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근삿값을 표현하는 방법에 대해서 공부해볼꺼에요. 근삿값을 표현하는 방법을 많이 연습해봐야하고, 또 근삿값으로 표현된 수에서 그 의미를 찾는 방법도 연습을 많이 해야합니다.

근삿값과 유효숫자는 아주 밀접한 관계가 있으니까 유효숫자의 판별법을 모르면 안돼요.

근삿값 단원이 어려운 게 뭐냐면 앞에서 공부한 참값, 근삿값, 오차, 오차의 한계, 참값의 범위, 유효숫자, 이 글에서 배울 근삿값의 표현이 모두 섞여서 한 문제로 나와요. 어느 하나라도 잘 모르면 풀기가 어렵겠지요. 각 용어들의 연관성과 구하는 방법에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

근삿값의 표현

근삿값을 표현할 때는 유효숫자를 소수로 바꾸고, 거기에 거듭제곱을 곱하는 형태로 표현합니다.

제일 먼저 유효숫자를 찾아야 겠죠.

유효숫자를 소수로 바꿀때는 규칙이 있어요. 첫번째 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지 유효숫자는 모두 소수점 뒤에 적어요. 일의 자리와 소수점 이하 자리의 숫자로만 표시하는 거죠. 어떤 경우에도 가장 앞에 있는 유효숫자가 0이 되는 경우는 없어요. 최소한 1이죠. 따라서 소수로 표현된 수는 1보다 크거나 같지요. 또 십의 자리 숫자는 없으므로 10보다는 작을 거고요.

그런데, 유효숫자로 만든 소수는 원래의 근삿값과 다르죠. 두 값을 같게 해주기위해서 10의 거듭제곱을 뒤에 곱해줘요.

1234라는 근삿값을 표현해보죠.

1. 유효숫자를 찾아요.
   1, 2, 3, 4의 네 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   1.234
3. 1.234 ≠ 1234이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   1234 = 1.234 × 10³

0.00506를 해보죠. 과정은 같아요.

1. 유효숫자를 찾아요.
   5, 0, 6의 세 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   5.06
3. 5.06 ≠ 0.00506이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   0.00506 = 5.06 ×

10의 거듭제곱에서 지수를 찾는 건 소수점을 몇 칸 이동하느냐로 찾아요. 원래 수에서 왼쪽으로 소수점을 세 칸 옮기면 10³, 원래 수에서 오른쪽으로 세 칸 옮기면 을 곱해주는 거죠.

근삿값 36800을 일의 자리에서 반올림해서 얻었다. 유효숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 나타내어라.

일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림받은 자리에요. 반올림받은 자리까지가 유효숫자죠. 따라서 유효숫자는 3, 6, 8, 0이에요.

가장 앞의 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고 나머지는 소수점 뒤에 쓰니까 3.680이에요. 3.680은 36800과 다르므로 10의 거듭제곱을 곱해줘야하는데, 소숫점을 원래 수에서 왼쪽으로 네 번 옮겼으므로 10⁴을 곱해줘야 합니다.

36800 = 3.680 × 10⁴

자를 이용해서 어떤 자동차의 길이를 재었더니 3.05 × 10²cm였다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 유효숫자를 모두 구하여라.
(2) 길이를 재는데 사용한 자의 최소 눈금 단위는 얼마인가?
(3) 오차의 한계를 구하여라.
(4) 자동차 길이의 참값의 범위를 구하여라.

(1) 근삿값은 유효숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해요. 따라서 앞에 있는 소수 부분의 숫자가 모두 유효숫자지요. 3, 0, 5가 유효숫자에요.

(2) 측정값에서 유효숫자는 앞에서부터 최소 눈금 단위까지에요. 이걸 거꾸로 생각해보면 유효숫자의 마지막 숫자가 있는 단위가 최소 눈금 단위죠. 3.05 × 10² = 305cm 에서 마지막 유효숫자가 5이므로 5가 나타내는 단위인 1cm가 최소 눈금 단위에요.

(3) 오차의 한계는 최소 눈금 단위의 절반이에요. 1cm × ½ = 0.5cm

(4) 근삿값 - 오차의 한계 ≤ 참값의 범위 < 근삿값 + 오차의 한계 이므로 대입하면
(305 - 0.5)cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < (305 + 0.5)cm
304.5cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < 305.5cm

새로운 용어가 나오는데, 그 차이가 애매해서 뭔지 잘 모를 수 있어요. 작은 차이를 잘 이해해야 합니다.

개념을 이해하기 어려워서 그렇지 실제 계산하는 건 어렵지 않아요. 반대로 개념을 못 잡으면 쉬운 계산도 할 수 없어요.

양이 별로 많지 않으니 굳이 나눠서 하기보다는 글 하나에 모두 담겠습니다. 차이를 서로 비교하는 데 조금 더 도움이 될 거예요.

오차의 한계와 참값의 범위는 서로 연관성이 높으니까 잘 보세요.

참값, 근삿값, 오차

참값은 진짜 값이에요. 나이, 개수, 번호 등 실제 값 등은 대체로 참값이에요. 물론 어림잡아 말하는 값들은 나이나 개수더라도 참값이 아닐 수도 있어요.

측정값은 자나 저울 등의 기구로 측정해서 얻은 값이에요. 길이나 무게, 부피 등이 있겠지요. 근삿값은 참값은 아니지만, 참값에 가까운 값이에요. 측정값은 모두 근삿값이에요.

측정값이라 하더라도 문제에서 참값이라고 하면 그건 참값이에요. 예를 들어 "참값이 1.25m인 책상의 길이를 다시 재봤더니 1.30m가 나왔다"는 문제에서 1.25m라는 값도 실제로는 길이를 재봤으니까 알 수 있는 값으로 측정값이에요. 하지만 문제에서 참값이라고 했으니까 참값이라고 생각해야 합니다. 1.25m는 참값, 1.30m는 측정값이죠.

