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자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 거듭제곱의 합

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²

그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)³ - x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ = 3x² + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.

x = 1 → 2³ - 1³ = 3 × 1² + 3 × 1 + 1
x = 2 → 3³ - 2³ = 3 × 2² + 3 × 2 + 1
x = 3 → 4³ - 3³ = 3 × 3² + 3 × 3 + 1
x = 4 → 5³ - 4³ = 3 × 4² + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)³ - n³ = 3 × n² + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 1³과 마지막 식의 (n + 1)³만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)³ - 1³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)⁴ - x⁴

(x + 1)⁴ - x⁴ = 4x³ + 6x² + 4x + 1

위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

을 간단히 하여라.

시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.

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수열의 합을 나타내는 기호인 시그마(∑) 기호에 대해서 알아봤어요. 숫자들의 합을 시그마(∑) 기호를 이용해서 나타낼 수 있어야 하고, 반대로 시그마(∑)를 보고 식으로 풀어서 쓸 수도 있어야 해요.

이 글에서는 시그마(∑)의 기본 성질에 대해서 알아볼 거예요. 성질이 어떻게 유도되는지 잘 알아두세요. ∑의 성질을 증명하는 방법은 매우 간단해요. 원래 의미 그대로 식으로 풀어서 쓴 다음에 더하는 거지요.

마지막으로 시그마(∑)의 기본성질이 성립하는 조건과 성립하지 않는 조건에 대해서도 알아볼 거예요. ∑를 이용해서 식을 나타낼 때는 ∑의 위아래에 있는 숫자가 작으니까 주의해서 잘 보세요.

시그마 ∑의 성질

∑의 성질을 증명하는 방법은 간단해요. ∑를 원래대로 풀어서 써보는 거죠. 풀어서 쓴 다음 같은 종류끼리 묶고, 묶은 건 다시 ∑로 나타내보는 거예요.

먼저, 합이 k에 대한 두 가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때예요.

각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같아요.

다음은 상수 c가 곱해져 있을 때예요.

상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같아요.

이번에는 k에 대한 식이 아니라 그냥 상수 c일 때예요.

k에 대한 식이 아니라서 모든 항이 c예요. c가 n개만큼 있으니까 그 합은 cn이 되겠죠.

∑의 기본 성질 (c는 상수)

이 성질은 합과 차로 되어 있을 때만 성립해요. 곱이나 나눗셈, 완전제곱일 때는 성립하지 않아요.

첫 번째 성질에서 주의해야 할 게 있어요. 좌우변을 바꿔서 기본 성질을 적용할 때 두 개의 ∑에 있는 각각의 시작 항과 마지막 항이 서로 같아야 해요.

1. a_k와 b_k의 합을 구하는 첫째항이 1, 마지막 항이 n으로 같아서 기본 성질을 이용할 수 있어요.
2. a_k의 합을 구하는 첫째항은 1, b_k의 합을 구하는 첫째항은 2로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.
3. a_k의 합을 구하는 마지막 항은 n, b_k의 합을 구하는 마지막 항은 m으로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.

일 때 다음을 구하여라.
(1)
(2)

(1)은 k에 대한 두 식의 합으로 되어 있어요. 그리고 각 식에는 상수 2, 3이 곱해져 있고요. ∑의 성질을 이용해서 모양을 바꿔보죠.

(2)번은 식이 좀 복잡하네요. 각각 전개해서 구하는 방법도 있고, 둘을 하나로 합쳐서 전개하는 방법도 있어요.

두 개의 ∑이 있으니까 하나로 합칠 수 있죠? 하나로 합쳐서 전개해보죠.

답은 같으니까 어떤 방법으로 풀어도 상관없어요.

을 간단히 하여라.

k에 대한 식은 같은데, ∑ 기호 아래에 있는 k의 시작값이 달라요. 그러니까 ∑의 성질을 이용해서 둘을 합칠 수 없어요. 이때는 다른 방법을 이용해요.

은 제1항부터 제10항까지의 합이에요. 이걸 제1항부터 제5항까지의 합과 제6항부터 제10항까지의 합 두 부분으로 나눌 수 있죠?

이걸 처음의 식에 대입해보죠.

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