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각의 이등분선에 대해서 알죠? 1학년 때 각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도에서 봤던 기억이 날 거예요.

이제는 그리는 것을 넘어서 각의 이등분선이 어떤 특징이 있는지 알아보죠. 그리는 것보다는 이게 더 쉬울 수 있어요.

각의 이등분선의 특징을 알아보려면 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건을 알아야 해요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

각의 이등분선

각의 이등분선은 이름 그대로 어떤 각을 똑같은 크기로 둘로 나누는 선이에요. 이등분선 위의 한 점과 각의 두 변 사이에 어떤 특징이 있을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 배웠어요. 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 내려서 만나는 점, 즉 수선의 발과의 거리를 구하죠.

각의 이등분선 위의 한 점에서 각 변에 수선의 발을 내리게 되면 각의 꼭짓점과 수선의 발, 이등분선위 점으로 이루어진 삼각형을 만들 수 있어요. 그런데 이게 직각삼각형이에요.

직각삼각형이 나오면 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다는 걸 눈치채야 해요

아래 그림을 보세요.

∠AOB가 있어요. 이 각의 이등분선을 긋고 이등분선 위의 점 P에서 각의 변 OA와 변 OB에 수선을 내렸더니, △AOP와 △BOP가 생겨요.

일단 여기까지 해놓고, 위 성질을 증명해보죠.

가정: ∠AOP = ∠BOP(각의 이등분선), ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론:

증명: (1) ∠AOP = ∠BOP (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

두 직각삼각형이 있는데, 빗변은 공통이고 한 예각의 크기가 같아요. RHA 합동이죠? △AOP ≡ △BOP

따라서 가 됩니다.    (증명 끝.)

각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다.

이 성질은 위의 성질을 거꾸로 뒤집은 거예요. 마찬가지로 점과 직선 사이의 거리를 구해야 하니 수선의 발을 내려야 해요.

가정: , ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론: ∠AOP = ∠BOP

증명: (1) (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

(1), (2), (3)에 의해서 빗변은 공통이고, 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형이기 때문에 RHS 합동이에요. △AOP ≡ △BOP

따라서 대응각인 ∠AOP = ∠BOP이 되죠.     (증명 끝.)

직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 알아봤어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

△ABC가 직각삼각형인데, 그 안에 △ABD와 △AED, △CDE라는 직각삼각형 세 개 가 더 있네요.

△ABD에서 한 각은 직각, 다른 각은 60°니까 남은 ∠BAD는 30°겠죠?

△ABD와 △AED는 빗변 가 공통이고 한 변의 길이가 같은 () 직각삼각형으로 RHS 합동이에요. 따라서 ∠BAD와 ∠EAD는 같아요. ∠BAD = ∠EAD = 30°

따라서 ∠BAE = ∠BAD + ∠EAD = 60°죠.

큰 삼각형 △ABC에서 ∠A는 60°, ∠B는 90°니까 x = 30°이 되겠네요.

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이전 글 작도, 수직이등분선의 작도에 이어서 이번에는 각의 이등분선과 직각의 삼등분선을 작도해볼거예요.

작도는 그냥 설명만 봐서는 잘 이해가 안 돼요. 컴퍼스와 자를 가지고 직접 그려봐야 해요. 연습장에 컴퍼스와 자를 이용해서 순서대로 따라 해보고, 나중에는 설명 없이 혼자서 그려보세요.

설명 없이 혼자서 척척 해낼 때의 성취감은 그냥 일반적인 문제를 풀 때보다 더 많이 생길 거예요.

직접 해보면 이해하기는 어렵더라도 머리 속에 더 오래 남아요. 해보지 않으면 금방 잊어버리니까 꼭 직접 해보세요.

각의 이등분선의 작도

각이 있는데, 몇 °인지 몰라요. 하지만 이 각을 절반으로 나누는 선을 그릴 수 있어요. 물론 이등분한 각도 몇 °인지는 모르겠지요?

각의 이등분선을 작도해보죠.

1. 각 XOY를 그려요.
2. 컴퍼스를 적당히 벌려서 점 O에 바늘을 놓고 원을 그려요. 선분 OX와 원이 만나는 점을 점 A라고 하고, 선분 OY와 만나는 점을 점 B라고 하지요.
3. 점 A에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 사용했던 반지름과 달라도 상관없어요.
4. 이번에는 ③에서 사용했던 반지름 그대로 점 B에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. ③의 원과 한 점에서 만나죠? 이 점을 점 C라고 할게요.
5. 점 C와 점 O를 자로 연결해요. 이 선분 OC가 바로 각 O의 이등분선입니다.

