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변수와 상수

"한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀다"고 했을 때, x는 1이 될 수도 있고, 2가 될 수도 있고 100이 될 수도 있죠. 이처럼 딱 정해진 값을 갖는 게 아니라 변하는 값을 변수라고 해요. 이런 변수들은 문자로 나타내니까 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고하기도 해요.

문자와 식에서 식에 문자를 사용하는 걸 공부했었죠? 거기서 사용했던 문자들이 모두 변수예요.

이와 반대로 1은 언제나 1이고 10은 언제나 10이에요. 어떤 경우라도 바뀌지 않고 그대로죠. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 해요. 항, 상수항, 계수, 차수에서 상수항 들어봤죠? 숫자만 있는 항을 상수항이라고 한다고 했어요. 숫자만 있는 항은 바뀌지 않으니까 상수항인 거예요.

• 변수: 변하는 값, 변하는 값을 나타내는 문자
• 상수: 변하지 않는 값

그래프

여러 자료를 좌표를 이용해서 좌표평면에 점, 직선, 곡선 등으로 나타낸 것을 그래프라고 해요. 그래프를 보면 표로 볼 때보다 변화나 상태를 더 직관적으로 알아볼 수 있어요.

아래 그래프는 지민이가 집에서 슈퍼에 가서 물건을 사올 때, 시간에 따른 집과 지민이 사이의 거리를 나타낸 그래프예요. 가로축(x축)은 시간, 세로축(y축)은 집과 지민이 사이의 거리예요.

처음에 집에서 마트로 갈 때는 집과 지민이 사이의 거리가 멀어지다가 마트에 도착해서 물건을 고르고 계산하는 중에는 거리의 변화가 없죠. 물건을 사고 다시 집으로 돌아올 때는 거리가 줄어들고요.

이 그래프를 보면 지민이 집에서 마트는 5분 거리에 있고, 마트에서 3분 머물렀다는 걸 알 수 있어요.

마트로 가는 길, 마트에서 집으로 돌아오는 길의 그래프가 직선이에요. 이건 거리가 일정하게 늘어나고 줄어들었다는 뜻으로 걷는 속력이 일정했다는 말이에요.

다음 그래프는 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따른 속력의 그래프예요. 마트에 갈 때와 마트에서 올 때는 속력이 일정하고, 마트에 있는 동안은 속력이 0이에요.

직선이 아닌 곡선이 포함된 그래프는 어떨까요?

0 ~ 5 사이의 구간에서 곡선이 처음에는 가파르게 올라가다 점점 완만하게 오르죠? 가파르게 오른다는 건 변화가 빠르다는 거고, 완만하게 오른다는 건 변화가 느리다는 거예요.

이 그래프는 거리의 변화를 나타내는 그래프니까 곡선이 가파르다는 건 거리의 변화가 빠르다는 거고, 거리의 변화가 빠르다는 건 이동하는 속력이 빠르다는 얘기죠. 즉, 지민이가 빨리 걸었다는 뜻이에요. 반대로 곡선이 완만한 건 변화가 느리다는 거고 이건 이동 속력, 걷는 속력이 느려졌다는 뜻이에요.

즉, 곡선이 가파르다 완만하게 바뀐 그래프를 보면 지민이가 출발할 때는 빨리 걷다가 점점 느리게 걸어서 마트에 도착했다는 걸 알 수 있어요.

올 때(8 ~ 13 구간)는 반대로 완만하던 곡선이 가파르게 바뀌죠? 천천히 걷다가 점점 빨리 걸어서 왔다는 뜻이에요.

이것도 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따를 속력 그래프로 그려보면 아래처럼 될 거예요. 처음에는 빨랐다가 느려지더니 마트에 도착해서는 0이 되었죠? 그리고 다시 마트에서 출발할 때는 느렸다가 점점 빨라져요.

이제는 함수의 정의에 이어 함수의 종류에 대해서 공부할 거예요. 함수의 종류에는 여러 가지가 있는데, 그중에서 일대일함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수에 대해서만 알아보죠. 특히, 일대일함수와 일대일 대응은 헷갈리기 쉬우니까 그 차이를 분명히 알아두세요.

또, 항등함수와 상수함수는 그 의미만 간단히 이해하고 있으면 되는 비교적 쉬운 함수입니다.

일대일함수와 일대일 대응

함수는 집합 X의 원소 x 한 개에 집합 Y의 원소 y 한 개가 대응하는 관계를 말해요. 거꾸로 y 한 개가 x 여러 개에 대응해도 함수는 함수에요. 아래 그림처럼 연결돼도 함수라고 할 수 있는 거죠.

