초등학교에서 분수를 처음 공부할 때를 생각해보세요. 피자 1판을 8조각으로 나누는 걸 예시로 들었던 기억나나요π
$$1 \div 8 = \frac{1}{8}$$
자연수를 나눠서 소수로 표현하는 방법도 공부했어요.
$$1 \div 8 = 0.125$$
1을 8로 나누어 분수로 표현한 값와 소수로 표현한 값은 같아요. $\frac{1}{8} = 0.125$
이렇게 나눈 조각이 8개 있으면 다시 1판을 만들 수 있죠π
$$\frac{1}{8} \times 8 = 1\\0.125 \times 8 = 1$$
분수로 표현한 $\frac{1}{8}$에 8을 곱한 것도 소수로 표현한 0.125에 8을 곱한 것도 둘 다 1로 같아요.
이번에는 피자를 9조각으로 나눴다고 해보죠.
$$1 \div 9 = \frac{1}{9}\\1 \div 9 = 0.111\dots = 0.\dot{1}$$
여기서도 마찬가지로 1을 9로 나누어 분수로 표현한 값과 소수로 표현한 값은 같아요. $\frac{1}{9} = 0.\dot{1}$
이렇게 나눈 조각 9개가 있으면 다시 1판을 만들 수 있죠π
$$\frac{1}{9} \times 9 = 1\\0.\dot{1} \times 9 = 0.999\dots = 0.\dot{9}$$
여기서도 분수로 표현한 값 $\frac{1}{9}$에 9를 곱한 값이나 소수로 표현한 $0.\dot{1}$에 9를 곱한 값이 같아요.
정리해보죠.
$$1 \div 9 = \frac{1}{9}\\ 1 \div 9 = 0.111\dots = 0.\dot{1}\\ \downarrow \\ \frac{1}{9} = 0.\dot{1}\\ \downarrow\\\frac{1}{9} \times 9 = 0.\dot{1} \times 9 \\\downarrow \\ 1 = 0.\dot{9}$$
결국 $1 = 0.\dot{9}$인 걸 알 수 있어요.