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순열에서 가장 중요한 건 뽑는 순서에 따라 결과가 달라진다는 거예요. 그래서 뽑는 순서가 중요한지 아니면 중요하지 않은지를 잘 구별해야 해요.

문제에 따라서 한 개의 순열로 답을 구할 수 있는 경우도 있고, 여러 개의 순열을 구하여 계산해야 답을 얻을 수 있는 경우도 있어요. 또, 순열이 아니라 그냥 경우의 수를 구해야 하는 경우도 있고요.

어떤 유형에서 어떤 순서를 구할 때 순열을 쓸 것인지, 또 여러 개의 순열을 구해야 하는지를 잘 비교해 보세요.

유형이 많아서 다 다루지는 않고 간단한 것 몇 가지만 해보죠.

순열의 활용

0, 1, 2, 3, 4의 숫자가 적힌 숫자카드 다섯 장 중에서 세 장을 꺼내어 세 자리 자연수를 만들려고 한다. 경우의 수를 구하여라.

세 자리 자연수니까 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 구성할 세 장의 카드가 필요해요. 다섯 장중의 세 장을 뽑는 거니까 ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60일 것 같죠?

그런데 백의 자리가 0이 되면 세 자리 자연수가 아니죠? 따라서 백의 자리는 0이 올 수 없어요. 백의 자리에 올 수 있는 숫자 카드는 1, 2, 3, 4중 하나니까 경우의 수는 4죠?

십의 자리, 일의 자리에 올 카드 두 장을 뽑아야 하는데 백의 자리에서 한 장을 뽑았으니까 남은 카드는 0을 포함한 네 장이에요. 네 장의 카드에서 두 장을 순서대로 뽑아야 하니까 ₄P₂ = 4 × 3 = 12가지예요.

백의 자리 숫자 카드를 뽑는 경우와 십의 자리, 일의 자리 숫자 카드를 뽑는 사건이 둘 다 동시에 일어나야 하니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야겠네요.

세 자리 자연수를 만드는 경우의 수
= (백의 자리 카드를 뽑는 경우의 수) × (십의 자리, 일의 자리 카드를 뽑는 경우의 수)
= 4 × ₄P₂= 4 × 12= 48

숫자 유형에서는 첫 번째 자리에 0이 올 수 없다는 걸 주의해야 해요.

SM엔터테인먼트 회사에서 회식하기로 했다. 바쁜 일정 때문에 모든 그룹이 참여하지는 못하고 소녀시대 9명, f(x) 5명, 샤이니 5명, EXO 12명이 참여하였다. 같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃하여 앉을 때, 테이블에 앉은 방법의 수를 구하여라.

같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃해서 앉아야 하니까 소녀시대는 소녀시대끼리 샤이니는 샤이니끼리 앉아야 해요.

예를 들어 (소녀시대), (샤이니), (f(x)), (EXO) 이런 식으로 앉을 수도 있고 (소녀시대), (EXO), (샤이니), (f(x)) 이런 식으로 앉을 수도 있죠? 즉 네 그룹이 서로 순서를 바꿔서 앉을 수 있어요. 그러니까 그룹이 앉는 방법의 수는 ₄P₄죠.

그런데 소녀시대 그룹 안에서도 멤버 9명이 자리를 앉는 방법이 있어요. 9명 멤버 모두가 순서대로 앉는 거니까 ₉P₉죠. f(x)도 샤이니도 EXO도 각 그룹 안에서 멤버들이 앉는 방법이 있고요. ₅P₅, ₅P₅, ₁₂P₁₂가 될 거예요.

그룹이 앉는 것, 각 그룹의 멤버들이 앉는 건 모두 동시에 일어나니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야 해요.

따라서 답은 ₄P₄ × ₉P₉ × ₅P₅ × ₅P₅ × ₁₂P₁₂ = 4! × 9! × 5! × 5! × 12! 이에요.

