이차방정식의 판별식을 이용해서 두 근이 실근인지 허근인지 판별할 수 있어요. 이번에 공부할 건 조금 확장된 버전(?)인데요. 교육과정에 있는 내용은 아닌데, 그냥 한 번 해보죠.
이차방정식은 모르지만, 이차방정식 두 근의 합과 곱을 알 때, 두 근이 실근인지 허근인지 확인하는 방법이에요. 판별식을 이용하는 방법보다 한 단계만 더 거치는 거니까 어렵지는 않아요.
식을 알면 두 근을 구해서 실근인지 허근이지 판별할 수 있는데, 식을 모르니까 두 근을 구할 수 없고, 근을 모르니까 실근인지 허근인지 판별할 수 없어요.
하지만, 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서도 근을 구하지 않고 실근, 허근을 판별했어요. 즉, 식을 알기만 하면 근을 구할 수 없을더라도 실근, 허근을 판별할 수는 있어요.
판별식을 이용하려면 식을 알아야 하죠. 그런데 식을 몰라요. 합과 곱만 알아요. 어떻게 해야 할까요? 식을 먼저 구해야겠죠? 식을 구하는 방법이 뭘까요? 바로 두 수를 근으로 하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식이에요.
그러니까 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 만들고, 그렇게 만든 이차방정식에서 판별식을 구하면 두 근이 실근인지 허근인지 확인할 수 있어요.
두 근의 합과 곱을 알 때 이차방정식은 다음과 같아요.
두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x2 - mx + n) = 0
a(x2 - 합x + 곱) = 0
위 공식을 전개해보면 ax2 - amx + an = 0이에요.
나머지 과정은 다 알죠?
D = (-am)2 - 4 × a × an
- D > 0이면 서로 다른 두 실근
- D = 0이면 중근(실근)
- D < 0이면 서로 다른 두 허근
두 근의 합이 9, 곱이 18이고 이차항의 계수가 2인 이차방정식의 근의 종류를 판별하여라.
근이 뭔지는 모르지만, 두 근의 합과 곱, 이차항의 계수를 알려줬네요. 식을 구할 수 있어요.
a(x2 - 합x + 곱) = 0
2(x2 + 9x + 18) = 0
2x2 + 18x + 36 = 0
이제 식을 알았으니 판별식을 사용할 수 있어요.
D/4 = 92 - 2 × 36
= 81 - 72
= 9 > 0
D/4 > 0이니까 서로 다른 두 실근이에요.
여기서 한 가지 더 알아둘 건, 이차항의 계수는 별 필요가 없다는 거예요.
합이 m, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - mx + n) = 0
ax2 - amx + an = 0
D = (-am)2 - 4 × a × an
= a2m2 - 4a2n
= a2(m2 - 4n)
a2은 무조건 양수니까 뒤 (m2 - 4n)의 부호만 알면되죠?
이차항의 계수 없이 공식의 괄호부분만 볼까요?
x2 - mx + n = 0
D = (-m)2 - 4 × 1 × an
= m2 - 4n
결국 이차항의 계수는 판별식의 부호에 아무런 영향을 미치지 않아요.