X의 이순신, 김시민, 권율이 Y의 조선에 대응해요. 거꾸로 보면 Y의 조선은 X의 이순신, 김시민, 권율 세 명과 대응하죠.

위 그림과 달리 함수 중에서 y 한 개가 여러 개의 x에 대응하지 않는 경우를 일대일함수라고 해요. x 한 개에 y 한 개가 대응하고, y 한 개가 x 한 개에 대응하는 관계요. 아래 함수에서 Y의 원소들은 X의 원소 한 개와만 대응해요.

이걸 식으로 표현하면 x₁ ∈ X, x₂ ∈ X이고, x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)라고 표현할 수 있어요. x가 다르면 그에 대응하는 y도 다르다는 얘기예요.

일대일함수 중에서 공역과 치역이 같은 함수를 일대일 대응이라고 해요. 일대일 대응은 일대일함수의 조건을 만족한 상태에서 추가로 공역과 치역이 같아야 하니까 일대일 대응은 일대일함수의 부분집합이라고 생각하면 쉬워요.

일대일함수:집합 X의 임의의 원소 x₁, x₂에 대하여 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)인 함수
일대일 대응: 일대일함수 + (공역 = 치역)

다음 그림을 보고, 일대일함수와 일대일 대응을 구분하여라.

집합 X의 원소 x₁에 대하여 f(x₁) ∈ Y이면 함수에요.
여기에서 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)이면 일대일함수고요.
또 공역 = 치역이면 일대일 대응이에요.

조건을 만족하는 개수에 따라 함수 → 일대일함수 → 일대일 대응의 순서가 되는 거죠.

왼쪽 그림은 집합 X의 원소 다섯 개에 Y의 원소 한 개가 대응하니까 함수에요. f(1) = f(2)니까 그냥 함수에요.

가운데 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 달라요. 그런데 공역은 {a, b, c, d, e}이고 치역은 {a, b, c, d}로 공역 ≠ 치역이라서 일대일함수네요.

오른쪽 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 다르므로 일대일함수인데, 여기에 치역 = 공역이니까 일대일 대응이네요.

항등함수와 상수함수

항등식 알죠? 항등식은 항상 성립하는 등식이에요. 여기서 항등은 항상 같다는 뜻이죠. 항등함수에서 항등도 같은 뜻이에요. 집합 X의 원소와 이에 대응하는 집합 Y의 원소가 항상 같다는 얘기죠.

집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수를 말해요.

집합 X의 원소 1에는 집합 Y의 원소 1이 대응해요. 2에는 2가 대응하고요. 항상 자기 자신과 같은 값이 대응하죠?

위 그림에서 X의 1, 2, 3, 4, 5가 모두 Y의 c에만 대응해요. 이처럼 X의 모든 원소가 Y의 한 원소와만 대응하는 경우를 상수함수라고 해요.

항등함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수
상수함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = c인 함수

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새로운 단원 함수에요. 다행스럽게도 2013년 교육과정 개편으로 함수에서 공부할 내용이 많이 줄어들었어요. 대신 함수는 1, 2, 3학년 모든 과정에서 계속해서 배우는 단원이에요. 내용이 줄었다고 해서 중요도가 줄어든 것은 아니라는 걸 명심하세요.

함수는 개념 정의가 상당히 어려운 부분이에요. 문제를 푸는 것과는 별개로 여러 번 읽어봐야 이해가 될 겁니다.

이 글에서는 함수의 정의와 함숫값의 뜻을 알아볼 거예요. 3년 동안 사용할 개념을 이 글에서 다루니까 제대로 잘 이해해야 합니다.

변수와 상수

"한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀다"고 했을 때, x는 1이 될 수도 있고, 2가 될 수도 있고 100이 될 수도 있죠. 이처럼 딱 정해진 값을 갖는 게 아니라 변하는 값을 변수라고 해요. 이런 변수들은 문자로 나타내기 때문에 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고 하기도 해요.

문자와 식에서 식에 문자를 사용하는 걸 공부했었죠? 거기서 사용했던 문자들이 모두 변수에요.

이와 반대로 1은 언제나 1이고 10은 언제나 10이에요. 어떤 경우라도 바뀌지 않고 그대로죠. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 해요. 항, 상수항, 계수, 차수에서 상수항 들어봤죠? 숫자만 있는 항을 상수항이라고 한다고 했어요. 숫자만 있는 항은 바뀌지 않으니까 상수항인 거예요.

변수: 변하는 값
상수: 변하지 않는 값

함수의 정의

한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀을 때 내야 할 공책의 값을 y원이라고 한다면 y = 1000x에요.

공책의 권 수 x가 정해지면 그에 따라 내야 할 금액 y도 바뀌었네요. x와 y는 정해지지 않고 바뀌는 변수지요.

