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단위행렬

2014. 2. 14. 20:00

행렬의 덧셈과 덧셈에 대한 성질에서는 행렬의 덧셈에 대한 항등원인 영행렬 O를 알아봤죠? 행렬의 곱셈과 곱셈에 대한 성질을 알아봤으니 이번에는 행렬의 곱셈에 대한 항등원을 알아볼 차례에요.

이 글에서는 행렬의 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬의 뜻과 어떤 경우에 단위행렬인 E를 정의할 수 있는지 그리고 단위행렬의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

행렬의 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬과 수와 식에서의 곱셈에 대한 항등원인 숫자 1을 비교해보는 것도 재미있을 거예요.

왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대각선 방향(↘)의 성분이 1이고 다른 성분은 모두 0인 n차 정사각형렬을 n차 단위행렬이라고 하고 기호로 E로 나타내요.

왼쪽부터 차례로 1차 단위행렬, 2차 단위행렬, 3차 단위행렬이에요.

, 일 때, AE와 EA를 구해보죠.

AE = EA = A

AE = EA라는 얘기는 교환법칙이 성립한다는 뜻이에요. 행렬의 곱셈에 대한 성질에서 일반적인 행렬은 교환법칙이 성립하지 않는다고 했어요. 하지만 이 단위행렬 E는 교환법칙이 성립해요.

AE = EA = A라는 얘기는 곱셈을 한 결과가 다시 A라는 말로 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원이라는 걸 알 수 있어요.

주의해야 할 건 교환법칙이 성립하려면 A가 n차 정사각행렬이어야 한다는 거예요.

만약 A가 3 × 2 행렬이고 E가 2차 정사각형렬이면 AE는 곱셈을 할 수 있지만, EA는 곱할 수가 없죠? 그러면 교환법칙이 성립하지 않아요.

만약 A가 3 × 2 행렬이고 E가 3차 정사각형렬이라고 하더라도 AE는 곱셈을 할 수 없고, EA만 곱할 수 있어요. 역시 교환법칙이 성립하지 않죠.

A가 n차 정사각형렬이고 E가 n차 단위행렬일 때만 교환법칙이 성립하고 곱셈에 대한 항등원이 될 수 있어요.

수에서 곱셈에 대한 항등원인 1은 거듭제곱을 해도 그냥 계속 1이죠? 행렬의 곱셈에 대한 항등원인 E는 어떻게 되는 알아보죠.

단위행렬 E도 거듭제곱해도 그냥 계속 E가 되는 걸 알 수 있어요. E와 곱셈에 대한 항등원 E를 곱하는 거니까 당연히 자기 자신인 E가 나와야겠죠?

단위행렬
왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대각선 방향(↘)의 성분이 1이고 다른 성분은 모두 0인 n차 정사각형렬
교환법칙: n차 정사각형렬 A와 n차 단위행렬 E일 때, AE = EA
곱셈에 대한 항등원: AE = EA = A
E = E² = E³ …

, 일 때, A² + 2A + E를 구하여라.

단위행렬 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원이에요. AE = EA = A죠. 교환법칙이 성립하면 다항식의 곱셈공식을 그대로 사용할 수 있어요. 그리고 E = E²이에요.

A² + 2A + E
= A² + A + A + E²
= A² + AE + EA + E²
= (A + E)²