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이제는 삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요

평행사변형의 넓이는 (밑변) × (높이)에요. 여기서는 밑변의 길이와 높이를 알져주지 않고 다른 조건들을 알려준 평행사변형의 넓이를 구하는 걸 해볼 거예요. 물론 삼각비를 이용해서요.

삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구할 때는 평행사변형의 성질을 이용합니다. 따라서 2학년 때 공부했던 평행사변형의 성질, 평행사변형과 넓이에 대해서 미리 읽어보세요.

사각형의 넓이는 삼각형의 넓이 공식 유도 방법과 비슷하니까 하나만 잘 해놓으면 두 개를 다 이해할 수 있어요.

평행사변형의 넓이

평행사변형의 넓이를 구할 때는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줍니다. 삼각형의 넓이를 구할 때도 이 두 가지를 알려줬었죠?

높이를 구하여 평행사변형의 넓이 구하기

삼각형의 넓이를 구할 때 크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지로 수선을 내려요. 점 A에서 변 BC에 수선을 내렸다고 해볼게요.

평행사변형 ABCD의 높이는 △ABH의 높이 즉, 와 같아요. 는△ABH에서 삼각비를 이용해서 구할 수 있죠.

평행사변형의 높이를 알아냈으니 넓이를 구할 수 있겠죠?

그런데 ∠B가 아니라 ∠A를 가르쳐줬다면 어떻게 할까요? ∠A는 둔각이에요. 둔각의 삼각비는 모르니까 예각으로 바꿔야겠죠? 2학년 때 공부한 건데, 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 합은 180°라는 성질을 이용해요. 이 성질을 이용하면 ∠B = 180° - ∠A가 되니까 예각인 ∠B를 알 수 있어요.

평행사변형의 대변은 길이가 같으니까 중 두 변의 길이를 고르고, 예각인 B를 끼인각으로 하면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있어요.

두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이

삼각형의 넓이를 이용하여 평행사변형의 넓이 구하기 

높이를 구하지 않고 다른 방법으로 평행사변형의 넓이를 구해볼까요?

평행사변형에 대각선을 그어보세요. 삼각형 두 개로 나누어져요. 평행사변형과 넓이에서 대각선으로 나누어진 두 삼각형은 넓이가 같다는 걸 공부했어요. 그러니까 삼각형의 넓이를 구해서 두 배 해주면 되겠죠?

삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 x°인 삼각형의 넓이는 라고 했지요? x°가 둔각일 때는 였고요.

똑같은 삼각형이 두 개 있으니까 두 배 해주면 돼요.

두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이

결국, 어떤 방법을 이용하던 결과는 같아요. 평행사변형의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식에 2를 곱해주면 됩니다.

다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, ∠A = 120°일 때 평행사변형 ABCD의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 둔각이에요. 둔각일 때는 180°에서 빼서 예각을 만들어서 사용하면 돼요.

사각형의 넓이

이번에는 평행사변형이 아니라 그냥 막 생긴 사각형의 넓이에요. 여기서는 어떤 조건을 알려 주냐면 두 대각선의 길이와 대각선의 교각의 크기를 알려줘요.

이 사각형의 넓이를 구할 때는 그냥 구할 수 없어요. 우리가 알고 있는 사각형으로 변신을 시켜야 해요. 어떤 사각형이냐면 바로 위에서 했던 평행사변형으로 변신시키는 거죠.

위 사각형에서 대각선 와 평행하고 점 A를 지나는 평행선을 그어요. 또, 와 평행하고 점 C를 지나는 평행선도 긋고요. 이번에는 와 평행하고, 점 B를 지나는 평행선과 점 D를 지나는 평행선을 그어요.

총 네 개의 평행선을 긋는데, 이 평행선들이 만나서 사각형이 생기죠? 이 사각형을 □EFGH라고 할게요. 이 □EFGH은 와 에 평행한 선들로 이루어졌죠? 따라서 에요. 평행사변형이라는 얘기죠.

□AEFC는 평행사변형 →
□HEBD도 평행사변형 →
그 속의 작은 사각형들도 모두 평행사변형 → ∠AEB = x°

작은 평행사변형 네 개가 생기는데, 모두 대각선으로 나누어져 있죠? 각각의 작은 평행사변형을 둘로 나눈 삼각형 네 개를 붙여놓은 게 처음에 넓이를 구하려고 했던 □ABCD에요. 작은 삼각형은 작은 평행사변형의 넓이의 절반이므로(평행사변형과 넓이) □ABCD의 넓이는 □EFGH의 넓이의 절반인 걸 알 수 있어요.

