수열의 활용 - 원리합계, 단리와 복리 2
원리합계, 단리와 복리 두 번째예요. 상용로그에서 했던 것까지 따지면 세 번째죠. 여기서는 복리에 대해서 알아볼 거예요. 복리의 정의와 복리를 구하는 방법은 앞서 공부했던 내용과 같아요.
단리에 관련된 문제는 잘 나오지 않아요. 복리에 대한 문제가 많이 나오는데 이게 한 번에 하려면 너무 어려울 수 있어서 기본적인 건 단리에서 다루었어요. 단리와 복리의 차이만 있을 뿐 그 외에는 아무런 차이가 없거든요. 그러니까 복리에 대해서 제대로 이해하려면 앞서 단리에서 했던 내용을 완전히 이해하고 있어야 합니다.
등비수열의 활용
수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 공부했던 단리에서 원금을 처음에 한 번만 넣는 경우와 매년 넣는 경우를 살펴봤죠? 원금을 매년 넣는 것도 매년 초에 넣는 것과 매년 말에 넣는 걸 공부했어요. 여기서도 똑같습니다. 처음 한 번만 넣는 경우, 매년 초에 넣는 경우, 매년 말에 넣는 경우의 세 가지를 알아보죠.
먼저 원금을 처음 한 번만 넣는 경우를 보죠. 이건 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용이에요.
100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣는다고 해보죠. 5% = 0.05네요.
1년 후: 100만원 + 100만원 × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)
2년 후: 100만원(1 + 0.05) + 100만원(1 + 0.05) × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)2
3년 후: 100만원(1 + 0.05)2 + 100만원(1 + 0.05)2 × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)2(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)3
10년 후: 100만원(1 + 0.05)10
결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)10이에요.
원리합계 - 매년 초에 입금할 때
이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년 동안 복리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.
한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년 동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05)10이에요.
두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)9죠.
세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)8이죠.
이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05)1이 돼요.
총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)10, 100만 원(1 + 0.05)9, 100만 원(1 + 0.05)8, …, 100만 원(1 + 0.05)2, 100만 원(1 + 0.05)
이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05), 100만 원(1 + 0.05)2, …, 100만 원(1 + 0.05)8, 100만 원(1 + 0.05)9, 100만 원(1 + 0.05)10
어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05)10, 공비가 (1 + 0.05)인 등비수열이에요.
수열의 일반항으로 표현해보죠. an = 100만 원(1 + 0.05)n
10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등비수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫째항이 a, 마지막 항이 l, 등비가 r인 등비수열의 합은 
원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
an = a(1 + r)n
원리합계는 등비수열의 합(Sn)을 이용하여 구함
원리합계 - 매년 말에 입금할 때
수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 했듯이 매년 1월 1일에 넣으면 넣는 햇수만큼 이자를 모두 받을 수 있지만, 연말에 넣으면 마지막 해의 이자를 받을 수 없어요. 총 기간에서 마지막 1년을 뺀 기간만 이자를 받는 거죠.
이번에는 매년 말인 12월 31에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년간 복리로 넣는다고 해볼까요?
여기서도 해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.
첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년 치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)9
두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년 치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)8
마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05)0 = 100만 원
순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)9, 100만 원(1 + 0.05)8, …, 100만 원(1 + 0.05)2, 100만 원(1 + 0.05), 100만 원
거꾸로 써보죠.
100만 원, 100만 원(1 + 0.05)1, 100만 원(1 + 0.05)2, …, 100만 원(1 + 0.05)8, 100만 원(1 + 0.05)9
첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05)9인 등비수열이에요. 공비는 (1 + 0.05)이죠.
수열의 일반항으로 표현하면 an = 100만 원(1 + 0.05)n - 1이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등비수열의 합 공식
원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
매년 초에 입금하면 an = a(1 + r)n
매년 말에 입금하면 an = a(1 + r)n - 1
원리합계는 등비수열의 합(Sn)을 이용하여 구함
단리면 등차수열, 복리면 등비수열이에요. 매년 초에 입금할 때와 매년 말에 입금할 때의 일반항은 모양은 같은데, 지수가 하나는 n, 다른 하나는 n - 1이고요. 이 두 가지만 기억하면 돼요.
매년 초에 50만 원씩 연이율 3%로 5년간 복리로 예금할 때, 5년 뒤에 받는 원리합계를 구하여라. (1.035 ≒ 1.1592)
매년 초에 입금하네요. 해마다 넣는 돈이 5년 뒤에 얼마가 되는지 차례대로 써보죠. 첫해에 입금하는 돈은 5년간 이자를 받을 수 있어요.
첫해에 넣는 돈: 5 × 105(1 + 0.03)5
두 번째 해에 넣는 돈: 5 × 105(1 + 0.03)4
세 번째 해에 넣는 돈: 5 × 105(1 + 0.03)3
네 번째 해에 넣는 돈: 5 × 105(1 + 0.03)2
다섯 번째 해에 넣는 돈: 5 × 105(1 + 0.03)1
5 × 105(1 + 0.03)5, 5 × 105(1 + 0.03)4, 5 × 105(1 + 0.03)3, 5 × 105(1 + 0.03)2, 5 × 105(1 + 0.03)1
이 수열의 순서를 바꿔보죠.
5 × 105(1 + 0.03)1, 5 × 105(1 + 0.03)2, 5 × 105(1 + 0.03)3, 5 × 105(1 + 0.03)4, 5 × 105(1 + 0.03)5
첫째항이 5 × 105(1 + 0.03)1이고 마지막 항이 5 × 105(1 + 0.03)5, 공비가 (1 + 0.03)인 등비수열이에요.
원리합계가 이 등비수열의 합과 같으므로 등비수열의 합 공식을 이용해서 구해보죠.
5년 뒤의 원리합계는 약 2,732,933원입니다.
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