곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.
곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.
곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.
곱셈공식의 변형
곱셈공식의 변형 - 제곱의 합
곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 - 2ab = a2 + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 + 2ab = a2 + b2
첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= (a - b)2 + 2ab
곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.
변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?
어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x2 + y2을 구하여라.
합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제에요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?52 = x2 + 20 + y2
x2 + y2 = 25 - 20
x2 + y2 = 5
곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱
변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a2 + b2에요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.
(a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.
새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.
x + y = 4, x2 + y2 = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)2
두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.
(1) 42 = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3
(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)2 = x2 - 2xy + y2이죠. 대입하면
(x - y)2 = 10 - 2 × 3
(x - y)2 = 10 - 6
(x - y)2 = 4
함께보면 좋은 글
곱셈공식 - 완전제곱식
곱셈공식 - 합차공식 외
등식의 변형
정말 잘 보고 가요. 아직 이해가 잘 되지는 않지만 훨씬 쉬워졌어요. 종종 찾아와도 될까요?
곱셈공식의 변형이 조금 어려운 내용이긴 해요. 실제로 연습장에 써보면서 변형해 보시면 도움이 될 거에요.
자주 오셔셔 공부도 하시고 질문도 하세요.
제곱의합 예제가 틀렸어요 확인해주세요
네, 확인했어요.
내일이 시험인데 이거보고 완전 이해됬어요~~~감사해요!
시험 잘 보세요. ㅎㅎ
이거 교과서에 나오나요?
교과서에는 나오지 않죠.
하지만 문제집이나 참고서에 나오는 내용이라서 시험에는 나올 거예요.
정말 설명을 잘하시네요. 완전 좋아서 공부하다 중간에 글씁니다. 감사드려요. ^o^
곱셈공식의 변형은 이름 그대로 원래 식의 모양만 바꾸는 거라서 쉬운 내용이라 그래요.
정말 이해가기 쉽게 쓰셨네요. 근데 대부분의 중2 수학문제집 부분 보면 곰셈공식의 변형 부분에서 이 부분 뿐만 아니라
(x+1/x)^2 도 다루던데 그건 왜 안쓰신거죠??
말씀하신 형태의 곱셈공식의 변형은 중학 과정에서는 크게 중요한 내용도 아니고, 문제로 출제되는 경우도 거의 없어서 생략했어요.
고등학교 1학년때 다시 배우기도 하니까 그 쪽을 참고하세요.
http://mathbang.net/312
잘 보고 갑니다^^ 종종 들르겠습니다~
네, 자주 오세요.
비밀댓글입니다
(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab
가운데 생략하면 (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab가 되잖아요.
어려운예제도하시는게조을듯
가능하면 쉽게 이해할 수 있도록 일부러 쉬운 예제만 하는 거예요.
잘 보고가요.^^
또 보러 와요.
그렇구나... 그런데 호그와트 마법학교에서는 문제가 있어요! 수학을 안 가르쳐쥐요. ㅠㅠ
학교마다 교육목적이나 과정이 다른 것 뿐이에요. 그리고 그 학교는 영국의 정규 교육과정이 아니잖아요.
변형공식에 대해 나와있는 단원이라 문제 풀때 노락박스에 있는 공식을 이용해서 풀어보니 답이 -1.5랑 0이 나와서, 아래 나와있는 해석을 보니 기존에 배웠던 완전제곱식을 대입해서 푸는것으로 되어 있네요. 저 노락박스에 나와있는건 실제로 대입할때 사용하는식이 아니라 이해를 위해 써주신 건가요?
참고로 마지막 문제를 저는 이렇게 풀었습니다.
[x+y=4, x제곱 + y제곱=10 일때 다음을 구하여라]
(1)문제는 x제곱 + y제곱 = 10 이니까
10 = 4제곱 + 4xy
10 - 4제곱 = 4xy
10-16 = 4xy
-6 = 4xy
-1.5 = xy
xy = -1.5
노란박스에 2번째 줄에 있는 식으로 대입했습니다.
(2)번은 노란박스에 3번째 줄에 있는 식으로 대입해서 결과가 0이 나왔습니다.
제가 이번단원에서 어떤부분을 잘못 이해하고 있는것인지 궁금해요.
공식에서 사용된 게 a + b인지 a - b인지, +4ab인지 -4ab인지 잘 보셔야 합니다.
비밀댓글입니다
https://mathbang.net/312
첫번째 말씀하시는 건가요?
비밀댓글입니다