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등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.

그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.

이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?

그림으로 표현해볼까요?

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.

그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

a_n에 n = 1을 대입해서 S₁와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 a_n에 n = 1을 대입한 값과 S₁의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.

등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → 제1항부터 등차수열
(a_n에 n = 1을 대입) ≠ S₁ → 제2항부터 등차수열

제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합은 이에요. 전개해서 정리해보죠.

S_n을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.

특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d

a₁ = S₁인데 S₁ = A + B고요.

등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 a_n = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 합 S_n = An² + Bn일 때 (n은 자연수)
  공차 d = 2A
  a₁ = S₁ = A + B

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

제n항 a_n = S_n - S_{n - 1}이에요. 대입해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n - {2(n - 1)² + 3(n - 1)}
    = 2n² + 3n - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3)
    = 2n² + 3n - 2n² + n + 1
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 = 5

등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 S_n = An² + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5로 S₁과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n + 4일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 S_n에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.

방법은 똑같으니까 한번 해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n + 4 - {2(n - 1)² + 3(n - 1) + 4}
    = 2n² + 3n + 4 - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
    = 2n² + 3n + 4 - 2n² + n - 3
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 + 4 = 9

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5 ≠ S₁ = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.

S_n에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.

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등차수열의 일반항에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

등차수열의 일반항에서 식만 보고 별 계산 없이 곧바로 공차와 첫째항을 구할 수 있어요. 어떻게 이게 가능하지 알아볼 거예요. 어떤 일반항을 보고 이게 등차수열인지 아닌지 확인하는 방법도 알아볼 거고요.

그리고 등차중항이라는 것도 알아볼 건데, 등차중항의 뜻과 등차중항을 이용해서 등차수열을 구하는 방법까지 알아보죠.

등차수열 일반항의 성질

첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 전개해서 정리해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = dn + a - d
a_n = An + B

등차수열의 일반항은 a_n = An + B꼴로 쓸 수 있어요. 이게 무슨 말이냐면 n의 계수 A가 공차 d라는 거예요.

n = 1을 대입해서 제1항을 구해보죠.

a_n = An + B
a₁ = A + B

지금까지는 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항 a_n을 구했어요. 이제는 반대로 등차수열의 일반항을 알면 첫째항과 공차를 구할 수 있다는 뜻이에요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때
  공차 d = n의 계수
  a₁ = (n의 계수) + (상수항)

등차수열의 일반항 a_n = 2n + 3일 때 첫째항과 공차를 구하여라. (n은 자연수)

첫째항을 n = 1을 대입해서 구할 수 있어요.

a₁ = 2 × 1 + 3 = 5

원래대로 공차를 구하려면 어떻게 할까요? a₂를 구해서 d = a₂ - a₁로 구하겠죠?

d = a₂ - a₁ = 2 × 2 + 3 - (2 × 1 + 3) = 7 - 5 = 2

첫째항은 5, 공차는 2네요.

공식으로 바로 구해보죠. 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때 공차 d는 n의 계수, 첫째항은 (n의 계수) + (상수항)이에요.

a_n = 2n + 3 = An + B

공차 d = A = 2
첫째항 a₁ = A + B = 2 + 3 = 5

이런저런 계산할 필요없이 바로 구할 수 있죠?

등차수열 증명

등차수열이라는 말없이 그냥 일반항만 알려줬을 때 이 수열이 등차수열인지 아닌지 알 수 있을까요?

어떤 수열의 일반항이 a_n = 3n + 1일 때 이 수열은 등차수열일까요? 아닐까요?

등차수열인지 알아보는 가장 기본은 공차가 있는지 알아보는 거예요. 공차는 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이를 비교해보면 되죠? 등차수열은 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정한데 이걸 식으로 나타내면 a_{n + 1} - a_n = d에요. 이 d가 공차죠.

a_{n + 1} - a_n
3 × (n + 1) + 1 - (3 × n + 1)
= 3n + 3 + 1 - 3n - 1
= 3

n + 1항과 바로 앞 n항의 차이가 상수 3으로 일정해요. 따라서 이 수열은 등차수열이에요.

일반항 a_n이 주어졌을 때 등차수열인지 알아보는 방법
한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정하면 등차수열
a_{n + 1} - a_n = d

위에서 했던 등차수열 일반항의 성질과 묶어서 생각해보죠. 일반항이 a_n = 3n + 1로 자연수 n에 대한 1차식이에요. 그러니까 공차는 n의 계수인 3이고 첫째항은 (3 + 1) = 4인 등차수열인 거죠.

