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제곱근표, 삼각비표에 이은 세 번째 표 삼각함수표예요. 삼각함수표는 제곱근표와 삼각비표가 그랬던 것처럼 교과서나 문제집의 제일 끝 부분에 있어요.

삼각함수표는 정말 정말 쉬워요. 삼각비표와 99% 같으니까요. 사실 삼각함수표를 이용하는 경우는 별로 많지는 않지만 그래도 내용은 알고 있어야 해요.

그리고 삼각비표보다 더 중요한 건 특수각의 삼각함수 그러니까 특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°에요. 꼭 외우세요.

삼각함수표의 사용

삼각비 표는 0°부터 90°까지의 각을 1° 간격으로 나누어 이들의 삼각비의 근삿값을 표로 나타낸 거죠.

삼각함수의 sin, cos, tan를 구하는 방법은 삼각비 sin, cos, tan를 구하는 방법과 거의 같아요. 따라서 삼각함수표는 삼각비표와 거의 같지요. 딱 하나 다른 점이 있는데, 바로 호도법이 추가되었다는 거지요. 육십분법의 ° 단위 뿐 아니라 호도법의 라디안 단위도 표에 나와요.

즉, 삼각함수표는 1° ~ 90° 사이의 각을 1° 간격으로 나누어 삼각함수의 근삿값을 표로 나타낸 것으로 °단위 뿐 아니라 라디안 단위의 각도 포함하고 있는 거죠

이제까지 라디안을 공부할 때는 π를 이용한 라디안을 썼는데, 삼각함수표에는 π가 아니라 소수로 나오죠. 그래서 사실 삼각함수표에서 라디안을 이용할 일은 거의 없어요.

그냥 이런 게 있다 정도로만 알고 있으면 돼요. 표를 읽는 방법은 어렵지 않죠?

이 삼각함수표에는 90°까지밖에 나오지 않아요. 90°보다 더 큰 각의 삼각함수를 구할 때는 삼각함수 각의 변환 총정리에서 했던 방법처럼 문제에 나오는 각을 90° × n + θ (n은 정수, 0° < θ < 90°)로 바꿔서 구해야 합니다.

위 삼각함수표를 이용하여 다음을 구하여라.
sin135° + cos226° + tan407°

삼각함수 각의 변환 총정리에서 했던 방법을 이용해서 풀어보죠.

sin135° = sin(90° × 1 + 45°) = cos45° = 0.7071
(∵ n = 1로 홀수이므로 sin → cos, 135°는 제 2 사분면의 각이므로 sin135°는 +)

cos226° = cos(90° × 2 + 46°) = -cos46° = -0.6947
(∵ n = 2로 짝수이므로 cos → cos, 226°는 제 3 사분면의 각이므로 cos226°는 -)

tan407° = tan(90° × 4 + 47°) = tan47° = 1.0724
(∵ n = 4로 짝수이므로 tan → tan, 407°는 제 1 사분면의 각이므로 tan407°는 +)

sin135° + cos226° + tan407° = 0.7071 - 0.6947 + 1.0724 = 1.0848

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삼각함수 각의 변환 첫 번째예요. 여기서는 삼각함수에 사용되는 각이 일반각일 때와 사용된 각의 부호가 반대로 되었을 때 삼각함수의 값이 어떻게 바뀌는지를 알아볼 거예요. 또 이 두가지를 합쳤을 때의 삼각함수 값도 알아볼 거고요.

일반각을 호도법으로 표시하는 방법에 대해서 알고 있어야해요. 그리고 삼각함수를 구할 때 사용했던 그림있죠? 좌표평면 위에 원을 그리고 한 점에서 수선을 내렸던 그림도 잘 알고 있어야해요. 이 두 가지만 알고 있으면 이번 내용은 별로 어렵지 않을 거예요.

계산 문제가 살짝 어려울 수 있는데, 이때는 그림을 그려서 풀면 조금 더 쉬울 거예요.

삼각함수 각의 변환

일반각의 삼각함수, 2nπ + θ

삼각함수 sinθ, cosθ, tanθ의 각에서 θ는 0 ≤ θ < 2nπ의 범위를 가져요. 그런데 같은 동경에 위치한 θ라 하더라도 각이 다를 수 있어요. 우리는 이걸 호도법, 라디안(radian)에서 일반각으로 표현하는 걸 공부했었지요. 2nπ + θ (n은 정수, 0 ≤ θ < 2nπ)

각의 크기는 다르더라도 동경의 위치가 같으니까 x, y, r의 값이 같고 이들의 삼각함수 값도 같아요.

• sinθ = sin(2nπ + θ)
• cosθ = cos(2nπ + θ)
• tanθ = tan(2nπ + θ)

-θ의 삼각함수

이번에는 θ의 부호가 반대일 때를 보죠. 부호가 반대라는 건 시초선으로 부터 동경이 움직이는 방향이 반대라는 뜻으로 그림으로 나타내면 다음처럼 돼요.

-θ일 때는 점 P'(x', y')을 이용해서 삼각함수를 구해야겠네요. 점 P와 점 P'는 x축 대칭이므로 y의 부호가 반대예요. x와 r은 그대로이고요.

x' = x
y' = -y

θ가 -θ로 바뀌면 sin과 tan는 부호가 반대로 바뀌지만 cos은 부호가 바뀌지 않는 걸 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해볼까요? θ와 -θ는 x축 대칭이에요. θ가 제 1 사분면의 각이라면 -θ는 제 4 사분면의 각이 되고, θ가 제 2 사분면의 각이라면 -θ는 제 3 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 4 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 3 사분면

삼각함수 값의 부호에서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 있었죠? 여기에서 cos 함수는 제 1, 4 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 3 사분면의 부호는 (-)로 같아요. cos은 x축에 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 -θ가 되어도 cos의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 tan는 x축 대칭이 아니기 때문에 θ가 -θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ

2nπ - θ의 삼각함수

위에서 했던 2nπ + θ(n은 정수)와 -θ의 삼각함수 이 두 가지를 합쳐보면 2nπ - θ의 삼각함수를 구할 수 있어요. 2nπ - θ는 -θ와 동경의 위치가 같아요. 따라서 삼각함수 값도 같지요.

sin(2nπ - θ) = sin{2nπ + (-θ)} = sin(-θ) = -sinθ
cos(2nπ - θ) = cos{2nπ + (-θ)} = cos(-θ) = cosθ
tan(2nπ - θ) = tan{2nπ + (-θ)} = tan(-θ) = -tanθ

다음 삼각함수의 값을 구하여라.

예제에 있는 각이 2π보다 크니까 일단 일반각으로 나타내야겠네요.

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부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.

공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.

부채꼴 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.

2π : 2πr = θ : l
l = rθ

원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?

2π : πr² = θ : S

위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.

반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.

이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.

공식을 유도할 수 있겠죠?

부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)

S = r²θ = × 4² × π = 8π(cm²)

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