숫자가 너무 크니까 계산은 하지 않을게요.

여기서 가장 중요한 건 이웃해야 하는 것들을 하나의 묶음으로 보는 거예요. 각 그룹의 멤버들끼리 이웃해서 앉는 거니까 각 그룹을 하나의 묶음으로 보는 거지요. 그 묶음들을 배치하는 경우의 수를 구해요. 그리고 각 묶음 안에서 자리 배치를 하는 경우의 수를 구하는 거죠. 묶음을 배치하는 것과 묶음 안에서 배치하는 건 동시에 일어나는 사건이니까 이 두 개를 곱해요.

이웃하는 경우의 수를 구하는 순서예요.

1. 이웃하는 것을 하나의 그룹으로 묶어서 계산
2. (묶음을 배치하는 순열) × (각 묶음 안에서 구성원을 배치하는 순열)

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합의 법칙, 곱의 법칙은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 공부했었어요. 물론 기억나지 않겠지만요.

합의 법칙, 곱의 법칙은 경우의 수를 구하는 방법이에요. 이 과정을 집합과 관련지어서 생각하면 조금 더 쉽게 답을 구할 수 있어요. 이 글에서는 어떤 관련이 있는지를 알아볼 거예요. 집합 원소의 개수를 이용해서 구하는 거니까 내용이 어렵지 않아요.

그리고 합의 법칙을 사용하는 경우와 곱의 법칙을 사용하는 경우를 잘 비교해보세요.

합의 법칙

합의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 더해서 구하는 거예요.

사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 m + n이죠.

사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수이므로 둘 중 하나만 일어나면 되는 사건이에요.

합의 법칙은 집합을 이용해서 나타낼 수 있어요. 사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 할 수 있는 거죠.

이때, 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 n(A + B)가 아니라 n(A ∪ B)에요. 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우는 n(A ∩ B)고요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 구하여라.

주사위의 눈금은 1 ~ 6까지 있어요. 두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3의 배수인 사건을 A, 눈금의 합이 2의 배수인 사건은 B라고 해보죠.

눈금의 합이 3의 배수인 사건 A가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 3일 때: (1, 2), (2, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 9일 때: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
두 눈금의 합이 12일 때:(6, 6)

눈금의 합이 2의 배수인 사건 B가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 2일 때: (1, 1)
두 눈금의 합이 4일 때: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 8일 때: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
두 눈금의 합이 10일 때: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
두 눈금의 합이 12일 때: (6, 6)

n(A) = 12, n(B) = 18에요.

두 눈금의 합이 6, 12일 때는 양쪽 사건 모두에 있네요. n(A ∩ B) = 6

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 18 - 6 = 24

곱의 법칙

곱의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 곱해서 구하는 거예요. 동시에라는 말은 시간적 의미의 동시라는 뜻도 있지만 잇달아서 연달아서 일어나는 사건을 나타내요.

두 개의 주사위를 한꺼번에 던지는 예도 있지만 한 개를 먼저 던지고 다른 하나를 나중에 던지는 경우도 포함해요. 연속해서 던지는 경우니까요. 또는 한 개의 주사위를 한 번 던지고 다시 집어서 던지는 경우도 포함하죠. 잇달아 던지는 거잖아요.

사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어날 경우의 수는 m × n이죠.

곱의 법칙도 집합으로 나타내보죠.

사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 한다면 사건 A와 사건 B가 연달아 일어날 확률은 n(A) × n(B)에요.

두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 구하여라.