등차중항

세 수 a, b, c가 있다고 해보죠. 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면 어떤 조건이 있어야 할까요?

한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 같아야 해요.

b - a = c - b
2b = a + c

가운데 있는 b가 앞과 뒤에 있는 a, c의 산술평균이면 세 수가 순서대로 등차수열을 이뤄요. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 해요. 두 항의 가운데 있는 항이니까 중항이죠.

등차수열 1, 3, 5, 7, 9, …에서 1과 5의 등차중항은 3이고, 5와 9의 등차중항은 7이에요.

세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때

b는 a, c의 등차중항 (a와 c의 산술평균)

다음 세 수가 순서대로 등차수열일 때, x를 구하여라.
(1) 5, x, 13
(2) 8, 3x, x²

숫자가 3개밖에 안되니까 그냥 구할 수도 있겠지만 등차중항을 이용해서 문제를 풀어보죠.

(1)에서는 x가 5와 13의 등차중항이에요. 등차중항은 산술평균이죠?

(2)에서는 3x가 8과 x²의 등차중항이에요.

x = 2 or 4

8, 6, 4 또는 8, 12, 16인 등차수열이네요.

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수열이 뭔지 알았으니까 이제 수열의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

첫 번째로 공부할 수열은 등차수열이에요. 등차수열에서는 공차라는 용어를 사용하는데 공차가 무엇을 의미하는지를 알고 공차를 구할 수만 있으면 등차수열 전부를 이해했다고 할 수 있어요. 그런데 공차를 구하는 건 매우 쉬워요.

수열에는 일반항이라는 게 있어요. 공차를 이용해서 등차수열의 일반항을 구하는 방법도 알아볼 거예요.

등차수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 늘어놓은 수열이죠? 어떤 규칙이 있을까요? 제1항은 1이고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 1이 더 크죠?

2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 늘어놓은 수열인데 제1항은 2고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 2가 커요.

이처럼 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열을 등차수열이라고 하고 더해지는 일정한 수를 공차라고 해요.

2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 = 제1항 + 2 = 4
제3항 = 제2항 + 2 = 6
제4항 = 제3항 + 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 더해서 새로운 항을 얻었으니까 공차는 2예요.

등차수열에서 등차(等差)는 차이가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 차이, 제2항과 제3항의 차이, …, 제(n - 1)항과 제n항의 차이, …가 같아요. 이 차이가 바로 공차예요.

다시 2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 - 제1항 = 4 - 2 = 2
제3항 - 제2항 = 6 - 4 = 2
제4항 - 제3항 = 8 - 6 = 2

각 항과 바로 앞의 항의 차이가 모두 2로 같아요. 그러니까 공차가 2인 거죠.

등차수열은 Arithmetic Progression을 줄여서 A.P라고 하고 공차(Common Difference)는 d라고 나타내요.

등차수열: 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공차(d): 각 항에 더해지는 일정한 수
a_n = a_{n - 1} + d
d = a_n - a_{n - 1}

등차수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. d는 공차고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d
a_n = a_n-1 + d = {a₁ + (n - 2)d} + d = a₁ + (n - 1)d

마지막 줄을 보면 등차수열의 일반항 a_n = a₁ + (n - 1)d라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항
a_n = a + (n - 1)d      (단, n은 자연수)

다음 등차수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, d = -2
(2) a₂ = -10, a₆ = 10
(3) 3, 9, 15, 21, 27, …

제1항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요.

(1) 제1항과 공차를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 20 + (n - 1) × (-2) = -2n + 22

(2)번은 공차를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 여섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공차를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a₂ = a + (2 - 1)d = -10
a + d = -10

a_n = a + (n - 1)d
a₆ = a + (6 - 1)d = 10
a + 5d = 10

두 식을 연립해서 풀면 a = -15, d = 5가 나와요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = -15 + (n - 1) × 5
a_n = 5n - 20

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공차는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 뒤의 항에서 앞의 항을 빼주면 구할 수 있어요.

d = a₂ - a₁ = 9 - 3 = 6

제1항이 3, 공차가 6이네요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 3 + (n - 1) × 6
a_n = 6n - 3

등차수열 4, 7, 10, 13, …에서 처음으로 100보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라.

먼저 일반항을 구해야 겠네요.

d = a₂ - a₁ = 7 - 4 = 3

a_n = a + (n - 1)d = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

a_n = 3n + 1 > 100
3n > 99
n > 33

n은 자연수니까 33보다 큰 34일 때 100보다 크네요. 따라서 답은 34항입니다.

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