□EFGH는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으니까 공식으로 구할 수 있고, 이걸 2로 나눈 게 □ABCD의 넓이에요. 

여기서도 마찬가지로 두 대각선의 교각이 둔각이면 180° - x°를 해서 예각을 만들어야 해요. 

두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이

다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, x° = 60°일 때 □ABCD의 넓이를 구하여라.

두 대각선의 길이와 교각의 크기를 알려줬어요. 이 교각이 예각이죠. 따라서 공식에 대입해보면

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사각형 시리즈(?) 마지막입니다.

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그려지는 사각형이 어떤 사각형인지 알아볼 거예요. 중점이 뭔지는 다 알고 있죠? 중점은 두 점 사이의 거리를 이등분하는 점이에요.

이 글에서 다룰 내용은 각 사각형의 기본적인 정의만 잘 알고 있어도 쉽게 이해할 수 있어요. 일반적인 사각형과 사다리꼴의 중점을 연결한 사각형은 이 글에서 다루지 않고, 나중에 다른 단원에서 추가하도록 할게요.

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형

평행사변형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 평행사변형

먼저 평행사변형의 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형부터 알아보죠.

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 잡아서 연결한 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 같아요. 그래서 변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 대변에서는 같아요.

평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 같죠? ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

△AEF와 △CGH는 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이에요. 또 △BFG와 △DHE도 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이죠

결국 □EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 같으니까 평행사변형이에요.

직사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 마름모

이번에는 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

직사각형도 평행사변형의 한 종류이므로 각 대변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리는 같아요.

그리고 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°죠. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

△AEF와 △CGH, △BGF, △DEH 네 개의 삼각형은 모두 SAS합동이에요. 따라서  = 이므로 네 변의 길이가 모두 같죠.

결국 □EFGH는 네 변의 길이가 같은 마름모입니다.

마름모의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 직사각형

마름모 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형 □EFGH입니다.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요.

마름모도 평행사변형의 한 종류로 두 쌍의 대각의 크기가 같으므로 ∠A = ∠C, ∠B = ∠D예요.

SAS 합동에 의해서 △AEF와 △CGH가 합동이고, △BFG와 △DHE가 합동이에요. , 죠. □EFGH는 일단 평행사변형이네요.

그런데 이 네 삼각형은 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 같아요.

∠AFE = ∠AEF
∠BGF = ∠BFG
∠CGH = ∠CHG
∠DEH = ∠DHE

삼각형이 합동이므로 크기가 같은 각끼리 모으면
∠AFE = ∠AEF = ∠CGH = ∠CHG
∠BGF = ∠BFG = ∠DEH = ∠DHE죠.

평각인 ∠AFB와 ∠BGC의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AFB = 180° = ∠AFE + ∠BFG + ∠EFG
∠BGC = 180° = ∠BGF + ∠CGH + ∠FGH

연립방정식의 가감법처럼 두 식을 변변 빼보면
0° = (∠AFE - ∠CGH) + (∠BFG - ∠BGF) + (∠EFG - ∠FGH)
0° = ∠EFG - ∠FGH    (∵ ∠AEF = ∠CGH, ∠BFG = ∠BGF)
∠EFG = ∠FGH

□EFGH의 이웃한 두 각의 크기가 같다는 걸 알 수 있어요.

결국 □EFGH는 이웃한 두 각의 크기가 같은 평행사변형으로 직사각형이라는 걸 알 수 있지요.

그림으로 설명하면 쉬운데 말로 설명하려니 정말 어렵네요. 아래는 다른 설명이니까 위의 내용이 이해하기 어려우면 아래 내용을 보세요.

점 E와 점 G를 연결해서 를 그려보세요. □ABGE가 생기죠? 이므로 □ABGE는 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

이번에는 점 F와 점 H를 연결해서 를 그리세요. □AFHD가 생기는데, 이므로 □AFHD 역시 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

□ABCD는 마름모이므로 네 변의 길이가 같아요.  = 죠. 결국  = 예요. □EFGH에서 두 대각선의 길이가 같아요.

□EFGH은 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이므로 직사각형이에요.

정사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 정사각형

정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 □EFGH를 그려보죠.

정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요. 

