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원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요.

한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠.

이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요.

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

사각형의 네 점이 원 위에 있을 때

사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다고 얘기할 수 있겠죠?

네 점이 한 원 위에 있을 조건은 이미 공부했잖아요. 바로 그 조건을 만족시키는 네 점을 연결하면 원에 내접하는 사각형을 그릴 수 있어요.

네 점이 한 원 위에 있을 조건을 다시 한 번 정리해 보죠.

네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가 에 대하여 같은 쪽에 있고
∠ACB = ∠ADB 일 때

한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°

원에 내접하는 사각형의 성질 첫 번째에요. 한 쌍의 대각의 합이 180°라는 거죠.

한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.

원에 내접하는 사각형의 성질 두 번째에요.

항상 원에 내접하는 사각형

원에 내접하는 사각형은 위에서 말한 특별한 조건을 갖춰야만 해요. 사각형 중에서 위의 조건을 항상 만족시키는 사각형들이 있어요. 바로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴이에요.

정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 90°에요. 따라서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 원에 내접하는 사각형이죠.

등변사다리꼴은 두 밑각의 크기가 같고, 위에 있는 각의 크기도 서로 같아요. 위에 있는 각의 크기를 a, 밑각의 크기를 b라고 한다면 내각의 크기의 합은 2a + 2b = 360°에서 a + b = 180°가 되죠. 즉 등변사다리꼴도 대각의 크기의 합이 180°로 항상 원에 내접하는 사각형이에요.

사각형이 원에 내접하는지 확인하기
네 점이 한 원 위에 있는지 확인 - 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인지 확인
한 외각과 내대각의 크기가 같은지 확인

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사각형 시리즈(?) 마지막입니다.

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그려지는 사각형이 어떤 사각형인지 알아볼 거예요. 중점이 뭔지는 다 알고 있죠? 중점은 두 점 사이의 거리를 이등분하는 점이에요.

이 글에서 다룰 내용은 각 사각형의 기본적인 정의만 잘 알고 있어도 쉽게 이해할 수 있어요. 일반적인 사각형과 사다리꼴의 중점을 연결한 사각형은 이 글에서 다루지 않고, 나중에 다른 단원에서 추가하도록 할게요.

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형

평행사변형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 평행사변형

먼저 평행사변형의 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형부터 알아보죠.

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 잡아서 연결한 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 같아요. 그래서 변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 대변에서는 같아요.

평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 같죠? ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

△AEF와 △CGH는 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이에요. 또 △BFG와 △DHE도 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이죠

결국 □EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 같으니까 평행사변형이에요.

직사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 마름모

이번에는 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

직사각형도 평행사변형의 한 종류이므로 각 대변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리는 같아요.

그리고 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°죠. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

△AEF와 △CGH, △BGF, △DEH 네 개의 삼각형은 모두 SAS합동이에요. 따라서  = 이므로 네 변의 길이가 모두 같죠.

결국 □EFGH는 네 변의 길이가 같은 마름모입니다.

마름모의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 직사각형

마름모 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형 □EFGH입니다.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요.

마름모도 평행사변형의 한 종류로 두 쌍의 대각의 크기가 같으므로 ∠A = ∠C, ∠B = ∠D예요.

SAS 합동에 의해서 △AEF와 △CGH가 합동이고, △BFG와 △DHE가 합동이에요. , 죠. □EFGH는 일단 평행사변형이네요.

그런데 이 네 삼각형은 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 같아요.

∠AFE = ∠AEF
∠BGF = ∠BFG
∠CGH = ∠CHG
∠DEH = ∠DHE

삼각형이 합동이므로 크기가 같은 각끼리 모으면
∠AFE = ∠AEF = ∠CGH = ∠CHG
∠BGF = ∠BFG = ∠DEH = ∠DHE죠.

평각인 ∠AFB와 ∠BGC의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AFB = 180° = ∠AFE + ∠BFG + ∠EFG
∠BGC = 180° = ∠BGF + ∠CGH + ∠FGH

연립방정식의 가감법처럼 두 식을 변변 빼보면
0° = (∠AFE - ∠CGH) + (∠BFG - ∠BGF) + (∠EFG - ∠FGH)
0° = ∠EFG - ∠FGH    (∵ ∠AEF = ∠CGH, ∠BFG = ∠BGF)
∠EFG = ∠FGH

□EFGH의 이웃한 두 각의 크기가 같다는 걸 알 수 있어요.

결국 □EFGH는 이웃한 두 각의 크기가 같은 평행사변형으로 직사각형이라는 걸 알 수 있지요.

그림으로 설명하면 쉬운데 말로 설명하려니 정말 어렵네요. 아래는 다른 설명이니까 위의 내용이 이해하기 어려우면 아래 내용을 보세요.

