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지수부등식, 지수부등식의 풀이
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2014.04.08
지수방정식, 지수방정식의 풀이
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2014.04.06

이차함수의 그래프와 이차부등식의 풀이에서 그래프를 그려보면 이차부등식의 해를 구하는 과정을 조금 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 지수함수의 그래프를 그리고, 지수함수 그래프의 특징을 잘 이해한다면 지수부등식의 성질을 이해하는 데 많은 도움이 됩니다.

원래 방정식과 부등식은 사촌이죠? 그러니까 지수부등식과 지수방정식은 뜻은 물론 풀이방법도 서로 비슷해요. 지수부등식이 가지는 몇 가지 특징이 있는데 이걸 지수방정식의 풀이방법과 잘 조합한 게 지수부등식의 풀이 방법이에요.

지수부등식

지수방정식은 지수에 미지수가 있는 방정식이죠. 그럼 지수부등식은요? 지수에 미지수가 있는 부등식이에요. 방정식의 등호(=)가 부등식에서는 부등호(>, ≥, <, ≤)로 바뀐 것뿐이고요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해에서 이차함수의 그래프를 이용해서 이차부등식을 푸는 방법을 알아봤지요? 지수부등식에서도 지수함수의 그래프를 이용해서 풀면 훨씬 더 쉬워요.

먼저 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프의 특징을 간단하게 되짚어보죠.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

치역이 양수의 집합이니까 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0이에요.

a > 1일 때의 그래프를 볼까요? 지수 x가 증가하면 결과 y도 증가해요.

지수함수의 그래프 - a > 1일 때

지수함수 y = a^x (a > 1)의 그래프는 증가함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수가 지수도 커요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ < x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요.

0 < a < 1일 때의 그래프는 지수 x가 증가하면 결과 y는 감소해요.

지수함수의 그래프 - 0 < a < 1일 때

지수함수 y = a^x (0 < a < 1)의 그래프는 감소함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수의 지수가 작아요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ > x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대예요.

정리해보죠.

임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
a > 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수부등식을 풀 때는 밑을 같게 한 다음 위 성질을 이용해서 풀어요.

다음 지수부등식을 풀어라.
(1)
(2)

지수부등식에서 밑이 1보다 클 때는 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요. 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대고요.

(1) 우변의 무리수를 지수를 이용해서 나타내보죠.

밑이 2로 1보다 크니까 부등호의 방향이 같아요.

(2)

밑이 서로 다르니까 같게 해줘야겠네요.

밑이 0보다 크고 1보다 작으니까 부등호의 방향이 반대예요.

-x + 2 < 2x - 4
3x > 6
x > 2

이제는 항이 3개인 지수부등식을 풀어보죠. 항이 3개인 지수방정식은 어떻게 풀었나요? 지수방정식의 모양을 바꾼 후에 a^x = t로 치환해서 풀었죠? 지수부등식에서도 똑같이 치환해서 풀어요.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0의 해를 구하여라.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0
4 × 3^x × 3 - (3²)^x - 27> 0
-(3^x)² + 12 × 3^x - 27 > 0
(3^x)² - 12 × 3^x + 27< 0
t² - 12t + 27< 0 (∵ 3^x = t로 치환)
(t - 9)(t - 3) < 0
3 < t < 9
3 < 3^x < 9 (∵ t = 3^x)
3¹ < 3^x < 3²
1 < x < 2

밑 3이 1보다 크니까 방향은 그대로 두고 풀었더니 1 < x < 2가 나오네요.

정리해볼까요

지수부등식: 지수에 미지수가 있는 부등식

임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
a > 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수방정식, 지수방정식의 풀이

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지수와 지수법칙, 지수함수에 이어 지수방정식이에요. 방정식은 이제까지 정말 많이 다뤘던 거니까 생소하지는 않죠?

지수방정식은 다른 방정식에 비해서 조금 더 쉽다고 할 수 있어요. 식 자체가 고차방정식보다 단순하거든요. 그리고 이차방정식, 고차방정식은 여러 가지를 공부했는데 지수방정식은 이 글 하나만 하면 끝나니까 양도 적지요.

지수의 조건과 방정식의 풀이라는 두 가지를 잘 조합하면 의외로 쉽게 풀 수 있는 단원이니까 천천히 한 번 읽어보세요.

지수방정식

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 그러니까 지수방정식은 이름 그대로 지수에 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠.

지수에 미지수가 있으면 지수방정식, 지수가 아닌 밑에 미지수가 있으면 지수방정식이 아니에요. 2^x = 4는 지수에 미지수가 있으니까 지수방정식이고 x² = 4는 밑에 미지수가 있는 이차방정식이에요. 둘을 잘 구별하세요.

지수함수, 지수함수의 그래프 y = a^x에서 밑 a가 모든 실수는 아니었죠? a > 0이고 a ≠ 1이었어요. 지수방정식에서도 밑은 양수이고 1이 아니에요.

지수방정식의 풀이

3^x = 9를 어떻게 풀까요?

간단히 하면 3^x = 9 = 3²니까 x = 2라는 답을 구할 수 있어요.

두 수가 같을 때, 밑이 같으면 지수도 같아야 하죠. 반대로 생각하면 두 수가 같을 때, 지수가 같다면 밑이 같아야 같아야 하고요.

이 두 가지가 기본적인 풀이법이에요.

a^f(x) = a^g(x) → f(x) = g(x)
a^f(x) = b^f(x) → a = b

첫 번째에서 만약에 a = 1이라면 어떻게 되나요? f(x) ≠ g(x)여도 1^f(x) = 1^g(x) = 1이에요. 사실 이런 경우는 거의 없어서 별로 신경 쓰지 않아도 되지만 혹시 밑에도 미지수가 있다면 a = 1인지 아닌지 확인해봐야 해요.

두 번째에서 f(x) = 0이라면 어떻게 될까요? (양수)⁰ = 1이에요. a ≠ b여도 a^f(x) = b^f(x) = 1이 되지요. 따라서 f(x) = 0인지 아닌지도 확인해야 해요.

정리해보죠.

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식
밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

다음 지수방정식을 풀어라.
(1) 2^{x + 1} = 4³
(2)
(3)
(4) (x - 1)^{x + 2} = 5^{x + 2}