로그방정식, 로그방정식의 풀이
지수, 지수의 성질(지수법칙), 지수함수와 그래프, 지수방정식, 지수부등식 순서로 공부했어요. 로그도 똑같겠죠? 로그, 로그의 성질, 로그함수와 그래프까지 했으니 이제 로그방정식을 공부할 차례에요.
로그방정식을 푸는 방법은 여러 가지예요. 로그의 정의와 로그의 성질을 이용해서 푸는 게 제일 기본적인 방법이에요. 그러니까 로그의 정의와 로그의 성질에 대해서 정확하게 알고 있어야 해요. 그 외에 문제 유형에 따라 여러 가지 방법들이 있으니 책에 있는 다양한 문제들을 많이 풀어보세요.
로그방정식
로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수가 있는 방정식을 말해요.
logx + 13 = 8, log2x = 8 등
밑이 같은 두 로그가 같은 값을 가지려면 진수가 같아야 해요. 또 진수가 같은 두 로그가 같은 값을 가지려면 밑이 같아야 하고요. 물론 이때 밑은 1이 아닌 양수, 진수는 양수여야 하죠.
a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0일 때
logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)
logaf(x) = logbf(x) ⇔ a = b or f(x) = 1
logaf(x) = c ⇔ ac = f(x)
기본적으로는 위의 세 가지를 이용해서 로그방정식을 풀어요.
두 번째 성질을 보죠. 만약에 f(x) = 1이라면 어떻게 될까요?
log21 = log31 = log41 = 0
로그에서 진수가 1이면 밑이 서로 달라도 로그는 모두 0으로 같아요. 양변의 값이 같으니까 f(x) = 1도 로그방정식의 해가 될 수 있죠?
진수인 f(x) ≠ 1일 때는 밑이 서로 같아야 하니까 a = b고요.
세 번째는 로그의 정의를 이용해서 로그를 지수로 바꾼 거예요.
이렇게도 생각할 수 있어요. logaa = 1이잖아요. 그래서 우변 c에 a를 밑으로 하는 로그를 곱하는 거죠. 그다음 로그의 성질을 이용해서 c를 진수의 지수로 올리는 거예요.
logaf(x) = c
logaf(x) = c × logaa
logaf(x) = logaac
f(x) = ac
이처럼 로그의 성질을 이용해서 로그방정식을 풀 수 있어요. 그러면 다른 로그의 성질을 이용해서 로그방정식을 풀 수도 있겠죠?
log23 = log4x가 있다고 해보죠.
이렇게 풀 수도 있겠죠? 다른 로그의 성질을 이용해보죠. 양쪽에 있는 두 로그의 밑이 다르니까 밑을 같게 만들어 볼까요? 로그의 밑 변환 공식을 이용하면 서로 밑을 똑같이 만들어 줄 수 있어요.
밑 변환 공식을 이용했더니 밑이 같아졌어요. 밑이 같아졌으니까 계속 풀 수 있죠.
이번에는 지수에 로그가 있을 때를 보죠.
2log48 = x
이럴 때는 양변에 로그를 취해요.
2log48 = x
log22log48 = log2x
log48 log22 = log2x
log48 = log2x
양쪽 다 로그가 되었어요. 밑이 다르니까 로그의 성질을 이용하거나 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 해준 다음에 풀면 되죠.
정리해보죠.
- 로그의 성질 이용: logaf(x) = c ⇔ ac = f(x)
- 밑이 같을 때
- 진수가 같다. logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)
- 밑이 다를 때
- 로그의 성질, 로그의 밑 변환 공식을 이용하여 밑을 같게 만들어 준다.
- 진수가 같다.
- 진수가 같을 때: logaf(x) = logbf(x)
- 진수 = 1. f(x) = 1
- 밑이 같다. a = b
- 지수에 로그가 있을 때: 양변에 로그를 취한다.
로그방정식을 풀 때는 항상 밑과 진수가 양수인지 확인해야 해요. 또 밑은 1인지 아닌지까지도 확인해야 하고요.
문제를 풀다 보면 공통부분이 생기기도 하는데 그럴 때는 치환을 하기도 해요. 치환은 긴 식을 간단히 해서 푸는 기술(?)로 어려운 문제를 풀 때는 항상 나오는 얘기니까 지수방정식에서도 빠지지 않아요.
다음 로그방정식의 해를 구하여라.
(1) log2x = 3
(2) log3(x + 2) = log3x2
(3) log(x - 1)(x + 1) = log2(x + 1)
(1) 로그의 정의에 맞게 지수로 바꿔보죠.
log2x = 3
x = 23
x = 8
(2)번은 양쪽의 로그의 밑이 같아요. 그러니까 진수끼리 같아야 하죠.
log3(x + 2) = log3x2
x + 2 = x2
x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 or -1
여기서 잊지말고 꼭 확인해야 할 게 있어요. (진수) > 0이요. (x + 2) > 0, x2 > 0이어야 해요. 2와 -1 모두 이 범위를 만족하니까 해가 될 수 있네요.
x = 2 or -1
(3)번은 밑과 진수에 모두 미지수가 들어있네요. 그런데 진수가 (x + 1)로같아요. 그러니까 밑이 같은 경우를 생각해볼 수 있겠죠?
log(x - 1)(x + 1) = log2(x + 1)
x - 1 = 2
x = 3
또 진수 (x + 1) = 1이면 밑이 달라도 로그의 값은 0이어서 양변이 같을 수 있어요. 이 경우도 생각해봐야 하죠?
x + 1 = 1
x = 0
x = 3 or 0인데, 로그의 밑은 1이 아닌 양수니까 x - 1 > 0으로 x > 1(x ≠ 2)이에요. 따라서 해는 x = 3
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