A 주사위를 던져서 3의 배수가 나올 경우의 수: 3, 6
B 주사위를 던져서 2의 배수가 나올 경우의 수: 2, 4, 6

n(A) × n(B) = 2 × 3 = 6

합의 법칙, 곱의 법칙 구별

곱의 법칙은 동시에 일어나는 사건에 적용해요. 여기서 동시에란 연속해서, 잇달아 일어나는 사건이에요. 별개의 두 사건이 모두 발생한다는 거죠. 합의 법칙은 별개의 두 사건이 있는 경우에 둘 다 일어나지 않아도 상관없어요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 보세요. 주사위 눈금의 합이 3의 배수인 사건과 2의 배수인 사건 두 개의 사건이 일어날 수 있어요. 그런데 눈금의 합이 3의 배수인 사건만 일어나도 이 경우에는 유효해요. 반대로 눈금의 합이 2의 배수인 사건만 일어나도 유효한 거죠. 그래서 이 사건은 합의 법칙으로 경우의 수를 구해요.

두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 보세요. A 주사위 눈금이 3의 배수인 사건만 발생해서는 유효하지 않죠? B 주사위의 눈금이 2의 배수인 사건까지 일어나야 유효해요. 두 사건 A, B가 모두 일어나야 유효하니까 이 경우에는 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.

"동시에"라는 개념이 상당이 애매한데요. 시간적 의미의 동시라기보다는 "사건이 모두 발생한다"라는 의미로 이해하세요.

합의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때, 두 사건이 모두 일어나지 않아도 상관없을 때
곱의 법칙: 두 사건이 동시에 일어날 때, 두 사건이 모두 일어나야 할 때

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인터넷에서 쉬운 수학 문제 풀이법을 봤어요. 정말 열심히 풀었더라고요.

그래서 그 노력이 너무나 가상하여 저도 한 번 풀어봤어요. 주사위를 이용한 경우의 수 문제고요 원본의 풀이법과 조금 색다른(?) 방법으로 풀어봤습니다.

너무 꼼수를 부린 게 아닌가 해서 사진 속 풀이를 한 학생에게 미안하기도 하네요. 제가 푸는 방법이 꼭 옳은 건 아니에요. 풀이과정만 정확하다면 어떤 방법으로 풀어도 상관없겠죠? 여러분들도 한 번 풀어보세요.

아주 쉬운 경우의 수 문제

사진 속의 학생은 모든 경우의 수를 다 쓰고, 그 수를 세었군요.

세 주사위 A, B, C를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수를 구하시오.

세 수를 곱해서 짝수가 되는 경우의 수를 구하는 문제에요. 이 때 세 수는 1 ~ 6까지의 자연수죠. 순서쌍으로 몇 개만 써보죠.

(1, 1, 1) = 1
(1, 1, 2) = 2
(1, 1, 3) = 3
(1, 1, 4) = 4

(6, 2, 1) = 12
(6, 2, 2) = 24
(6, 2, 3) = 36
(6, 2, 4) = 48

해보니까 어떤 특징이 보이나요?

(1, 1, 1) (1, 1, 3) 처럼 세 수가 모두 홀수이면 그 곱은 홀수에요.
(1, 1, 2) (1, 1, 4) 처럼 세 수중 하나만 짝수여도 그 곱은 짝수네요.
(6, 2, 1) (6, 2, 3) 처럼 두 수만 짝수여도 그 곱이 짝수고요.
(6, 2, 2) (6, 2, 4) 처럼 세 수가 모두 짝수여도 그 곱은 짝수네요.

결국 구하는 건 하나 이상의 수가 짝수인 경우에요. 이걸 구하려면 어떻게 해야할까요? 막막하죠? 그러니까 반대로 생각해보기로 해요.

위에서 세 수가 다 홀수이면 그 곱이 홀수죠? 그 외에는 전부 짝수잖아요. 그래서 전체 경우의 수에서 곱이 홀수인 경우의 수를 빼서 구하는 거지요.

(세 수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수의 곱이 홀수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수가 모두 홀수인 경우의 수)

주사위를 한 개 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6가지이고, 그 중 3개가 홀수에요. A, B, C 세 개의 주사위를 던지는 사건은 동시에 일어나니까 곱의 법칙을 적용해야겠죠?

