단항식의 곱셈, 다항식과 단항식의 곱셈을 해봤어요. 단항식의 곱셈과 나눗셈, 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
이 글에서는 다항식과 다항식의 곱셈을 해볼 거예요. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하면 되니까 그냥 넘어가고요. 그리고 다항식과 다항식을 곱할 때, 계산과정을 생략하고 그 결과를 바로 만들어낼 수 있는 공식인 곱셈공식도 공부할 거예요.
앞으로 공부할 식은 기본적으로 모두 다항식이기 때문에 곱셈공식은 꼭 알아야 하는 공식이에요. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 먼저 2개를 알아보죠.
다항식 × 다항식
두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)을 해보죠. 분배법칙을 이용할 거예요.
먼저 앞에 있는 a + b를 m이라고 한 번 생각해볼까요? 그러면 식은 m(c + d)로 바꿀 수 있죠? 이 모양이라면 분배법칙으로 괄호를 풀 수 있죠?
(a + b)(c + d)
= m(c + d)
= (m × c) + (m × d)
그런데, 원래 m = a + b였잖아요. 원래 값을 대입해보죠.
= {(a + b) × c} + {(a + b) × d}
다시 분배법칙으로 괄호를 풀면
= {(a × c) + (b × c)} + {(a × d) + (b × d)}
= ac + bc + ad + bd
항이 두 개인 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 2번 이용해서 전개하는 거죠.
위의 계산 결과가 맞는지 그림으로 증명해볼까요? 가로 길이가 (a + b)이고, 세로 길이가 (c + d)인 사각형의 넓이는 (a + b)(c + d)죠?
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
다항식의 곱셈을 하는 방법이에요. 앞에 있는 다항식의 항 하나를 뒤에 있는 다항식의 항에 모두 곱하고, 앞에 있는 다항식의 다른 항을 뒤에 있는 다항식의 모든 항에 곱하는 거예요. 말로 하면 어려우니까 그림으로 보고 외우세요.
다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + 2)(a + 3)
(2) (a + 3)(a - 2)
(3) (a + 3)(2a + b - 1)
첫 번째 다항식의 한 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주고, 첫 번째 다항식의 다른 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주는 거예요.
(1) (3a + 2)(a + 3)
= 3a(a + 3) + 2(a + 3)
= 3a2 + 9a + 2a + 6
= 3a2 + 11a + 6
(2) (a + 3)(a - 2)
= a(a - 2) + 3(a - 2)
= a2 - 2a + 3a - 6
= a2 + a - 6
(3) 번은 두 번째 다항식의 항이 세 개인데 항의 개수만 다를 뿐 방법이 똑같아요.
(a + 3)(2a + b - 1)
= a(2a + b - 1) + 3(2a + b - 1)
= 2a2 + ab - a + 6a + 3b - 3
= 2a2 + ab + 5a + 3b - 3
곱셈공식(1) - 완전제곱식(합의 공식)
완전제곱식은 똑같은 다항식을 여러 번 곱하는 거예요. 같은 수를 곱하는 걸 거듭제곱이라고 한다면 같은 식을 곱하는 게 완전제곱식이죠.
(a + b) 라는 다항식을 2번 곱하면 (a + b)(a + b) = (a + b)2에요. 한 번 전개해보죠.
(a + b)2
= (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
결과만 볼까요?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
다항식의 각 항을 제곱(a2, b2)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 더해주는 거예요.
그림으로 보면 공식을 더 쉽게 이해할 수 있어요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 늘린 후 넓이를 구하는 거예요.
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)
이번에는 (a - b) 의 완전제곱을 구해보죠.
(a - b)2
= (a - b)(a - b)
= a2 - ab - ba + b2
= a2 - 2ab + b2
결과만 볼까요?
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
다항식의 각 항을 제곱(a2, b2)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 빼주는 거예요.
아래 그림을 보세요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 줄인 다음에 사각형의 넓이를 구하는 과정이에요.
색칠한 사각형의 넓이 = 큰 사각형 - 흰 사각형 세 개의 넓이
(a - b)2 = a2 - b(a - b) - (a - b)b - b2
= a2 - ba + b2 - ab + b2 - b2
= a2 - 2ab + b2
두 완전제곱식의 차이를 잘 비교해서 외우세요. 각 항을 제곱해주는 건 같은데, 가운데 부호에 따라서 2ab를 더해주고, 빼주는 차이가 있어요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
다음을 간단히 하여라.
