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삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.

헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.

그래서 이 과정을 생략할 수 있게 나온 공식이 헤론의 공식입니다. 여기서는 헤론의 공식을 유도해보고 공식이 왜 좋은지 문제를 통해서 알아보죠.

헤론의 공식

세 변의 길이만 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 아래 과정을 거쳐야 해요.

제2 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos을 구함
①과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin을 구함
②를 이용하여 넓이를 구함

①, ② 과정이 매우 복잡해요. 그래서 헤론이라는 사람이 공식으로 유도해 놓은 게 있는데 그걸 헤론의 공식이라고 해요.

이 공식을 유도하기에 앞서 전에 공부했던 두 가지 공식의 모양을 조금 바꿔놓고 시작하죠.

첫 번째는 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sinθ와 cosθ의 관계에요.

다음은 제2 코사인법칙의 모양을 바꿔보죠.

제2 코사인법칙 변형

이제 헤론의 공식을 유도해보죠. 앞에 1, 2, 3은 줄번호예요.

헤론의 공식 유도 1

삼각함수 사이의 관계 변형
우변 인수분해
대입
괄호 안 통분
분자의 앞 세항을 인수분해
인수분해
우변 곱
양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0

근호 안이 굉장히 복잡하죠? 여기를 간단히 해보죠. a + b + c = 2s라고 치환해볼까요?

a + b + c = 2s
a + b - c = (a + b + c) - 2c = 2s - 2c = 2(s - c)
a - b + c = (a + b + c) - 2b = 2s - 2b = 2(s - b)
-a + b + c = (a + b + c) - 2a = 2s - 2a = 2(s - a)

이제 이걸 근호 안에 대입해요.

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

되게 복잡한 과정을 거쳤더니 공식이 하나 유도되었네요.

헤론의 공식
△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때

세 변의 길이가 4, 5, 6인 삼각형의 넓이를 구하여라.

a = 4, b = 5, c = 6이라고 해보죠.

제2 코사인법칙에서
c² = a² + b² - 2abcosC
6² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cosC
36 = 16 + 25 - 40cosC
40cosC = 5
cosC =

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

정말 복잡하죠? 헤론의 공식에 넣어서 바로 구해보죠.

공식을 이용하니까 훨씬 쉽게 삼각형의 넓이를 구했네요.

정리해볼까요

헤론의 공식

△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때

삼각형의 넓이

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평행사변형의 넓이

그리드형

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사인법칙, 제1 코사인법칙, 제2 코사인법칙을 서로 비교해서 특징과 차이를 총정리하는 시간을 가져볼게요.

공식을 외우는 건 어쩌면 그리 어려운 건 아닐 거예요. 그런데 어떤 조건이 있을 때 어떤 공식을 사용해야 하는지는 무척 헷갈리죠. 어차피 삼각형이야 변의 길이, 각의 크기를 알려주고 알려주지 않은 나머지 변의 길이와 각의 크기를 구하는 거라서 문제에서 주는 정보가 다 거기서 거기거든요.

이 글에서는 세 가지 공식을 한 번 더 정리해보고 어떤 경우에 어떤 공식을 사용해야 하는지까지 알아보죠.

사인법칙, 코사인법칙 총정리

일단 각 법칙을 다시 한 번 써보고 어떤 특징이 있는지 알아봐요.

사인법칙

△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

를 보죠. 두 각의 크기(A, B)와 두 변의 길이(a, b) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요. 두 각 A, B의 크기를 알면 다른 한 각 C의 크기도 구할 수 있죠?

a, B, C를 알 때 삼각형 내각의 합은 180°니까 A를 알 수 있고 이를 이용해서 b를 구할 수 있어요. b, A, C를 알 때는 B를 알 수 있고 이를 이용해서 a를 구할 수 있고요. 이건 한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때로 정리할 수 있죠.

또, a, b와 A를 알 때 B를 구할 수 있어요. a, b, B를 알 때 A를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 다른 각의 크기를 알 때로 정리할 수 있어요.

제1 코사인법칙

△ABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA

첫 번째 a = bcosC + ccosB를 보죠. 두 각의 크기(B, C)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 다섯 가지 항목으로 되어 있어요.

기본적으로 b, c, B, C를 알 때 a를 구할 수 있어요. 두 변의 길이와 두 대각의 크기를 알 때에요.

a, b, c, B를 알 때 C를 구할 수 있어요. 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때죠.

제2 코사인법칙

a² = b² + c² - 2bccosA
b² = c² + a² - 2cacosB
c² = a² + b² - 2abcosC

첫 번째 a² = b² + c² - 2bccosA를 보죠. 한 각의 크기(A)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요.

b, c, A를 알면 a를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때로 정리할 수 있죠.

a, b, c를 알면 A를 구할 수 있어요. 세 변의 길이를 알 때로 정리할 수 있어요.

사인법칙, 코사인법칙의 비교

세 가지 법칙을 봤는데 그 공식만 봐도 어떤 경우에 어떤 값을 구할 수 있는지 알 수 있어요. 이걸 다시 한 번 정리해보죠.

사인법칙, 코사인법칙 비교 - 삼각형ABC

사인법칙, 코사인법칙 정리
	공식	사용
사인법칙		한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때
제1 코사인법칙	a = bcosC + ccosB b = ccosA + acosC c = acosB + bcosA	두 각의 크기와 두 대변의 길이를 알 때 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때
제2 코사인법칙	a² = b² + c² - 2bccosA b² = c² + a² - 2cacosB c² = a² + b² - 2abcosC	두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 세 변의 길이를 알 때

삼각형의 합동조건과 비교해서 외우면 좋아요. SSS, SAS, ASA

SSS, SAS → 제2 코사인법칙
ASA, SSA → 사인법칙 (∵ SSA는 합동조건은 아니고 두 변과 끼인각이 아닌 각을 외우기 위한 팁정도로 생각하세요.)
ASSA, SSSA → 제1 코사인법칙

사인법칙과 제2 코사인법칙은 세 가지만 알고 있으면 다른 하나를 구할 수 있어요. 제1 코사인법칙은 네 가지 조건을 알고 있을 때 다른 하나를 구할 수 있고요. 문제에서 조건을 충분히 알려주는 경우는 많지 않으니까 사인법칙, 제2 코사인법칙보다 제1 코사인법칙을 사용하는 경우는 더 적죠. 그래서 제1 코사인법칙을 사용하는 조건은 굳이 외우지 않아도 상관없어요.

다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 2cm, b = 3cm, C = 60°일 때, c를 구하여라.

(1)번은 한 변의 길이와 양끝각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 뜻이죠.

삼각형에서 두 내각의 크기를 알면 나머지 한 내각의 크기도 구할 수 있죠? C = 180° - (30° + 60°) = 90°