단위도 중요해요. 문제에서 사용하는 단위와 답에서 요구하는 단위를 잘 봐야 해요.
설리는 집에서 서점을 왕복하는데, 갈 때는 시속 4km의 속력으로 걸어가고, 올 때는 6km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다고 한다. 설리네 집에서 서점까지의 거리를 구하여라.
거리를 구하라고 했는데, 거리 = 속력 × 시간이에요. 올 때, 갈 때의 속력은 알고 있어요. 그런데 시간은 올 때와 갈 때는 둘을 합한 것만 알려줬죠? 그래서 하나를 우리가 임의로 x라고 정하는 거예요. 가는 데 걸린 시간을 x분라고 하면, 오는 데 걸린 시간은 (40 - x)분이 되겠죠.
집에서 서점까지의 거리는 올 때나 갈 때나 똑같아요. 그래서 (갈 때의 거리) = (올 때의 거리)라고 할 수 있어요.
4 × x = 6(40 - x)
4x = 240 - 6x
4x + 6x = 240
10x = 240
x = 24
x는 집에서 서점까지 가는 데 걸린 시간이고, 문제에서 구하는 건 거리죠. x = 24를 대입해서 거리를 구해야 해요.
거리 = 속력 × 시간 = 4 × 24 = 96(km)가 될 것 같죠? 이러면 절대로 안 돼요. 단위를 조심해야 해요.
집에서 서점에 갈 때 시속 4km라고 했고, 실제 걸린 시간은 24분이에요. 하나는 시고 하나는 분이라 단위가 달라요. 이 두 단위를 하나로 맞춰줘야 해요.
소금물의 농도
농도 공식도 문자와 식, 문자를 포함한 식에서 본 공식이에요. 앞으로 계속 나올 겁니다.
소금물에 소금물을 넣으면 소금의 양과 소금물의 양이 모두 변해요. 하지만 그냥 물만 넣거나 가열하는 경우에는 소금의 양은 바뀌지 않고 소금물의 양만 바뀌는 걸 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B)의 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B)의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안 된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때(증발시켰을 때)
- 가열한 후의 소금양 = 가열전 의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
- 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
- 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
5% 소금물 200g을 가열하였더니 8% 소금물이 되었다. 가열한 후의 소금물의 양은 얼마인가?
소금물을 가열했을 때는 소금의 양은 바뀌지 않고, 소금물의 양만 줄어들어요. 따라서 가열 전과 가열 후의 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 식을 세워보죠.
가열한 후의 소금물의 양을 구하라고 했으니 이걸 x라고 놓죠.
가열 전 5% 소금물 200g에 들어있는 소금의 양 =
가열 후 8% 소금물 xg에 들어있는 소금의 양 =
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일차방정식의 활용 첫번째
일차방정식의 활용 첫번째
일차방정식의 활용 문제는 유형이 매우 다양해요. 그리고 문제 유형마다 문제를 쉽게 풀 수 있는 풀이법이 있어요. 유형별 풀이법에 대해서는 잘 이해하고 있어야 합니다.
그렇다고 공식으로 달달 외우기보다는 문제를 많이 풀어서 자연스럽게 익혀야 해요. 일차방정식의 활용 문제는 문장으로 되어 있기 때문에 식을 세우는 연습도 해야 하거든요. 실제 해보면 식을 세우는 게 제일 어렵게 느껴져요.
문제 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지 알아보죠. 식만 잘 세우면 푸는 건 별로 어렵지 않거든요.
일차방정식의 활용
일차방정식의 활용 문제를 풀 때는 아래의 순서대로 진행하면 됩니다.
- 문제에서 구하려는 것을 x라고 놓는다.
문제를 잘 읽어보고, 문제에서 구하려는 것이 무엇인지 잘 찾아야 해요. - 문제의 조건에 맞는 방정식을 세운다.
- 문제에서 원하는 답을 구한다.
일차방정식의 풀이에서 공부한 방법으로 일차방정식을 풀어요. - 문제에서 원하는 답을 구한다.
방정식의 해와 문제에서 요구하는 답이 다른 경우가 있어요. 따라서 문제에서 요구하는 게 x 인지 확인하세요.
문제에서 구하라고 하는 걸 꼭 x라고 해야 하는 건 아니에요. 경우에 따라서 식을 가장 쉽게 세울 수 있는 값을 x로 놓는 경우도 있어요. 문제 유형에 맞게 잘 선택해야 해요.
어떤 수에 관한 문제
어떤 수를 구하는 문제는 아주 쉽죠. 어떤 수를 x로 놓고 식을 세워서 구하면 돼요. 방정식의 해가 바로 문제에서 구하라고 하는 어떤 수입니다.
어떤 수와 20의 합은 어떤 수를 5배 한 것보다 4가 크다고 한다. 어떤 수를 구하여라.