각의 이등선의 특징을 알아볼까요?

각의 이등분선이니까 각 XOC와 각 YOC는 같겠죠.

선분 OA의 길이과 선분 OB의 길이가 같아요. 이등분선의 작도 ②단계에서 점 O를 중심으로 그은 원이니까 당연히 같겠죠.

이등분선의 작도 ③, ④단계에서 같은 반지름으로 그렸으니까 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이도 같아요.

점 C에서 선분 OX에 내린 수선의 발을 점 P, 점 C에서 선분 OY에 내린 수선의 발은 점 Q라고 할 때, 선분 CP의 길이와 선분 CQ의 길이가 같아요. 삼각형 OCP와 삼각형 OCQ가 똑같거든요. 

직각의 삼등분선의 작도

일반적인 각은 삼등분선을 작도할 수 없지만, 직각만 유일하게 삼등분할 수 있어요.

정삼각형은 세 변의 길이가 같잖아요. 세 변의 길이가 같고 또 세 각의 크기가 같아요. 이 성질을 이용해서 직각을 삼등분하는 겁니다. 직각을 삼등분했으니 한 각은 30°가 되겠죠?

1. 각 XOY를 그려요. 이 각 XOY는 직각이에요.
2. 점 O에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 선분 OX가 만나는 점을 점 A, 선분 OY와 만나는 점을 B라고 하지요.
3. ②에서 사용한 원의 반지름 그대로 점 A에 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 C라고 할게요.
4. 같은 반지름으로 점 B를 중심으로 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 D라고 하지요.
5. 점 O와 점 C를 연결하고, 점 O와 점 D를 연결하세요. 이 두 선분이 각 XOY를 삼등분하는 선입니다.
6. 참고로 ③, ④의 원이 만나는 점을 점 E라고 할 때, 점 O와 점 E를 연결하면 각의 이등분선이 돼요.

점 A와 점 C는 ②에서 그린 원 위에 있는 점이에요. 그러니까 선분 OA의 길이와 선분 OC의 길이는 같겠죠? 

또 ③에서 그린 원과 ②에서 그린 원의 반지름이 같으니까 선분 AC의 길이는 선분 OA의 길이와 같아요. 

즉 삼각형 OAC가 세 변의 길이가 같은 정삼각형이라는 거지요. 정삼각형의 한 각의 크기는 60°로 모두 같아요. 따라서 ∠AOC가 60°니까 ∠XOY에서 ∠AOC를 뺀 나머지 ∠BOC는 30°예요.

같은 이유로 ∠AOD도 30°고, ∠COD도 30°지요.

∠AOB = 90°
∠AOC = ∠BOD = 60°
∠AOD = ∠BOC = ∠COD = 30°
∠AOE = ∠BOE = 45°

직각의 삼등분선 작도에서 제일 중요한 건 컴퍼스의 폭이 바뀌지 않는다는 거예요. 그리는 원의 반지름이 모두 같아야 하는 것에 주의하세요.

작도할 수 있는 각

위에서 공부한 내용을 어떻게 활용할까요? 이제 우리는 각도기가 없어도 몇 가지 각을 작도할 수 있어요.

제일 먼저 직선의 수직이등분선을 이용하면 90°를 작도할 수 있죠? 이 직각을 각의 이등분선 작도를 하면 45°를 그릴 수 있고요. 직각을 삼등분선을 그리면 30°와 60°를 그릴 수 있어요.

그 다음에 이 30°, 45°, 60°, 90°를 각의 이등분하면 각각 15°, 22,5° 등도 만들 수 있겠죠?

또 30°를 그린 다음에 그 선분을 연장해서 거기에 직각을 그리고 각의 이등분선을 긋는다면 30° + 45° = 75°까지 그릴 수 있어요. 다시 말해서 작도할 수 있는 각을 더하거나 빼서 나오는 각도 작도할 수 있는거지요. 90° + 45° = 135° 같은 각도 작도할 수 있는 거지요.

수직이등분선의 작도 → 90°
직각의 삼등분선의 작도 → 30°, 60°
각의 이등분선의 작도 → 45° 22.5° 15° 등
위 방법을 혼합 → 위에서 작도할 수 있는 각을 서로 더하거나 뺀 각 ex) 30° + 45° = 75°

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