두 변수 x, y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 y의 값이 오직 하나로 결정될 때, y를 x의 함수라고 해요. 영어로는 Function이라고 해요. 무슨 말인지 잘 모르겠죠?

간단히 말해 위 표에서 x가 하나 정해지면 그에 따라서 y도 하나 정해지는데, 이걸 함수라고 하는 거예요.

여기서 중요한 건 하나의 x에 하나의 y가 정해져야 하는 거예요. 예를 들어서 공책을 한 권 샀는데, 1,000원 일 수도 있고 2,000원 일수도 있다면 이건 함수라고 할 수 없어요. 1권이라는 x에 1,000원, 2,000원이라는 두 개의 y가 있으니까요.

x가 바뀌는 데, y는 바뀌지 않아도 상관없어요. 공책을 한 권 사도 1,000원, 2권 사도 1,000원, 3권 사도 1,000원이어도 상관없다는 거죠. x 한 개에 y 하나가 결정되었잖아요. 이때는 그냥 y가 겹치는 것이거든요.

두 개의 그림이 있는데, 왼쪽에는 하나의 x에 하나의 y가 정해져서 함수라고 할 수 있어요. 오른쪽 그림에서는 y가 겹치긴 하지만 하나의 x에 하나의 y가 정해져 있으니까 함수에요.

위 그림의 1에서는 1,000과 2,000의 두 개의 y로 화살표가 이어져 있어요. 하나의 x에 두 개의 y가 정해졌으니까 함수가 아니에요.

위에서 x와 y는 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요. 이 x와 y의 관계식을 함수식이라고 부르는데, 1000x라는 식이 x로 되어 있는 식이라서 Function의 F와 x를 결합해서 f(x)라고 해요.

따라서 함수를 식으로 표현할 때, 함수 y = 1000x 또는 f(x) = 1000x라고 하죠.

어떤 특정한 함수가 아니라 일반적인 함수를 나타낼 때는 y = f(x)라고 해요. 에프엑스라는 가수를 왜 함수그룹이라고 부르는지 알겠죠?

함수: 두 변수 x, y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 y의 값이 하나만 결정될 때, y를 x의 함수. y = f(x)

다음 중 함수가 아닌 것을 고르시오.
(1) x보다 큰 자연수 y
(2) 한 그릇에 5,000원 하는 자장면 x 그릇을 먹었을 때의 금액 y 원

두 변수 x, y에 대하여 x에 따라 y가 하나만 정해질 때 함수라고 한다고 했어요.

(1)번은 예를 들어 x = 2라고 하면 2보다 큰 자연수는 3, 4, 5, … 여러 개가 있죠? 하나가 아니에요. 따라서 (1)은 함수가 아니에요.

(2)번은 금액 y = 5000x의 관계가 있고, x 하나에 y가 하나만 정해지니까 함수라고 할 수 있어요.

함숫값

함수에서는 x에 따라서 y의 값이 하나만 결정된다고 했어요. x에 따라서 하나로 결정되는 그 y를 함숫값이라고 해요.

f(x) = 1000x에서
x = 1일 때, y = 1000이므로 x = 1일 때의 함숫값은 1000이죠. 이걸 식으로 쓰면 f(1) = 1000이 되죠.
x = 2일 때, y = 2000이므로 f(2) = 2000
x = 3일 때, y = 3000이므로 f(3) = 3000

쉽게 생각하세요. 우리 대입이라는 걸 공부했죠? 대신 넣는 거예요.
f(x) = 1000x에서
x = 1을 대입하면 x를 모두 1로 바꾸는 거예요. f(1) = 1000
x = 2를 대입하면 f(2) = 1000 × 2 = 2000
x = 3을 대입하면 f(3) = 1000 × 3 = 3000

여기서 1000, 2000, 3000이 x = 1, 2, 3일 때의 함숫값이에요.

함숫값: y = f(x)에서 x의 값에 따라 하나로 정해지는 y의 값
f(a): y = f(x)에서 x = a일 때의 함숫값

f(x) = ax + 4일 때, f(2) = 6이다. 다음을 구하여라.
(1) a는 얼마인가?
(2) f(4) - f(3)

(1) 에서 f(2) = 6이라는 말은 x = 2일 때, 함숫값이 6이라는 뜻이에요. 즉 f(x) = ax + 4에 x = 2를 대입하면 6이 나온다는 뜻이지요.
6 = 2 × a + 4
2 = 2a
a = 1

f(x) = x + 4 네요.

(2)번은 f(x) = x + 4이므로 x = 4, x = 3을 대입하면
f(4) - f(3) = 4 + 4 - (3 + 4) = 1

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