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각의 이등분선에 대해서 알죠? 1학년 때 각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도에서 봤던 기억이 날 거예요.

이제는 그리는 것을 넘어서 각의 이등분선이 어떤 특징이 있는지 알아보죠. 그리는 것보다는 이게 더 쉬울 수 있어요.

각의 이등분선의 특징을 알아보려면 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건을 알아야 해요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

각의 이등분선

각의 이등분선은 이름 그대로 어떤 각을 똑같은 크기로 둘로 나누는 선이에요. 이등분선 위의 한 점과 각의 두 변 사이에 어떤 특징이 있을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 배웠어요. 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 내려서 만나는 점, 즉 수선의 발과의 거리를 구하죠.

각의 이등분선 위의 한 점에서 각 변에 수선의 발을 내리게 되면 각의 꼭짓점과 수선의 발, 이등분선위 점으로 이루어진 삼각형을 만들 수 있어요. 그런데 이게 직각삼각형이에요.

직각삼각형이 나오면 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다는 걸 눈치채야 해요

아래 그림을 보세요.

∠AOB가 있어요. 이 각의 이등분선을 긋고 이등분선 위의 점 P에서 각의 변 OA와 변 OB에 수선을 내렸더니, △AOP와 △BOP가 생겨요.

일단 여기까지 해놓고, 위 성질을 증명해보죠.

가정: ∠AOP = ∠BOP(각의 이등분선), ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론:

증명: (1) ∠AOP = ∠BOP (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

두 직각삼각형이 있는데, 빗변은 공통이고 한 예각의 크기가 같아요. RHA 합동이죠? △AOP ≡ △BOP

따라서 가 됩니다.    (증명 끝.)

각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다.

이 성질은 위의 성질을 거꾸로 뒤집은 거예요. 마찬가지로 점과 직선 사이의 거리를 구해야 하니 수선의 발을 내려야 해요.

가정: , ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론: ∠AOP = ∠BOP

증명: (1) (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

(1), (2), (3)에 의해서 빗변은 공통이고, 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형이기 때문에 RHS 합동이에요. △AOP ≡ △BOP

따라서 대응각인 ∠AOP = ∠BOP이 되죠.     (증명 끝.)

직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 알아봤어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

△ABC가 직각삼각형인데, 그 안에 △ABD와 △AED, △CDE라는 직각삼각형 세 개 가 더 있네요.

△ABD에서 한 각은 직각, 다른 각은 60°니까 남은 ∠BAD는 30°겠죠?

△ABD와 △AED는 빗변 가 공통이고 한 변의 길이가 같은 () 직각삼각형으로 RHS 합동이에요. 따라서 ∠BAD와 ∠EAD는 같아요. ∠BAD = ∠EAD = 30°

따라서 ∠BAE = ∠BAD + ∠EAD = 60°죠.

큰 삼각형 △ABC에서 ∠A는 60°, ∠B는 90°니까 x = 30°이 되겠네요.

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이번 글에서는 직각삼각형에 대해서 공부할 거예요. 직각삼각형이란 무엇인지 두 직각삼각형이 합동이 되려면 어떤 조건이 있는지요.

먼저 삼각형의 합동 조건을 혹시 기억하고 있나요? 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도와 같아요.

SSS 합동: 세 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
SAS 합동: 두 변의 길이와 사이에 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
ASA 합동: 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.

직각삼각형

직각삼각형은 삼각형의 세 내각 중에서 한 각이 직각(90°)인 삼각형을 말해요. 한 각이 직각이면 나머지 두 각은 모두 예각이 되겠죠? 삼각형 내각의 합은 180°인데, 한 각이 90도면 나머지 두 각을 더해서 90°가 되어야 하잖아요.

직각삼각형에서 직각인 각은 영어 Right Angle의 첫 글자를 따서 R이라고 씁니다. 직각이 아닌 두 예각은 그냥 Angle의 A를 따서 쓰고요. 직각의 대변인 변을 빗변이라고 하는데, 알파벳 H(Hypotenuse)로 쓰고요. 빗변이 아닌 다른 두 변은 S(Side)라고 해요.

직각삼각형의 합동조건

직각삼각형도 삼각형이기 때문에 삼각형의 합동조건을 그대로 따릅니다. 하지만 이름에서 알 수 있듯이 한 각이 직각이에요. 그래서 일반적인 삼각형의 합동 조건에 추가로 두 가지 경우가 더 있어요.

삼각형의 합동을 SSS, SAS, ASA합동이라고 불렀던 것처럼 직각삼각형에도 이런 이름으로 합동 조건을 불러요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

일단 직각이 있고, 빗변의 길이는 같아요.(RH) 거기에 추가로 다른 한 변의 길이가 같은지 예각의 크기가 같은지 보는 거죠.

RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, , ∠B = ∠E

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: 삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이가 같고(가정) 빗변의 양쪽 끝각의 크기가 같은 ASA 합동입니다.

따라서 △ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, ,

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: △DEF를 빗변이 왼쪽에 있는데, 오른쪽으로 오게 반 바퀴만 돌려보죠.  니까 두 변이 겹치게 해서 △ABC와 △DEF를 하나로 합쳐볼까요?

그러면 인 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에서 이등변삼각형은 밑각의 크기가 같다고 했잖아요. 그럼 ∠B = ∠E가 돼요.

삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 (1) ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이와 한 변의 길이가 같고(가정) 그 사이에 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동이에요.

△ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

다음 그림에서 ∠BAC = 90°이고, 이다. 선분 AD의 길이를 구하여라.

△ABD를 보세요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데 ∠ADB가 90°니까 다른 두 각의 합은 90°에요. ∠BAD + ∠ABD = 90°
∠DAE는 평각이라서 180°인데, ∠BAC가 90°니까 ∠BAD + ∠CAE = 90°가 되어야겠죠?

∠BAD + ∠ABD = 90°
∠BAD + ∠CAE = 90°
두 식을 빼면, ∠ABD = ∠CAE가 돼요.

, 한 각은 직각이고, 예각 중 하나가 같으니까 △ABD와 △ACE는 RHA합동이에요.

변 AE의 길이는 대응변인 변 BD의 길이와 같아요. 5cm죠? 선분 DE의 길이가 8cm이고 선분 AE의 길이가 5cm이므로 선분 AD의 길이는 3cm가 됩니다.

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