점 E와 점 G를 연결해서 를 그려보세요. □ABGE가 생기죠? 이므로 □ABGE는 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

이번에는 점 F와 점 H를 연결해서 를 그리세요. □AFHD가 생기는데, 이므로 □AFHD 역시 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

□ABCD는 마름모이므로 네 변의 길이가 같아요.  = 죠. 결국  = 예요. □EFGH에서 두 대각선의 길이가 같아요.

□EFGH은 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이므로 직사각형이에요.

정사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 정사각형

정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 □EFGH를 그려보죠.

정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요. 

정사각형이라서 □ABCD의 네 내각의 크기도 같지요. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

위 조건에 따라 네 삼각형 △AEF, △BFG, △CGH, △DHE는 SAS 합동이므로 □EFGH의 네 변의 길이는 모두 같아요. 일단 마름모에요.

그리고 네 개의 삼각형은 직각이등변삼각형이니까 한 내각의 크기는 90°고, 다른 두 내각의 크기는 45°죠. (이등변삼각형의 성질)

평각인 ∠AED의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AED = 180° = ∠AEF + ∠DEH + ∠FEH
∠FEH = 90°     (∵ ∠AEF = ∠DEH = 45°)

□EFGH는 네 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90°이므로 정사각형입니다.

등변사다리꼴의 중점을 연결하여 만든 사각형 - 마름모

사다리꼴의 중점 연결 정리에서 자세히 다루니까 이쪽으로 오세요. ㅎㅎ

사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형
평행사변형 → 평행사변형
직사각형 → 마름모
마름모 → 직사각형
정사각형 → 정사각형
평행사변형, 정사각형은 그대로, 직사각형, 마름모는 서로 반대로
등변사다리꼴 → 마름모

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 그린 사각형을 □EFGH라고 할 때, □EFGH의 성질이 아닌 것을 모두 고르시오.
(1) 두 쌍의 대변의 길이가 같다.
(2) 두 쌍의 대각의 크기가 같다.
(3) 두 대각선이 서로 이등분한다.
(4) 두 대각선은 서로 수직이다.
(5) 네 내각의 크기가 모두 같다.
(6) 네 변의 길이가 모두 같다.

평행사변형의 중점을 연결해서 그린 사각형은 평행사변형이에요. 따라서 보기 중에 평행사변형의 성질이 아닌 것을 고르면 되겠지요.

(1), (2), (3)은 평행사변형의 성질이 맞아요.

(4) 번은 마름모, 정사각형의 성질이고, (5) 번은 직사각형, 정사각형의 성질이죠. (6) 번은 마름모, 정사각형의 성질이네요. 따라서 답은 (4), (5), (6)이 되겠습니다.

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지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

1. 사각형 → 사다리꼴
   • 한 쌍의 대변이 평행
2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
   • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
3. 사다리꼴 → 평행사변형
   • 다른 한 쌍의 대변이 평행
   • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
   • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
   • 한 내각의 크기 = 90°
   • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
   • 두 대각선의 길이가 같다.
5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
   • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
   • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

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사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.

이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.

여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.

아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.

여러 사각형의 정의와 성질, 조건

사각형의 정의와 성질, 조건

사각형	[정의]와 성질	조건
평행사변형	[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형] 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180° 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.	두 쌍의 대변이 평행한 사각형 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하는 사각형 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같은 사각형
	평행사변형의 성질	평행사변형이 되는 조건
직사각형	[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형] (평행사변형의 성질) 두 대각선의 길이가 같다.	한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형
	직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모	[네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) 두 대각선이 서로를 수직이등분	이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형
	마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형	[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) (직사각형의 성질) (마름모의 성질)	이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형 두 대각선이 서로 직교하는 직사각형 한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 마름모 두 대각선의 길이가 같은 마름모
	정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
등변사다리꼴	[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형] 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. 대각선의 길이가 같다.
	등변사다리꼴의 정의와 성질

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마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

이 글에서 내울 내용은 정사각형의 정의와 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건이에요.

사실 정사각형은 이미 1학년 때 공부한 적이 있어요. 내각과 외각을 배우는 과정에서 정다각형이라는 걸 배웠거든요. 정사각형은 정다각형의 한 종류에요.

정사각형은 새로운 내용을 배우진 않습니다. 앞에서 배웠던 사각형들 평행사변형, 직사각형, 마름모의 정의와 성질, 조건을 잘 기억하고 있으면 돼요. 새로운 내용을 공부한다기보다는 "앞에서 배웠던 사각형의 성질을 복습하는 구나" 정도로 생각하시면 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

정사각형의 정의

1학년 때 다각형, 정다각형 단원에서 정다각형의 정의를 배웠는데, 기억하고 있죠? 정다각형은 내각의 크기가 모두 같고, 변의 길이도 모두 같은 도형이라고 배웠어요.

