공집합
진부분집합과 부분집합의 성질
집합의 포함관계 - 부분집합에서 부분집합의 뜻에 대해 알아봤어요. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고, 기호로는 A ⊂ B로 나타낸다고 말이죠.
이글에서는 부분집합의 성질에 대해서 자세히 알아보죠.
부분집합의 성질
집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)에서 이야기한 공집합과 부분집합의 관계에 대해서 알아보죠.
어떤 학교가 있어요. 학교에는 교실이 있겠죠? 총 10개의 교실이 있는데, 9개 교실에는 학생이 20명씩 공부하고 있어요. 나머지 한 교실은 사용하지 않고 비여 있어요. 여기서 학생을 원소라고 하고, 교실과 학교를 집합이라고 해보죠.
학교 → 집합 U
10개의 교실 → 집합 A, 집합 B, 집합 C, , … 집합 J
A 교실의 학생 → a1, a2, a3, … a20
B 교실의 학생 → b1, b2, b3, … b20
9개의 교실은 원소가 20개인 유한집합이고, 빈 교실은 유한집합 중에서도 원소가 0개인 공집합이죠?
n(A) = n(B) = 20, n(j) = 0
학생이 20명씩 있는 9개의 교실은 학교의 일부분이니까 학교라는 집합의 부분집합이겠죠? 빈 교실에는 학생이 한 명도 없지만, 이 역시 학교라는 공간 안에 있으니까 학교의 부분이에요. 따라서 이 빈 교실이라는 집합도 학교라는 집합의 부분집합인 거죠.
A ⊂ U, B ⊂ U, J ⊂ U
즉, 원소가 하나도 없는 공집합도 전체의 부분집합이라는 거예요.
이번에는 학교 전체를 보죠. 학교의 모든 학생은 학교 안에 있죠? 학교 바깥에 있는 학생은 없잖아요. 학교의 모든 학생(원소)이 학교에 있으니까 학교라는 집합은 학교라는 집합의 부분집합이라고 할 수 있죠?
집합 A의 모든 원소가 집합 A에 들어있으면 부분집합의 정의에 따라 집합 A는 집합 A의 부분집합이에요.
위 두 가지에서 부분집합의 성질을 알 수 있어요.
- 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. ->
⊂ A
- 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. -> A ⊂ A
진부분집합
진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요.
엄밀히 말해서 자기 자신은 자기 자신의 부분이라고 할 수 없잖아요. 그래서 진짜 부분집합을 진부분집합이라고 해요.
기호로 표현하면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 해요.
서로 같은 집합
부분집합의 관계를 이용해서 두 부분집합이 같은지를 알 수도 있어요.
집합 A의 모든 원소가 집합 B에 들어있을 때 집합 A는 집합 B의 부분집합이에요. 이때, 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있다면 어떨까요? 집합 B는 집합 A의 부분집합이겠죠.
서로가 서로의 부분집합일 때, 두 집합은 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으려면 둘이 서로 같을 때 빼고는 없거든요.
서로 같은 집합은 수에서와 마찬가지로 A = B라고 써요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B
집합의 원소의 개수
원소의 개수에 따라 집합을 나눌 수 있어요. 무한집합, 유한집합, 공집합 이렇게요. 공집합은 유한집합의 한 종류죠.
그럼 집합의 원소의 개수를 어떻게 표시하는지 알아볼까요?
당연한 얘기지만 원소의 개수를 표시하려면 원소의 개수를 정확히 알아야 해요. 따라서 여기서 말하는 집합은 바로 유한집합이에요. 무한집합은 원소의 개수가 몇 개인지 모르니까 원소의 개수를 표시할 수 없잖아요.
집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)
집합의 원소의 개수 표시법
원소의 개수를 나타낼 때는 알파벳 소문자 n을 이용해요.
집합 A의 원소 개수는 n(A)이라는 기호로 나타냅니다. 앞에 n을 쓰고, 괄호 사이에 집합을 쓰는 거죠.
n(A) = 5 는 "집합 A의 원소는 다섯 개입니다."는 뜻이에요.