(1) (a + 5)2
(2) (2a + 3b)2
(3) (3a - 5)2
(4) (4a - 2b)2
완전제곱식은 각 항은 제곱해서 더해주고, 두 항의 곱에 2배 한 것을 더해주거나 빼주는 거예요.
(1) (a + 5)2
= a2 + 2 × a × 5 + 52
= a2 + 10a + 25
(2) (2a + 3b)2
= (2a)2 + 2 × 2a × 3b + (3b)2
= 4a2 + 12ab + 9b2
(3) (3a - 5)2
= (3a)2 - 2 × 3a × 5 + 52
= 9a2 - 30a + 25
(4) (4a - 2b)2
= (4a)2 - 2 × 4a × 2b + (2b)2
= 16a2 - 16ab + 4b2
함께 보면 좋은 글
곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
곱셈공식의 변형
지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
지수법칙 - 나눗셈, 괄호, 분수
단항식의 곱셈과 나눗셈
[중등수학/중1 수학] - 분배법칙, 분배법칙, 교환법칙, 결합법칙 비교
공식을 유도하는 과정을 배우니
참 재밌네요
수학이...ㅎㅎㅎㅎ
수학이 재밌다니요.
수학이 재밌다니요.
수학이 재밌다니요. ㅎㅎㅎ
공식 유도 과정을 이해하면 공식을 외우기도 쉽고, 혹시 공식이 기억나지 않더라도 금방 유추해낼 수 있어서 좋아요. 잘 이해하셨으면 좋겠네요.
오타:
완전제곱식1,2에서
제목에 공셈공식2개,
완전제곱식(합의공식)에서
왼전제곱식
찾았습니다!!!
오타 확인했습니다.
완전제곱식 차의공식 그림으로만 보면 b의 제곱도 빼줘야할 것 같은데 아니네요...
공식 유도 과정 중에는 b^2를 빼요. 하지만 결과에서 그게 달라질 뿐이죠.
이것때메 이해하지못한거 이해됬네요ㅎㅎ
곱셈공식은 앞으로도 계속해서 고등학교 올라가서도 사용하는 거예요. 잊어버리지 마세요.
아아....
진짜 보물같은 설명 잘 듣고 갑니다
정말 아무리 아무리 해도 이해가 안되었던 완전제곱식....
내일까지 외워야 해서 난감했었는데 ㅎㅎ
정말 행복해집니다!!
그림과 함께 외워보세요. ㅎㅎ 그럼 나중에 잊어버려도 다시 생각해내기 쉬워요.
완전제곱식은 계속 풀어보아도 어렵습니다. 쉽게 풀수있는 방법을 좀 알려주세요.
그리고 완전제곱식의 원리와 계념도 알려 주셔서 감사합니다. ^^
모양으로 외우면 쉬워요.
(앞에 있는 항의 제곱) + 2 x (앞에 있는 항) x (뒤에 있는 항) + (뒤에 있는 항의 제곱)
완전제곱식 a-b의 제곱에서요.
왜 -2ab하고 b^2을 더했는지에 대한 설명이 필요할거 같아요. ab를 두번 빼는것은 b^2을 한번더 빼는것과 같기때문에 b^2을 더한다고 설명한다면(이를테면 b^2에 색을 칠하는거죠) 더 좋을거라 생각해서 댓글달아요. 잘봤고요 하루 마무리 잘하시고 감사하게 어플 쓰고있습니다^^
공식의 결과만 보면 그게 궁금할 수 있는데, 사각형의 넓이를 구하는 식을 전개하는 과정을 보면 이해할 수 있을 거라고 생각합니다.
비밀댓글입니다
4개의 사각형 중에 b(a - b)는 왼쪽 아래, (a - b)b는 오른쪽 위 사각형의 넓이에요.
새로 받은 2020년 중2 수학 교과서엔 완전제곱식이 없는데 2020년이 돼면서 다른 학년으로 바뀐건가요?
3학년 과정으로 옮겨졌어요.