오차는 참값과 근삿값의 차이인데, 근삿값에서 참값을 빼서 구합니다. 빼는 순서가 중요하니까 주의하세요. 오차는 양수일 수도 있고, 음수일 수도 있어요.

오차 = 근삿값 - 참값

다음을 참값과 근삿값으로 나누어라.
(1) 3반의 학생 수는 30명이다.
(2) 수정이의 키는 163cm이다.
(3) 집에서 학교까지의 거리가 1.3km다.
(4) 빅토리아가 반장 선거에서 얻은 표는 25표이다.
(5) 어제 비가 15mm 내렸다.
(6) 엠버는 2학년 5반이다.

사람 수, 개수 등은 참값이고 자나 저울 등으로 재서 얻은 측정값은 근삿값이에요.

(1), (4), (6) 번은 개수와 번호로 참값이고, (2), (3), (5)는 길이, 거리, 부피로 기구를 이용해서 측정한 근삿값입니다.

무게가 230g인 연필을 진리와 선영이가 저울을 이용하여 무게를 쟀더니 진리는 235g, 선영이는 220g이 나왔다. 두 사람이 측정한 값의 오차를 구하여라.

먼저 문제에서 "무게가 230g"이라고 했는데, 이 230g은 저울을 이용해서 얻은 측정값이라고 생각할 수 있어요. 하지만 문제에서 주어진 만큼 참값이라고 생각해야 합니다.

오차 = 근삿값 - 참값이므로 여기에 넣어서 오차를 구해보죠.
진리의 오차 = 235 - 230 = 5(g)
선영이의 오차 = 220 - 230 = -10(g)

오차의 한계

어떤 수를 일의 자리에서 반올림해서 130이라는 값을 얻었다고 해보죠. 그렇다면 어떤 수 x는 125 ≤ x < 135에요. 130은 반올림해서 얻은 값이므로 근삿값이고, 125와 135 사이의 어떤 수가 참값이지요.

오차를 구해보면 130 - 125 = 5일 때 가장 크고, 130 - 135 = -5일 때 가장 작아요. -5 < 오차 ≤ 5

오차의 한계는 오차가 가장 클 때의 절댓값을 말해요. 위 경우에서는 5가 되겠죠.

오차는 오차의 한계 내에서 생길 수 있어요. 오차의 한계를 넘어가는 오차는 없는 거죠.

1cm 단위만 표시된 자를 이용해서 연필의 길이를 쟀다고 해보죠. 이 연필이 9cm와 10cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있어요. 그럼 10cm라고 얘기할 수 있죠? 이 10cm는 근삿값이에요. 연필이 9cm보다는 10cm에 더 가깝게 있었기 때문에 실제 연필의 길이는 9.5cm보다는 길거나 같아요.

이번에는 다른 연필을 쟀더니 10cm와 11cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있을 때도 10cm라는 근삿값을 얻을 수 있어요. 이때 연필은 10.5cm보다는 더 짧을 거예요.

두 경우에서 모두 10cm라는 길이를 얻었어요. 하지만 실제 길이는 9.5cm ≤ 연필의 길이 < 10.5cm에요.

-0.5 < 오차 ≤ 0.5로 오차가 가장 클 때의 절댓값은 0.5cm에요. 1cm 단위의 자에서 오차의 한계는 0.5cm인 거죠.

오차의 한계는 아래 방법으로 구할 수 있어요.

반올림했을 때: 반올림 받은 자리의 절반
기구를 이용해서 측정했을 때: 최소눈금 단위의 절반
오차의 한계는 절댓값이므로 무조건 양수

다음에서 오차의 한계를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

반올림했을 때 오차의 한계는 반올림 받은 자리의 절반이고, 도구를 이용하여 측정했을 때는 최소눈금 단위의 절반이에요. 오차의 한계를 구할 때 근삿값은 전혀 신경 쓰지 않아도 됩니다. 어느 자리에서 반올림했는지 최소눈금 단위가 얼마인지만 보세요.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

참값의 범위

근삿값과 오차만 알고, 실제 참값을 모를 때는 참값의 대략적인 범위만 알 수 있어요.

(오차) = (근삿값) - (참값)에서 이항하면 (참값) = (근삿값) - (오차)에요. 그런데 오차를 정확하고 알고 있으면 상관없지만, 오차를 범위로 알고 있을 때, 즉 오차의 한계만 알고 있을 때는 참값을 딱 떨어지는 어떤 값으로 얘기할 수 없어요. 오차는 -(오차의 한계)와 +(오차의 한계) 사이에서 생기기 때문에, 이 오차를 위 식에 대입해서 참값의 범위를 구할 수 있어요.

(근삿값) - (오차의 한계) ≤ (참값의 범위) < (근삿값) + (오차의 한계)

잘 보세요. 왼쪽에는 등호가 있고, 오른쪽에는 등호가 없어요.

다음에서 참값의 범위를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

참값의 범위를 구할 때는 먼저 오차의 한계를 구해야 해요. 그리고 근삿값과의 합, 차를 이용해서 참값의 범위를 구하죠.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

1200 - 50 ≤ 참값의 범위 < 1200 + 50
1150 ≤ 참값의 범위 < 1250

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(150 - 5)cm ≤ 참값의 범위 < (150 + 5)cm
145cm ≤ 참값의 범위 < 155cm

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

(300 - 2.5)g ≤ 참값의 범위 < (300 + 2.5)g
297.5g ≤ 참값의 범위 < 302.5g

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