전체 경우의 수 = 6 × 6 × 6 = 216
세 주사위의 수가 모두 홀수인 경우의 수 = 3 × 3 × 3 = 27

(세수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세수가 모두 홀수인 경우의 수)
= 216 - 27
= 189

답은 189에요.

사진속에 답은 안써져 있지만 동그라미가 쳐져있으니 답을 정확히 구했나 봅니다. 저 학생은 수학은 열심히 노력하면 되는 거라는 걸 보여주는 군요. 여러분들도 포기하지 말고 끝까지 도전해 보세요.

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방학이 다 끝나고, 2학기가 시작되었어요.

2학기에는 확률과 도형에 대해서 공부해요. 1학기 때 배웠던 연립방정식이나 함수와 다른 새로운 내용이니까 "기초가 부족해" 이런 생각하지 마세요. 처음 보는 단원이다 생각하고 열심히 하시면 됩니다.

처음으로 배울 내용은 확률인데 그 중에서도 경우는 수예요. 경우의 수는 간단히 말해서 주사위를 던지거나 동전을 던졌을 때 어느 면이 나오는지 그 수를 세보는 거예요.

경우의 수는 상식적인 선에서 생각해야 해요. 동전을 던졌을 때 세로로 서 있는 경우, 침대 밑으로 굴러가서 확인할 수 없는 경우 등은 전혀 고려하지 않아요.

경우의 수

사건은 같은 조건에서 여러 번 할 수 있는 실험이나 관찰로 얻어진 결과를 말해요. "동전을 던졌더니 앞면이 나왔다." 같은 거요.

시행은 실험이나 관찰을 하는 행위를 말하고요.

경우는 수는 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가짓수에요.

동전을 던지면 앞면이 나오는 경우가 있겠죠? 뒷면이 나오는 경우도 있을 거예요. 두 가지 경우가 있지요? 동전을 던질 때는 앞면 또는 뒷면이 나오는 두 가지 경우가 있어요. 따라서 이때의 경우의 수는 2에요.

주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나올 수 있어요. 총 6가지죠. 따라서 이때의 경우의 수는 6이에요.

합의 법칙

경우의 수를 구하는 방법은 크게 두 가지에요. 그중에 첫 번째는 합의 법칙인데요.

한 개의 주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우의 수를 구한다고 해보죠.

주사위를 던져서 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6의 세 경우가 있어요. 경우의 수는 3이죠.
주사위를 던져서 5의 배수가 나오는 경우는 5 한 가지뿐이에요.

주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우는 3 + 1 = 4예요.

주사위를 던졌을 때 어떤 수가 나오는데, 2의 배수이면서 5의 배수인 경우가 있나요? 없죠? 그래서 각각의 경우의 수를 구해서 더해주는 거예요.

합의 법칙은 각 사건이 동시에 일어나지 않을 때 사용해요. 문제에서 " 또는 ", "~ 이거나" 하는 표현들이 나올 때죠.

사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지)

1 ~ 30까지의 자연수가 적힌 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?

상자에서 카드를 꺼낼 때 5의 배수인 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20, 25, 30으로 6가지에요.
7의 배수인 카드가 나오는 경우는 7, 14, 21, 28로 4가지고요.

문제에서 "5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드"라고 했으니까 두 경우의 수를 더해서 6 + 4 = 10, 총 10가지 경우가 되겠네요.

1 ~ 30까지의 자연수가 적혀있는 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?

위의 예제와 같은 문제인데 숫자만 바꿨어요. 풀이가 어떻게 달라지는지 보죠.

상자에서 카드를 꺼낼 때 3의 배수인 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 총 10가지에요.
4의 배수인 카드가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 총 7가지고요.

이 문제에서도 "3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드"라고 했으니까 그냥 10 + 7 = 17하면 될까요?