정사각형은 각과 변이 4개씩 있으니까 네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 같은 사각형을 말하는 거죠.

네 각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형이에요. 또 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모지요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 만족시키는 사각형이네요. 집합으로 표시하면 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}가 돼요.

정사각형의 성질

정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모이기도 해요. 직사각형과 마름모는 평행사변형의 한 종류고요. 따라서 정사각형은 직사각형의 성질과 마름모의 성질, 평행사변형의 성질을 모두 가져요.

평행사변형의 성질, 직사각형의 성질, 마름모의 성질을 정리해보죠.

• 두 쌍의 대변의 길이가 같다. (평행사변형의 성질)
• 두 쌍의 대각의 크기가 같다. (평행사변형의 성질)
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다. (평행사변형의 성질)
• 두 대각선의 길이가 같다. (직사각형의 성질)
• 두 대각선은 서로 다른 대각선을 수직이등분한다. (마름모의 성질)

위에 나오는 성질 전부가 정사각형의 성질이에요. 이미 앞 글에서 다 증명을 했으니까 이 글에서는 증명을 생략하도록 할게요.

정사각형이 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건

정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 직사각형이 정사각형이 되려면 추가로 마름모의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 직사각형은 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 직사각형이 정사각형이 되려면 평행사변형이 마름모가 되는 것과 같은 조건이 필요해요.

(직사각형이 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 마름모가 되는 조건)
이웃하는 두 변의 길이가 같다.
두 대각선이 서로 직교한다.

마름모가 정사각형이 되는 조건

마찬가지에요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 마름모가 정사각형이 되려면 추가로 직사각형의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 마름모도 역시 평행사변형의 한 종류라서 마름모가 정사각형이 되려면 평행사변형이 직사각형이 되는 것과 같은 조건이 필요해요.

(마름모가 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 직사각형이 되는 조건)
한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같다.
두 대각선의 길이가 같다.

□ABCD가 정사각형일 때, 아래 물음에 답하여라.
(1) ∠BOC의 크기를 구하여라.
(2) △OBC는 어떤 삼각형인가?

(1) □ABCD가 정사각형이므로 마름모의 성질을 가지고 있어요. 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하지요. 따라서 ∠BOC = 90°에요.

(2) □ABCD가 정사각형이므로 직사각형의 성질을 가지고 있어요. 직사각형의 성질에 따르면 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 성질에 따르면 대각선은 서로를 이등분하지요. 에요. 따라서 △OBC는 두 변의 길이가 같고, 그 끼인각이 직각인 직각이등변삼각형입니다.

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평행사변형이 되는 조건
직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질
사각형의 정의와 성질, 조건

평행사변형에 이어 사각형 두 번째입니다. 바로 직사각형이에요. 직사각형이 어떤 건지는 모두 알고 있을 거예요. 직각으로 이루어진 사각형이죠.

이 글에서는 직사각형의 성질과 어떤 조건을 만족해야 직사각형이 되는지 알아볼 거예요.

직사각형의 성질과 조건은 평행사변형의 성질과 조건의 연장선에 있어요. 둘의 내용이 많이 다르지 않으니까 이해하기도 쉽지만, 헷갈리지 않게 잘 보세요.

직사각형의 정의

직사각형은 네 개의 내각의 크기가 모두 같은 사각형으로 정의합니다. 다각형 내각의 크기의 합에서 사각형 내각의 크기의 합은 360°이기 때문에 한 내각의 크기는 360° ÷ 4 = 90°가 되겠죠.

네 내각의 크기가 90°로 모두 같으니까 마주보는 두 쌍의 대각의 크기가 서로 같아요. 따라서 직사각형은 평행사변형의 한 종류라고 할 수 있어요.

직사각형을 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형이라고 정의하기도 합니다. 한 내각의 크기가 90°이면 평행사변형의 성질 중 대각의 크기가 서로 같다는 성질에 의해서 마주 보는 각의 크기도 90°가 돼요. 나머지 두 각의 크기의 합이 180°가 되어야 하는데, 이 두 각의 크기도 같으니까 각각 90°가 되어서 결국 네 각의 크기가 모두 90°로 같아지는 거죠.

직사각형의 성질

직사각형은 평행사변형의 한 종류이기 때문에 평행사변형의 성질을 모두 갖고 있어요. 여기에 하나가 더 추가됩니다.

먼저 평행사변형의 성질을 정리해볼까요?

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 상의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

위 세 가지 성질에 추가되는 게 두 "대각선의 길이가 같다."입니다.

대각선의 길이가 같다

직사각형에 대각선을 두 개 그었어요. △ABC와 △DCB를 보세요.