A 자리에는 집합이 들어가는 자리니까 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램에 나온 것처럼 집합을 표현하는 거라면 어떤 것도 상관없어요. n({1, 2, 3, 4, 5})도 괜찮고, n({x|x는 5 이하의 자연수})도 괜찮아요.
B = {a, b, c}의 원소의 개수는 n(B) = 3으로 나타낼 수 있겠죠?
공집합 C의 원소의 개수를 나타내 볼까요? 공집합은 원소의 개수가 하나도 없잖아요. 원소의 개수가 0개니까 n(C) = 0으로 나타내요.
A = {x|x는 12의 약수}, B = {1. 2, 3, 4, 5}, C = 
원소의 개수를 구하는 거니까 가능하면 원소나열법으로 표시하는 게 좋겠죠?
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}니까 n(A)= 6
n(B) = 5
C는 공집합
따라서 n(A) + n(B) + n(C) = 6 + 5 + 0 = 11
집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)
이번 글에서는 집합의 종류에 대해서 알아보죠.
집합은 원소의 개수에 따라 유한집합, 무한집합으로 나눌 수 있어요. 중학교에서 유한소수와 무한소수를 공부한 적이 있죠? 이때 공부했던 유한, 무한이라는 용어와 뜻이 같으니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
그리고 조금 특별한 집합인 공집합에 대해서도 알아보죠.
유한집합
유한소수는 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 말하죠? 여기서 유한은 끝이 있는, 셀 수 있는 걸 말해요. 유한집합에서의 유한도 같은 뜻이에요
원소의 개수를 셀 수 있으면 유한집합이라고 해요. 정확히 말하면 원소의 개수가 유한개인 것, 딱 정해진 거죠. 원소의 개수가 백 개든, 천 개든 상관없어요. 원소의 개수가 정해져 있으니까요.
{1, 2, 3, 4, 5}라는 집합의 원소 개수는 5개죠? 셀 수 있으니까 이 집합은 유한집합이에요.
{1, 2, 3, 4, 5, …, 9999, 10000}이라는 집합의 원소 개수를 알 수 있나요? 줄임표를 사용하긴 했지만, 원소는 1부터 10000까지의 자연수이므로 원소의 개수는 10,000개군요. 이 집합 역시 유한집합이네요
무한집합
유한집합과는 반대로 원소가 무수히 많아서 개수를 셀 수 없을 때, 그 집합을 무한집합이라고 해요.
{1, 2, 3, 4, 5, …}라는 집합의 원소는 끝이 없이 계속돼요. 1억에서 끝나는지 10억에서 끝나는지 모르잖아요. 그러니 당연히 원소를 개수를 셀 수 없겠죠.
줄임표가 있다고 해서 반드시 무한집합인 건 아니에요. 줄임표가 마지막에 있으면 무한집합이지만 원소의 사이에 있다면 유한집합이에요. {1, 2, 3, 4, 5, …, 9999, 10000}
공집합
좀 특이한 집합인데요.
공집합은 원소의 개수가 0인 집합이에요. 원소가 하나도 없다는 뜻이지요. 그럼 이 집합은 무한집합일까요? 유한집합일까요?
유한집합이에요. 원소의 개수가 0으로 유한개니까요. 원소의 개수를 정확히 알 수 있잖아요.
A = {x|x는 1보다 작은 자연수}라는 집합이 있다고 해보죠. 1보다 작은 자연수는 없으니까 집합 A의 원소는 하나도 없어요. 이때 이 집합 A를 공집합이라고 해요. 집합 A를 조건제시법으로 나타냈는데, 원소나열법으로 나타내면 어떻게 될까요? 원소가 없으니까 그냥 빈 칸인 A = { }로 나타낼 수 있겠네요.
일반적으로 공집합은 원소나열법으로 표시하지 않아요. 원소나열법은 원소를 직접 적어서 표현하는 방법인데, 공집합은 표시할 원소가 없잖아요.
대신 공집합은 기호 
참고로 우리말로 하면 모두 파이라고 읽는데, [중등수학/중1 수학] - 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에서 썼던 원주율을 나타내는 π는 pi이고, 공집합을 나타내는 기호