원소의 개수
유한집합의 원소의 개수
유한집합은 원소의 개수를 셀 수 있는 집합이에요. 따라서 원소의 개수와 관련된 문제는 당연히 유한집합이에요. 물론 원소의 개수가 0개인 공집합 
유한집합의 원소의 개수를 구할 때는 무작정 구하는 게 아니라 그와 관련된 다른 집합의 원소의 개수를 알려줘요. 그러니까 이 글에서는 유한집합의 원소의 개수 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이런 관계를 통해서 원소의 개수를 구하는 겁니다.
집합에서 이해를 돕는 가장 좋은 방법은 벤다이어그램을 그리는 방법이니까 각 설명 과정에 나오는 벤다이어그램을 잘 보세요.
유한집합의 원소의 개수
교집합과 합집합의 원소의 개수
집합 A의 원소의 개수는 n(A)라는 기호로 나타내는 거 알고 있죠? 집합의 원소의 개수
두 집합 A, B와 교집합, 합집합의 원소의 개수에 어떤 관계가 있는지 알아보죠.
일단 그림에서 알 수 있는 집합의 원소의 개수를 구해볼까요?
n(A) = x + y
n(B) = y + z
n(A ∩ B) = y
n(A ∪ B) = x + y + z
위에 두 개를 더하고 아래 두 개를 더해보죠.
n(A) + n(B) = n(A ∩ B) + n(A ∪ B) = x + 2y + z
가운데 있는 n(A ∪ B)나 n(A ∩ B)를 이항해보세요.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
두 집합의 원소의 개수와 합집합, 교집합의 원소의 개수와의 관계를 알 수 있겠죠?
이번에는 아래 그림처럼 A, B, C의 세 집합이 있을 때에요.
나머지는 위와 같으니까 넘어가고 n(A ∪ B ∪ C)를 구해보죠. A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C라고 생각할 수 있겠죠? 이렇게 나눠서 해봐요.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) - n((A ∪ B) ∩ C)
= {n(A) + n(B) - n(A ∩ B)} + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - {n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n((A ∩ C) ∩ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
집합의 연산법칙을 이용해서 집합의 모양을 바꾸고 거기에 위에서 봤던 합집합과 교집합의 원소의 개수를 넣어봤더니 마지막 줄처럼 나왔어요.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
세 집합의 합집합의 원소의 개수는 각각의 집합의 원소의 개수를 다 더하고, 두 개씩의 교집합의 원소의 개수를 빼고, 세 개의 교집합의 원소의 개수를 더하는 거예요. 복잡하지만 금방 외울 수 있을 거예요.
여집합과 차집합의 원소의 개수
이번에는 좀 쉬운 거 하죠. 여집합의 원소의 개수에요.
n(AC) = n(U) - n(A)
A - B = A - (A ∩ B) = (A ∪ B) - B로 나타낼 수 있으니까 그 상태 그대로 원소의 개수로 바꿔주면 돼요.
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = n(A ∪ B) - n(B)
하나는 교집합을 하나는 합집합을 이용하는 거니까 차이를 잘 보세요.
n(A) = 10, n(B) = 8, n(A ∪ B) = 15일 때, 다음을 구하여라.
(1) n(A ∩ B)
(2) n(A - B)
(3) n(B - A)
(1)에서 n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) = 10 + 8 - 15 = 3
(2) n(A - B) = n(A ∪ B) - n(B) = 15 - 8 = 7
다른 방법으로 n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = 10 - 3 = 7
(3) n(B - A) = n(A ∪ B) - n(A) = 15 - 10 = 5
다른 방법으로 n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) = 8 - 3 = 5
선영이네 반은 총 30명의 학생이 있다. 이 중에 지난 토요일에 무한도전을 본 학생은 17명, 스타킹을 본 학생은 12명, 둘 다 본 학생은 5명일 때, 둘 중 아무 프로그램도 보지 않은 학생은 몇 명인가?
총 30명이라고 했으니까 n(U) = 30
무한도전을 본 학생을 집합 A라고 하면 n(A) = 17
스타킹을 본 학생을 집합 B라고 하면 n(B) = 12
둘 다 본 학생은 n(A ∩ B) = 5
아무 프로그램도 안 본 학생은 (A ∪ B)C이므로 학생 수는 n((A ∪ B)C) = n(U) - n(A ∪ B)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 17 + 12 - 5 = 24
n((A ∪ B)C) = n(U) - n(A ∪ B) = 30 - 24 = 6(명)
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집합의 연산법칙 1 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
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집합의 원소의 개수
원소의 개수에 따라 집합을 나눌 수 있어요. 무한집합, 유한집합, 공집합 이렇게요. 공집합은 유한집합의 한 종류죠.
그럼 집합의 원소의 개수를 어떻게 표시하는지 알아볼까요?
당연한 얘기지만 원소의 개수를 표시하려면 원소의 개수를 정확히 알아야 해요. 따라서 여기서 말하는 집합은 바로 유한집합이에요. 무한집합은 원소의 개수가 몇 개인지 모르니까 원소의 개수를 표시할 수 없잖아요.
집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)
집합의 원소의 개수 표시법
원소의 개수를 나타낼 때는 알파벳 소문자 n을 이용해요.
집합 A의 원소 개수는 n(A)이라는 기호로 나타냅니다. 앞에 n을 쓰고, 괄호 사이에 집합을 쓰는 거죠.
n(A) = 5 는 "집합 A의 원소는 다섯 개입니다."는 뜻이에요.
A 자리에는 집합이 들어가는 자리니까 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램에 나온 것처럼 집합을 표현하는 거라면 어떤 것도 상관없어요. n({1, 2, 3, 4, 5})도 괜찮고, n({x|x는 5 이하의 자연수})도 괜찮아요.
B = {a, b, c}의 원소의 개수는 n(B) = 3으로 나타낼 수 있겠죠?
공집합 C의 원소의 개수를 나타내 볼까요? 공집합은 원소의 개수가 하나도 없잖아요. 원소의 개수가 0개니까 n(C) = 0으로 나타내요.
A = {x|x는 12의 약수}, B = {1. 2, 3, 4, 5}, C = 
원소의 개수를 구하는 거니까 가능하면 원소나열법으로 표시하는 게 좋겠죠?
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}니까 n(A)= 6
n(B) = 5
C는 공집합
따라서 n(A) + n(B) + n(C) = 6 + 5 + 0 = 11