어떤 수를 x라고 놓고 식을 세워보죠.
x + 20 = 5x + 4
x - 5x = 4 - 20
-4x = -16
x = 4
자릿수에 관한 문제
십의 자리가 2이고, 일의 자리가 4인 수는 24라고 쓰죠. 그럼 십의 자리가 3이고, 일의 자리가 a인 수는 3a라고 쓸까요? 아니에요. 문자가 있는 경우에는 곱셈기호가 생략된 경우라서 전혀 다른 수에요.
십의 자리가 3이고, 일의 자리가 a인 수 = 3 × 10 + a
십의 자리 숫자가 a이고, 일의 자리 숫자가 5인 자연수가 있다. 이 자연수의 일의 자리 숫자와 십의 자리 숫자를 바꾸면 처음 수보다 9가 크다고 할 때, 처음 수를 구하여라.
처음 수에서 십의 자리 숫자가 a, 일의 자리 숫자가 5라고 했으므로 10 × a + 5에요.
십의 자리와 일의 자리를 바꾼 나중의 수는 10 × 5 + a가 되지요.
나중의 수가 처음 수보다 9가 크다고 했으니 처음 수에 9를 더해야 나중의 수가 되겠네요. 이걸 식으로 나타내보죠.
(10 × a + 5) + 9 = 10 × 5 + a
10a + 14 = 50 + a
10a - a = 50 - 14
9a = 36
a = 4
처음 수의 십의 자리 숫자는 4에요. 문제에서 구하려는 건 십의 자리 숫자가 아니라 처음 수에요. 그래서 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 조합한 45가 문제의 답입니다.
방정식의 해와 문제의 답이 다른 경우예요.
연속하는 자연수에 관한 문제
12와 13은 연속하는 자연수에요. 20과 21도 연속하는 자연수지요. 두 자연수 사이에는 1이라는 차이가 있어요. 연속하는 두 자연수 중 작은 수를 x라고 하면 큰 수는 (x + 1)로 쓸 수 있는 거지요. 물론 큰 걸 x, 작은 걸 x - 1로 해도 상관은 없어요.
그럼 연속하는 짝수 또는 연속하는 홀수는 어떨까요? 짝수는 2 차이가 나죠? 그래서 연속하는 두 짝수에서 작은 수를 x라고 놓으면 큰 수는 (x + 2)로 놓을 수 있어요. 홀수도 마찬가지고요.
연속하는 세 자연수는 크기가 작은 것부터 x, x + 1, x + 2로 쓸 수 있어요. 큰 것부터 쓴다면 x, x - 1, x - 2로 쓸 수 있겠죠. 하지만 실제로 식을 세워서 계산할 때는 이 둘보다 가운데 수를 x로 놓고, 작은 걸 x - 1, 큰 걸 x + 1로 놓는 게 제일 편리해요.
연속하는 두 자연수: x, x + 1
연속하는 두 짝수(홀수): x, x + 2
연속하는 세 자연수: x - 1, x , x + 1
연속하는 세 짝수의 합이 60일 때, 가장 작은 짝수를 구하여라.
연속하는 세 짝수에서 가운데 수를 x라고 놓으면 가장 작은 짝수는 x - 2, 가장 큰 짝수는 x + 2에요. 세 자연수의 합이 60이니까 이걸 식으로 세워보죠.
(x - 2) + x + (x + 2) = 60
3x = 60
x = 20
여기서 방정식의 해 20은 중간 짝수에요. 문제에서 구하는 답은 가장 작은 짝수이므로 답은 18이네요.
물론 문제에서 구하라고 한 가장 작은 짝수를 x로 놓고, 다른 짝수를 x + 2, x + 4로 해서 문제를 풀어도 좋아요.
나이에 관한 문제
나이에 관한 문제는 현재 나이와 미래 나이를 비교하는 유형이에요. 현재는 몇 살인데, 미래에는 지금보다 "몇 살 많다 혹은 몇 배이다" 이런 식이죠.
나이를 구하는 문제이긴 하지만 나이를 미지수 x로 놓으면 계산이 복잡해져요. 문제에서 요구하는 나이에 도달하는 년수를 미지수 x로 놓는 것이 쉬워요. 년수를 x로 놓은 다음에 x년 후의 나이를 x를 포함한 식으로 표현하는 거지요. 현재의 나이가 14살이라면 5년 뒤의 나이는 (14 + 5)살이잖아요. 그럼 x년 뒤의 나이는 (14 + x)로 쓸 수 있어요.
철수의 나이는 14살이고, 아빠의 나이는 46살이다. 아빠의 나이가 철수의 나이의 3배가 될 때 철수의 나이를 구하여라.
x년 후 철수의 나이는 (14 + x)살
x년 후 철수 아빠의 나이는 (46 + x)살
아빠의 나이가 철수의 나이의 3배가 되는 걸 식으로 세우면.
3(14 + x) = 46 + x
42 + 3x = 46 + x
3x - x = 46 - 42
2x = 4
x = 2
2년 뒤에 아빠의 나이가 철수의 나이의 3배가 돼요. 이때 철수의 나이는 16살이네요.
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