수학방

이차함수 그래프의 평행이동 마지막입니다. 뭐 거창한 건 아니고요. 앞에서 공부했던 내용들을 한꺼번에 공부하는 거예요.

이차함수그래프를 x축으로도 평행이동 해봤고, y축으로도 평행이동 해봤어요. 이제는 x, y 축 평행이동을 동시에 하는 거예요.

y = ax² 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동한 그래프에 대해서 공부할 거예요. 어렵게 생각하지 마세요. 이 그래프는 y = ax² + q와 y = a(x - p)²의 특징을 모두 갖고 있거든요.

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프

y = ax² 그래프를 y축 방향으로 먼저 q만큼 평행이동한 y = ax² + q 그래프를 다시 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프예요. 순서를 바꿔도 상관없어요.

그래프를 x축으로 평행이동하면 x와 관련된 모든 항목이 바뀌고, y축으로 평행이동하면 y와 관련된 항목이 모두 바꿔요. 그럼 x, y로 평행이동한 그래프는 당연히 x와 y에 관련된 모든 것들이 다 바뀌겠죠π x와 관련된 항목은 p로 y와 관련된 항목은 q로 바꿔보죠.

꼭짓점은 원점 (0, 0) 이었어요. 평행이동하면 어떻게 될까요π (p, q)로 바뀌겠죠π

축의 방정식은요. x하고만 관련이 있잖아요. x = 0 에서 x = p로 바뀌고요.

y값의 범위는 y하고만 관련이 있죠π a < 0이면 y ≤ q가 될 거고, a > 0 이면 y ≥ q가 될 거예요.

이차함수 그래프의 평행이동

a > 0일 때 이차함수 그래프를 평행이동한 그래프에 관한 내용을 정리해볼까요π

그래프
	y = ax2	y = ax2 + q	y = a(x - p)2	y = a(x - p)2 + q
꼭짓점	(0, 0)	(0, q)	(p, 0)	(p, q)
축의 방정식	x = 0	x = 0	x = p	x = p
증가, 감소 기준	x > 0 x < 0	x > 0 x < 0	x > p x < p	x > p x < p
y의 범위	y ≥ 0	y ≥ q	y ≥ 0	y ≥ q

일차함수에서 우리는 제일 처음에 y = ax 에 대해서 공부했어요. 그리고 y = ax 그래프를 y축으로 b만큼 평행이동 시킨 y = ax + b 그래프를 공부했고요.

일차함수의 그래프

이차함수에서 y = ax² 그래프를 공부했으니 y축으로 평행이동한 그래프를 공부해야겠죠? 그게 바로 y = ax² + q예요.

그래프를 평행이동 하면 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 그러니까 폭도 그대로이고, 위로/아래로 볼록한 것도 그대로에요.

일차함수의 그래프에서도 그래프의 기울기나 모양이 바뀌지는 않았어요.

이차함수 y = ax² + q의 그래프

y = ax² + q 그래프는 y = ax² 를 y축으로 q만큼 이동한 그래프에요.

y축에 대해서 q만큼 평행이동 했으니까 y와 관련된 항목들만 바꿔요.

y축 대칭이어서 축의 방정식은 x = 0이었어요. 축의 방정식은 x만 있고 y와 상관없죠? 그래서 축의 방정식은 x = 0 그대로예요.

x가 증가할 때 y가 증가/감소하는 구간도 역시 x > 0 일 때와 x < 0 일 때, 즉 x의 범위에 따라 달라지는 거니까 y와는 상관없어요. 그대로예요.

꼭짓점은 원점(0, 0)에서 (0, q)로 바뀝니다. y축으로 이동했으니 꼭짓점의 y좌표도 이동해야겠죠?

y축으로 평행이동 하면 y값의 범위도 바뀌어야 해요. a > 0이라면 y ≥ q가 될 거고, a <0이라면 y ≤ q가 돼요.

기억하세요. y = ax²가 y축 방향으로 q만큼 이동한 y = ax² + q는 y 관련된 항목, 꼭짓점의 y좌표, y값의 범위만 바뀌고, 다른 것은 그대로라는 걸요.