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삼각형의 내심은 세 각의 이등분선의 교점이에요. 이 교점에서 세 변에 이르는 거리는 같고요. 교점에서 변에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원은 세 변에 접하므로 내접원이라고 하죠.

삼각형의 내심을 중심으로 세 쌍의 합동인 삼각형이 생겨요.

삼각형의 내심은 삼각형의 종류와 상관없이 그 의미상 모든 삼각형의 내부에 있어요.

위 내용을 바탕으로 해서 삼각형 내심을 여러 가지로 활용하는 방법을 알아보죠.

삼각형 내심의 활용

점 I가 △ABC의 내심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 I가 내심이면 ∠IAB = ∠IAC, ∠IBA = ∠IBC, ∠ICB = ∠ICA에요. 점 I는 각의 이등분선의 교점이니까요.

삼각형의 내각의 합에 따라서 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이므로 ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.

∠BIC = 90° + ∠A

△IAB만 따로 떼서 생각해보죠. 변 IA의 연장선을 그어보세요.

삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다는 걸 공부했어요.

∠BIE = ∠x + ∠y입니다.

이번에는 △IAC를 생각해보면, 같은 이유로 ∠CIE = ∠x + ∠z가 되죠.

∠BIC = ∠BIE + ∠CIE = ∠x+ ∠y + ∠x + ∠z가 성립해요.

위에서 ∠x + ∠y + ∠z = 90°라고 했잖아요. 따라서 식을 정리하면 ∠BIC = 90° + ∠x가 돼요. ∠x = ∠A니까 결국 ∠BIC = 90° + ∠A가 됩니다.

△ABC의 넓이 = r(x + y + z)

이번에는 x, y, z가 각의 크기가 아닌 세 변의 길이를 뜻해요. 위와 혼동하지 마세요.

내접원의 반지름 r은 내심 I에서 변에 수직으로 이르는 거리, 즉 △IAB의 높이에 해당해요. 따라서 △IAB의 넓이는  × x × r이죠.

마찬가지로 △IBC의 넓이는  × y × r이고, △ICA의 넓이는  × z × r이에요.

△ABC의 넓이 = △IAB 넓이 + △IBC 넓이 + △ICA넓이
                   =  × x × r +  × y × r +  × z × r

두 번째 줄에서 세 번째 줄로 바뀌는 이유는 3학년 때 공부할 거예요. 여기서는 그냥 '이렇게 바뀌는구나.' 하고 넘어가요.

△ABC의 내접원의 반지름이 2cm이고, △ABC의 넓이가 20cm²일 때, △ABC의 둘레의 길이를 구하여라.

내접원의 반지름과 둘레를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 S = r × (삼각형 둘레의 길이)에요. 여기에 대입을 해보죠.

20 =  × 2 × (둘레의 길이)

(둘레의 길이) = 20 (cm)

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삼각형의 외심에 이어 삼각형의 내심입니다. 외심은 외접원의 중심이에요. 그럼 내심은 뭔지 추측할 수 있겠죠? 내심과 외심은 상당히 비슷해요. 그러니까 헷갈리기 쉽죠. 둘의 차이점을 잘 이해하고, 구분할 줄 알아야 해요.

삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질

삼각형의 내심에서도 작은 삼각형과 변, 각 등의 알파벳이 많이 나와요. 하나하나 짚어가면서 그림과 잘 비교해서 보세요.

그럼, 삼각형의 내심이 뭔지 어떤 특징이 있는지 알아보죠.

삼각형의 내심

삼각형 내심의 증명

삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이 외심이에요. 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같았죠?

그럼 이번에는 세 각의 이등분선의 교점을 알아볼까요? 세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지부터 알아보죠.

△ABC가 있어요.

∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점을 점 I라고 해보죠. 그리고 점 I에서 변 AB, BC, CA에 수선의 발을 내리고 각각 D, E, F라고 해봐요.

세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지를 증명하려면 매우 복잡해요. 그래서 일단 두 각(∠A, ∠B)의 이등분선의 교점(I)과 다른 한 점(C)을 지나는 선()이 한 각(∠C)을 이등분하는지 확인하는 방법으로 증명할 거예요.

∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점을 점 I라고 하면 ∠IAD = ∠IAF, ∠IBD = ∠IBE죠. 여기에 에 의해 나눠지는 두 각 ∠ICE = ∠ICF가 성립하는지만 확인하면 삼각형 세 각의 이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 증명할 수 있다는 얘기예요.

△IAD와 △IAF를 보세요. ∠IDA = ∠IFA = 90°이고요. 빗변는 공통이에요. ∠A를 이등분한 각이므로 ∠IAD = ∠IAF이고요. RHA 합동에 의해서 △IAD ≡ △IAF가 됩니다. 대응변인 (1)  = 가 성립하죠.

이번에는 △IBD와 △IBE를 보세요. ∠IDB = ∠IEB = 90°이고요. 빗변는 공통이에요. ∠B를 이등분한 각이므로 ∠IBD = ∠IBE에요. RHA합동에 의해서 △IBD ≡ △IBE가 됩니다. 대응변인 (2)  = 가 성립하죠.

(1), (2)에 의해서  =  = 가 됩니다.

이번에는 △ICE, △ICF를 보세요. ∠IEC = ∠IFC = 90°, 는 공통,  = 이므로 RHS 합동에 의해서 △ICE ≡ △ICF가 되죠. 따라서 대응각인 ∠ICE = ∠ICF가 성립합니다.

결국 가 ∠C의 이등분선으로 세 각의 이등분선이 점 I에서 만난다는 걸 알 수 있지요.

세 쌍의 합동인 삼각형

RHA합동에 의해서 △IAD ≡ △IAF, △IBD ≡ △IBE, △ICE ≡ △ICF 라는 합동인 삼각형이 세 쌍이 생겨요.

삼각형의 외심과 달리 이등변삼각형은 없습니다.

삼각형의 내심의 성질 - 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지를 증명하는 과정에서  =  = 가 나와요. 즉 점 I에서 세 변에 이르는 거리가 같다는 얘기죠.

점 I를 중심으로 하고, 를 반지름으로 하는 원을 그린다고 해볼까요? 이 원은 삼각형의 세 변에 모두 접하고 삼각형의 내부에 있어요. 이처럼 삼각형의 세 변에 접하는 원을 내접원 (Inner circle)이라고 해요. 그리고 내접원의 중심을 내심이라고 하고 I로 표시해요.

삼각형 내심의 성질: 내심에서 세 변에 이르는 길이는 같다.
 =  = 

내접원은 그 의미상 삼각형의 종류와 상관없이 삼각형의 내부에 있을 수밖에 없어요. 따라서 삼각형의 내심도 무조건 삼각형의 내부에 있어요.