수직이등분선
각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도
이전 글 작도, 수직이등분선의 작도에 이어서 이번에는 각의 이등분선과 직각의 삼등분선을 작도해볼거예요.
작도는 그냥 설명만 봐서는 잘 이해가 안 돼요. 컴퍼스와 자를 가지고 직접 그려봐야 해요. 연습장에 컴퍼스와 자를 이용해서 순서대로 따라 해보고, 나중에는 설명 없이 혼자서 그려보세요.
설명 없이 혼자서 척척 해낼 때의 성취감은 그냥 일반적인 문제를 풀 때보다 더 많이 생길 거예요.
직접 해보면 이해하기는 어렵더라도 머리 속에 더 오래 남아요. 해보지 않으면 금방 잊어버리니까 꼭 직접 해보세요.
각의 이등분선의 작도
각이 있는데, 몇 °인지 몰라요. 하지만 이 각을 절반으로 나누는 선을 그릴 수 있어요. 물론 이등분한 각도 몇 °인지는 모르겠지요?
각의 이등분선을 작도해보죠.
- 각 XOY를 그려요.
- 컴퍼스를 적당히 벌려서 점 O에 바늘을 놓고 원을 그려요. 선분 OX와 원이 만나는 점을 점 A라고 하고, 선분 OY와 만나는 점을 점 B라고 하지요.
- 점 A에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 사용했던 반지름과 달라도 상관없어요.
- 이번에는 ③에서 사용했던 반지름 그대로 점 B에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. ③의 원과 한 점에서 만나죠? 이 점을 점 C라고 할게요.
- 점 C와 점 O를 자로 연결해요. 이 선분 OC가 바로 각 O의 이등분선입니다.
각의 이등선의 특징을 알아볼까요?
각의 이등분선이니까 각 XOC와 각 YOC는 같겠죠.
선분 OA의 길이과 선분 OB의 길이가 같아요. 이등분선의 작도 ②단계에서 점 O를 중심으로 그은 원이니까 당연히 같겠죠.
이등분선의 작도 ③, ④단계에서 같은 반지름으로 그렸으니까 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이도 같아요.
점 C에서 선분 OX에 내린 수선의 발을 점 P, 점 C에서 선분 OY에 내린 수선의 발은 점 Q라고 할 때, 선분 CP의 길이와 선분 CQ의 길이가 같아요. 삼각형 OCP와 삼각형 OCQ가 똑같거든요.
직각의 삼등분선의 작도
일반적인 각은 삼등분선을 작도할 수 없지만, 직각만 유일하게 삼등분할 수 있어요.
정삼각형은 세 변의 길이가 같잖아요. 세 변의 길이가 같고 또 세 각의 크기가 같아요. 이 성질을 이용해서 직각을 삼등분하는 겁니다. 직각을 삼등분했으니 한 각은 30°가 되겠죠?
- 각 XOY를 그려요. 이 각 XOY는 직각이에요.
- 점 O에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 선분 OX가 만나는 점을 점 A, 선분 OY와 만나는 점을 B라고 하지요.
- ②에서 사용한 원의 반지름 그대로 점 A에 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 C라고 할게요.
- 같은 반지름으로 점 B를 중심으로 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 D라고 하지요.
- 점 O와 점 C를 연결하고, 점 O와 점 D를 연결하세요. 이 두 선분이 각 XOY를 삼등분하는 선입니다.
- 참고로 ③, ④의 원이 만나는 점을 점 E라고 할 때, 점 O와 점 E를 연결하면 각의 이등분선이 돼요.
점 A와 점 C는 ②에서 그린 원 위에 있는 점이에요. 그러니까 선분 OA의 길이와 선분 OC의 길이는 같겠죠?
또 ③에서 그린 원과 ②에서 그린 원의 반지름이 같으니까 선분 AC의 길이는 선분 OA의 길이와 같아요.
즉 삼각형 OAC가 세 변의 길이가 같은 정삼각형이라는 거지요. 정삼각형의 한 각의 크기는 60°로 모두 같아요. 따라서 ∠AOC가 60°니까 ∠XOY에서 ∠AOC를 뺀 나머지 ∠BOC는 30°예요.
같은 이유로 ∠AOD도 30°고, ∠COD도 30°지요.
∠AOB = 90°
∠AOC = ∠BOD = 60°
∠AOD = ∠BOC = ∠COD = 30°
∠AOE = ∠BOE = 45°
직각의 삼등분선 작도에서 제일 중요한 건 컴퍼스의 폭이 바뀌지 않는다는 거예요. 그리는 원의 반지름이 모두 같아야 하는 것에 주의하세요.