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (1)

또 직사각형은 내각의 크기가 모두 90°니까 ∠ABC = ∠DCB = 90°죠. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

대응변이라서 가 되는 거죠.     (증명 끝.)

직사각형: 내각의 크기가 모두 같은 사각형 or 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형
직사각형의 성질: (평행사변형의 성질) + 대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 직사각형이 되는 조건

한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.

평행사변형의 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형은 두 대각의 크기가 같아요. 직사각형의 정의에서 설명한 것처럼 한 내각의 크기가 90°가 되면 마주 보는 각도 90°가 되고, 나머지 두 각도 90°가 되기 때문에 모든 내각의 크기가 90°가 돼요.

평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기가 같으면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 크기는 180°라는 걸 알고 있어요. 두 각의 크기가 같은데 더했더니 180°가 되려면 한 내각의 크기가 90°라는 말이 되죠? 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 되는 건 바로 윗줄에서 설명했어요.

대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 되는 조건에서도 평행사변형의 성질을 거꾸로 해서 평행사변형이 되는 조건이 되는 걸 봤어요. 여기서도 마찬가지로 직사각형의 성질을 거꾸로 하면 직사각형이 되는 조건이 되는 거예요.

직사각형의 성질 중에 두 대각선의 길이가 같다는 성질이 있었어요. 이 성질을 거꾸로 해서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 되는 거죠.

△ABC와 △DCB를 보세요.

두 대각선의 길이가 같으니까 에요.…… (1)

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

합동이니까 대응각의 크기가 같겠죠? ∠B = ∠C가 됩니다. 그런데 ∠B와 ∠C는 이웃하는 두 내각이에요. 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°인데, 크기가 같으니까 ∠B = ∠C = 90°가 되죠. 대각의 크기도 서로 같으므로 평행사변형의 내각이 모두 90°가 되요.

따라서 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 돼요.     (증명 끝.)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건
1. 한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.
2. 대각선의 길이가 같다.

아래 그림에서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것을 고르시오.

(1)           (2) ∠C = 90°          (3)
(4) ∠B = ∠C        (5)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건들을 쭉 나열해보죠.

첫 번째는 한 내각의 크기가 90°일 때에요. (2)가 여기에 해당하네요.
두 번째는 이웃한 두 내각의 크기가 같을 때에요. (4)가 해당하고요.
세 번째는 두 대각선의 길이가 같아야 해요. (1)이 해당하네요.

남은 건 (3)번과 (5)번인데요. 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분해요. 따라서 라는 말은 라는 얘기죠. 즉 가 된다는 것과 같은 말이에요. (5) 번도 맞는 얘기입니다.

(3) 번은 그냥 평행사변형의 조건 중 하나일 뿐이에요. 따라서 조건이 아닌 것은 (3)번이네요.

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이제 피타고라스의 정리에 대해서 익숙해졌나요?

이제부터는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 도형에 적용해서 문제를 푸는 걸 연습해봐야 해요. 직각삼각형을 얼마나 쉽게 만드느냐가 중요해요.

첫 번째로 직사각형과 정사각형에 적용해보죠. 직사각형과 정사각형은 이미 직각이 포함되어 있기 때문에 직각삼각형을 쉽게 만들 수 있어요. 따라서 별다른 작업 없이 피타고라스의 정리를 바로 적용할 수 있지요. 직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

직사각형의 대각선 길이

한 변의 길이가 a이고 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형이 있다고 하죠. 직사각형은 마주 보는 변의 길이는 같으니까 다른 변의 길이도 a, b이죠? (직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건)

직사각형에서 대각선을 그으면 두 개의 직각삼각형으로 나뉘고, 대각선은 직각삼각형의 빗변이 돼요. (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + b²
(대각선의 길이) =

두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

한 변의 길이가 3cm이고, 다른 한 변의 길이는 4cm인 직사각형의 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a, 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형의 대각선의 길이는 이니까 공식에 바로 대입해보죠.

a = 3cm, b = 4cm이므로 (cm)입니다.

정사각형 대각선의 길이

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 90°로 같은 사각형이에요. (정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건)

정사각형 한 변의 길이를 a라고 해볼까요?

대각선을 그으면 직각삼각형 두 개가 만들어지는데, 이 직각삼각형은 두 변의 길이가 a로 같은 이등변삼각형이 돼요.

직사각형과 마찬가지로 (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + a² = 2a²
(대각선의 길이) =

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 =

대각선을 그으면 직각삼각형이 바로 보이니까 사각형의 대각선의 길이 구하는 건 별로 어렵지 않죠?

한 변의 길이가 5cm인 정사각형 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 에요. 공식에 바로 대입해보죠.

a = 5이므로 대각선의 길이는 × 5 = 5(cm)가 되네요.

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