안됩니다. 12가 적힌 카드를 뽑았다고 해보죠. 12는 3의 배수이면서 4의 배수예요. 12를 뽑은 건 하나의 사건인데 3의 배수인 카드를 뽑은 사건과 4의 배수를 뽑은 사건 양쪽에서 각각 더해주면 두 번을 세는 거예요. 그래서 한 번은 빼줘야 해요. 24도 마찬가지고요.

10 + 7 - 2 = 15, 이때의 경우의 수는 15가 돼요.

합의 법칙은 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없을 때 각 사건이 일어나는 경우의 수를 더해줘요. 하지만 두 사건이 모두 일어나는(중복되는) 경우가 생기면 그만큼을 빼줘요.

곱의 법칙

1, 2, 3, 4가 적힌 카드 네 장이 있어요. 이 네 장의 카드를 이용해서 두 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지인지 알아보죠.

두 자리 자연수를 만든다고 했으니까 십의 자리 숫자 하나, 일의 자리 숫자 하나를 뽑아야 해요.

십의 자리 숫자로 1을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 2, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 2를 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 3을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 4을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 3이 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.

각각의 경우를 수를 다 더하면 3 + 3 + 3 + 3 = 12가 나와요.

이 문제를 쉽게 풀어볼까요?

십의 자리 숫자에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4 해서 총 4개에요. 그리고 어떤 한 수를 십의 자리에 놓았을 때 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 나머지 3개죠?

(십의 자리를 뽑는 경우의 수 4) × (일의 자리를 뽑는 경우의 수 3) = 12 하면 쉽게 구할 수 있죠?

곱의 법칙은 합의 법칙과 달리 사건이 동시에 일어나는 경우에 사용해요. 동시라는 같은 시각을 의미하는 게 아니에요. 경우의 수를 구하는 과정에서 두 사건이 모두 일어나야 한다는 뜻이에요.

십의 자리를 뽑는 것과 일의 자리를 뽑는 두 사건이 모두 일어나야 하죠? 십의 자리를 뽑는 사건과 일의 자리를 뽑는 사건 중 하나만 일어나서는 경우의 수를 구할 수 없어요. "동시에"라는 말은 여러 사건이 모두 일어나는 경우를 말해요.

이처럼 두 개 이상의 사건이 동시에 일어나면 각각의 경우의 수를 곱해요.

사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 경우의 수 = a × b(가지)

3종류의 티셔츠와 2종류의 바지가 있다. 티셔츠와 바지를 하나씩 골라 입을 수 있는 경우의 수를 구하여라.

여기서는 3종류의 티셔츠 중 하나를 고르는 사건과 2종류의 바지 중에서 하나씩 골라 입는 경우의 수를 구하라고 했어요. 티셔츠를 고르는 사건과 바지를 고르는 사건은 동시에 일어나야 하는 하죠?

티셔츠를 고를 수 있는 경우의 수는 3, 바지를 고를 수 있는 경우의 수는 2에요.

따라서 옷을 입을 수 있는 경우의 수는 3 × 2 = 6(가지)가 되는 거죠.

합의 법칙과 곱의 법칙의 선택

어떤 두 사건이 있을 때 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으면 합의 법칙, 두 사건이 모두 일어나야 하면 곱의 법칙을 사용해요.

위의 1 ~ 30까지 자연수가 적힌 카드가 들어있는 상자에서 5의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우의 수 예제를 보죠. 이때는 5의 배수가 적힌 카드가 나와도 괜찮죠. 그리고 7의 배수가 적힌 카드를 뽑아도 괜찮아요. 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으니까 합의 법칙이에요.

3종류의 티셔츠와 2종류의 바지에서 하나를 고르는 예제를 보죠. 티셔츠를 고르는 사건만 일어나거나 바지만 고르는 사건만 일어나서는 안 돼요. 두 사건 모두가 일어나야 해요. 그래서 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.

합의 법칙: 여러 사건 중 하나만 일어나도 괜찮은 경우
곱의 법칙: 여러 사건이 모두 일어나야 하는 경우

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