작도할 수 있는 각
위에서 공부한 내용을 어떻게 활용할까요? 이제 우리는 각도기가 없어도 몇 가지 각을 작도할 수 있어요.
제일 먼저 직선의 수직이등분선을 이용하면 90°를 작도할 수 있죠? 이 직각을 각의 이등분선 작도를 하면 45°를 그릴 수 있고요. 직각을 삼등분선을 그리면 30°와 60°를 그릴 수 있어요.
그 다음에 이 30°, 45°, 60°, 90°를 각의 이등분하면 각각 15°, 22,5° 등도 만들 수 있겠죠?
또 30°를 그린 다음에 그 선분을 연장해서 거기에 직각을 그리고 각의 이등분선을 긋는다면 30° + 45° = 75°까지 그릴 수 있어요. 다시 말해서 작도할 수 있는 각을 더하거나 빼서 나오는 각도 작도할 수 있는거지요. 90° + 45° = 135° 같은 각도 작도할 수 있는 거지요.
수직이등분선의 작도 → 90°
직각의 삼등분선의 작도 → 30°, 60°
각의 이등분선의 작도 → 45° 22.5° 15° 등
위 방법을 혼합 → 위에서 작도할 수 있는 각을 서로 더하거나 뺀 각 ex) 30° + 45° = 75°
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기본도형에 대해서 공부했어요. 점, 선, 면이란 무엇인지 점, 선, 면이 평면과 공간에서 어떤 위치와 특징을 갖는지요.
이제부터는 도형을 그리는 방법을 공부할 거예요. 우리가 알고 있던 도형이 어떻게 그려지는지 좀 더 알아보자고요. 똑같은 삼각형이라도 조건에 따라서 여러 가지 방법으로 그릴 수 있어요.
이 글에서는 도형 그리기의 기초인 작도에 대해서 알아볼 거고 수직이등분선을 그리는 과정을 통해서 간단한 작도를 직접 한 번 해볼 거예요.
눈금 없는 자와 컴퍼스가 필요하니까 꼭 준비하세요.
작도
작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요. 눈금 있는 자로 그리거나 각도기를 가지고 그리는 건 작도가 아니에요. 작도할 때 몇 가지 조건을 주는데, 그 조건에 맞추면 눈금 있는 자와 각도기 없이도 도형을 그릴 수 있거든요.
작도할 때 사용하는 눈금 없는 자는 선을 그을 때 써요. 두 점을 연결해서 선을 그을 때와 이미 그려져 있는 선분을 더 길게 그릴 때요.
컴퍼스는 원래 기능대로 원을 그릴 때 쓰고요. 자에 눈금이 없으니 길이를 잴 수가 없잖아요. 이때 컴퍼스를 이용해서 주어진 선분의 길이만큼을 다른 곳에 옮길 수 있어요.
몇 가지 작도를 직접 해보면서 알아보죠.
수직 이등분선의 작도
선분의 수직이등분선이 뭔지는 이름에서 알 수 있겠죠? 수직은 90°로 만난다는 뜻이고 이등분은 정확하게 둘로 나눈다는 거잖아요. 그러니까 선분의 중점(M)을 지나고 90°로 만나는 선을 그리는 방법을 배울 거예요.
선분 AB의 수직이등분선을 눈금 없는 자와 컴퍼스로 그려보죠.
아래 그림에서 검은색은 이전 단계에서 이미 그려진 것이고 파란색 선은 현재 단계에서 그리는 것들이에요. 파란색 점은 컴퍼스의 바늘을 놓는 위치입니다.
- 먼저 선분 AB를 그리고요.
- 컴퍼스의 바늘을 점 A에 두고 적당한 길이로 벌린 다음에 원을 그리세요. 이때 반지름은 선분 AB 길이의
정도가 좋아요.
- 이번에는 컴퍼스의 길이를 그대로 유지한 체 컴퍼스의 바늘을 점 B에 두고 원을 그리세요.
- 점 A를 중심으로 그렸던 원과 점 B를 중심으로 그렸던 원이 만나는 지점이 두 군데가 생겨요. P, Q라고 할게요. 이 P, Q를 눈금 없는 자로 연결해서 선을 그으세요.
바로 이 선분 PQ가 선분 AB의 수직이등분선이에요.
수직이등분선은 몇 가지 특징이 있어요. 아래 그림을 보세요.
선분 AB와 선분 PQ는 수직이에요.
M은 선분 AB의 중점이니까 선분 AM의 길이와 선분 BM의 길이가 같죠.
같은 반지름을 이용해서 원을 그렸으니까 선분 AP의 길이와 선분 AQ의 길이, 선분 BP의 길이, 선분 BQ의 길이가 모두 같아요.
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