삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유

삼각형의 중선에 이어서 삼각형의 무게중심이라는 걸 공부합니다. 삼각형의 내심, 외심과 달리 삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유에 대한 내용이 빠져있어서 이 글에서 추가로 설명합니다. 삼각형의 외심, 내심은 합동인 삼각형을 이용해서 증명했는데, 삼각형의 중선이 한 점에서 만나 삼각형의 무게중심이 되는 이유는 닮음인 삼각형을 이용해서 증명합니다.

이 글에는 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유만 설명되어 있으므로 삼각형의 중선과 삼각형의 무게중심에 대한 더 자세한 내용은 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선을 참고하세요.

삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유를 이해하려면 삼각형의 중점 연결 정리에 대해 알고 있어야 합니다. 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유를 증명하는 내용은 무게중심의 성질을 설명하는 내용과 거의 비슷하니까 잘 이해할 수 있을 거예요.

삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유

△ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 E라고 해보죠. 점 B와 점 E를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 M이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△MEF와 △MBC를 보세요.

∠MEF = ∠MBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠MFE = ∠MCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △MEF ∽와 △MBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 M은 를 2 : 1로 나누는 점이에요. (※ 고등학교에 가면 선분의 내분점이라는 걸 공부하는데, 여기서는 그냥 선분을 나누는 점이라는 정도만 알고 있으면 됩니다.)

이번에는 △ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 D라고 해보죠. 점 A와 점 D를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 N이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△NDF와 △NAC를 보세요.

∠NDF = ∠NAC (이므로 평행선에서 엇각)
∠NFD = ∠NCA (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △NDF ∽와 △NAC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 N은 를 2 : 1로 나누는 점이에요.

를 2 : 1로 나누는 점이 점 M과 점 N 두 개가 있죠? 이 두 점 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

중점은 선분의 두 점 사이의 거리를 절반으로 나누는 점이에요. 이때 두 점과 중점 사이의 거리의 비는 1 : 1이죠? 한 선분에서 중점은 하나밖에 없죠? 그럼 선분의 두 점 사이의 거리를 2 : 1로 나누는 점은 몇 개가 있을까요? 이것도 마찬가지로 하나밖에 없어요. 따라서 를 2 : 1로 나누는 점인 점 M과 점 N은 같은 점이죠.

와 가 한 점 M에서 만나고, 와 가 한 점 N에서 만나는 데 이 두 점 M과 N이 서로 같은 점이므로 삼각형 △ABC의 세 중선 , , 는 한 점에서 만나요.

그리고 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심 G라고 하는데, 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선에 더 자세히 소개되어 있습니다.

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

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정리해볼까요

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

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삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선