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집합의 연산법칙 두 번째예요.

여기서는 집합에서 가장 많이 사용하는 드모르간의 법칙과 차집합의 성질을 공부할 거예요. 이 두 가지는 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.

집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.

드모르간의 법칙

처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

여집합 기호 ^C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 A^C, B^C가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.

집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.

차집합의 성질

차집합 A - B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}

전체집합, 여집합, 차집합

이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

A - B = A ∩ B^C

차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(^C)으로 바뀌었어요.

B - A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(A^C)으로 바꿔요. B - A = B ∩ A^C

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질

집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.

교집합과 합집합에 관련된 성질이에요. 교집합과 합집합

A ∩ A = A, A ∪ A = A
(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B)
A ∩ = , A ∪ = A
A ∩ U = A, A ∪ U = U

합집합과 교집합에 관련된 성질보다 더 많이 사용하는 건 여집합과 관련된 성질이에요.

A ∩ A^C = , A ∪ A^C = U
(A^C)^C = A, ^C = U, U^C =

여집합은 쉽게 말해서 "아닌 것"이죠? A^C는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 A^C 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은 이고 합집합은 U에요. (A^C)^C은 이중부정이 되어 원래와 같아지는 거예요. 전체집합 U의 원소가 아닌 것은 없으니까 U^C = 이 되죠.

이번에는 두 집합 사이의 포함 관계를 알아볼 수 있는 성질이에요.

A ∩ B = A ↔ A ⊂ B
A ∪ B = B ↔ A ⊂ B
A ⊂ B이고, B ⊂ A ↔ A = B

다음을 간단히 하여라. (단, 전체집합 U에 대하여 A ⊂ U, B ⊂ U)
{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A

상당히 길죠? 이걸 벤다이어그램으로 구할 수도 있어요. 하지만 집합의 연산법칙을 이용하면 다항식 계산하듯이 정리할 수 있어요.

{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A
= {(A^C ∩ A) ∪ B^C)} ∩ A            (∵ 분배법칙)
= ( ∪ B^C) ∩ A                       (∵ A^C ∩ A = )
= B^C ∩ A                                  (∵  ∪ B^C = B^C)
= A ∩ B^C                                  (∵ 교환법칙)
= A - B                                     (∵ A ∩ B^C = A - B)

첫 번째 줄에 보면 ( ) 안에는 ∪ B^C이 양쪽 모두에 들어있어요. 이걸 분배법칙으로 묶어서 2번째 줄이 되었어요. 마지막 줄에서는 차집합의 성질을 이용했네요.

되게 길어서 복잡해 보이지만 성질을 잘 이용하면 풀 수 있어요. 겁먹지 말고 차근차근 해보세요.

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집합의 연산법칙은 쉬우면서도 어려운 내용이에요. 연산법칙이라고 부르는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 숫자와 식의 계산에서 이미 다 들어본 용어들이에요. 그래서 집합에 적용해도 이해하기에 어렵지는 않을 거예요.

하지만 실제 문제에서 집합의 연산법칙들을 이용해서 계산하기는 어려울 거예요. 기호도 비슷하고 숫자가 아니라 알파벳으로 되어 있으니까요. 하지만 이미 알고 있는 법칙이고 수와 식에서 계산을 해봤다는 자신감을 느낀다면 충분히 해낼 수 있을 거로 생각합니다.

집합의 연산

집합의 연산에 대해서 정리해보죠. 교집합과 합집합, 전체집합, 여집합, 차집합

교집합은 A와 B 양쪽 모두에 속한 원소들로 이루어진 집합이에요. A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}
합집합은 A에 속하거나 B에 속하거나 A, B 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이고요. A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}
차집합은 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이죠. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}
여집합은 전체집합 U에 속하는 원소 중 A에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이에요. A^C = {x|x ∈ U이고 x A}

집합의 연산법칙

숫자를 더하고 빼고 곱하고 나누는 걸 사칙연산이라고 하지요? 집합도 연산을 합니다. 덧셈, 뺄셈이 아니고 합집합(∪), 교집합(∩), 여집합(^C), 차집합(-)의 연산이요. 마치 숫자들을 계산하듯이 집합들도 식으로 풀어내는 거죠.

정수와 유리수의 덧셈, 곱셈에서 교환법칙이라는 게 성립해요. +, × 기호 양옆에 있는 숫자의 자리를 바꿔서 계산해도 값이 같은 걸 말하죠.
x + y = y + x
xy = yx

집합에서도 교환법칙이 성립해요. 단, 교집합과 합집합에서만 성립해요. 여집합과 차집합에서는 성립하지 않습니다.

결합법칙이라는 것도 있죠? 괄호를 쳐서 계산의 우선순위를 바꿔도 되는 거요. 집합에서도 성립합니다. 교환법칙과 마찬가지로 교집합과 합집합에서만 성립해요.

교환법칙, 결합법칙 말고 하나 더 있죠? 분배법칙이요.

위 그림에서 +, × 기호가 ∩, ∪으로 바뀐 것뿐이에요.

위에서 설명한 세 가지 법칙들을 잘 이해해야 해요. 다항식의 계산 보면 항이 여러 개 있는 식을 간단히 정리하는 문제가 나오죠? 고등학교에서는 집합이 그런 식으로 나와요. 집합 여러 개를 써놓고 연산법칙을 이용해서 간단하게 정리하는 문제가 나오죠.

아래 연산과정에서 사용된 연산법칙은 무엇인가?
A ∪ (B ∩ A)
= A ∪ (A ∩ B)            ∵ (1)
= (A ∪ A) ∩ (A ∪ B)   ∵ (2)
= A ∩ (A ∪ B)
= A                            ∵ A ⊂ (A ∪ B)

(1)에서는 괄호 안의 (B ∩ A)가 (A ∩ B)로 바뀌었네요. A와 B가 자리만 바꿨어요. 교환법칙이에요.

(2)에서는 괄호 밖의 A가 괄호 안의 (A ∩ B)에 각각 연산을 했네요. 분배법칙이 사용되었어요.

이어지는 집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙을 본 다음에 예제 문제를 풀어보죠.

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