정사각형이라서 □ABCD의 네 내각의 크기도 같지요. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

위 조건에 따라 네 삼각형 △AEF, △BFG, △CGH, △DHE는 SAS 합동이므로 □EFGH의 네 변의 길이는 모두 같아요. 일단 마름모에요.

그리고 네 개의 삼각형은 직각이등변삼각형이니까 한 내각의 크기는 90°고, 다른 두 내각의 크기는 45°죠. (이등변삼각형의 성질)

평각인 ∠AED의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AED = 180° = ∠AEF + ∠DEH + ∠FEH
∠FEH = 90°     (∵ ∠AEF = ∠DEH = 45°)

□EFGH는 네 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90°이므로 정사각형입니다.

등변사다리꼴의 중점을 연결하여 만든 사각형 - 마름모

사다리꼴의 중점 연결 정리에서 자세히 다루니까 이쪽으로 오세요. ㅎㅎ

사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형
평행사변형 → 평행사변형
직사각형 → 마름모
마름모 → 직사각형
정사각형 → 정사각형
평행사변형, 정사각형은 그대로, 직사각형, 마름모는 서로 반대로
등변사다리꼴 → 마름모

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 그린 사각형을 □EFGH라고 할 때, □EFGH의 성질이 아닌 것을 모두 고르시오.
(1) 두 쌍의 대변의 길이가 같다.
(2) 두 쌍의 대각의 크기가 같다.
(3) 두 대각선이 서로 이등분한다.
(4) 두 대각선은 서로 수직이다.
(5) 네 내각의 크기가 모두 같다.
(6) 네 변의 길이가 모두 같다.

평행사변형의 중점을 연결해서 그린 사각형은 평행사변형이에요. 따라서 보기 중에 평행사변형의 성질이 아닌 것을 고르면 되겠지요.

(1), (2), (3)은 평행사변형의 성질이 맞아요.

(4) 번은 마름모, 정사각형의 성질이고, (5) 번은 직사각형, 정사각형의 성질이죠. (6) 번은 마름모, 정사각형의 성질이네요. 따라서 답은 (4), (5), (6)이 되겠습니다.

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지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

1. 사각형 → 사다리꼴
   • 한 쌍의 대변이 평행
2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
   • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
3. 사다리꼴 → 평행사변형
   • 다른 한 쌍의 대변이 평행
   • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
   • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
   • 한 내각의 크기 = 90°
   • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
   • 두 대각선의 길이가 같다.
5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
   • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
   • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

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사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.

이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.

여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.

아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.

여러 사각형의 정의와 성질, 조건

사각형의 정의와 성질, 조건

사각형	[정의]와 성질	조건
평행사변형	[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형] 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180° 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.	두 쌍의 대변이 평행한 사각형 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하는 사각형 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같은 사각형
	평행사변형의 성질	평행사변형이 되는 조건
직사각형	[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형] (평행사변형의 성질) 두 대각선의 길이가 같다.	한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형
	직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모	[네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) 두 대각선이 서로를 수직이등분	이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형
	마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형	[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) (직사각형의 성질) (마름모의 성질)	이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형 두 대각선이 서로 직교하는 직사각형 한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 마름모 두 대각선의 길이가 같은 마름모
	정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
등변사다리꼴	[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형] 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. 대각선의 길이가 같다.
	등변사다리꼴의 정의와 성질

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평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
평행사변형이 되는 조건
직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

이 글에서 내울 내용은 정사각형의 정의와 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건이에요.

사실 정사각형은 이미 1학년 때 공부한 적이 있어요. 내각과 외각을 배우는 과정에서 정다각형이라는 걸 배웠거든요. 정사각형은 정다각형의 한 종류에요.

정사각형은 새로운 내용을 배우진 않습니다. 앞에서 배웠던 사각형들 평행사변형, 직사각형, 마름모의 정의와 성질, 조건을 잘 기억하고 있으면 돼요. 새로운 내용을 공부한다기보다는 "앞에서 배웠던 사각형의 성질을 복습하는 구나" 정도로 생각하시면 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

정사각형의 정의

1학년 때 다각형, 정다각형 단원에서 정다각형의 정의를 배웠는데, 기억하고 있죠? 정다각형은 내각의 크기가 모두 같고, 변의 길이도 모두 같은 도형이라고 배웠어요.

정사각형은 각과 변이 4개씩 있으니까 네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 같은 사각형을 말하는 거죠.

네 각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형이에요. 또 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모지요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 만족시키는 사각형이네요. 집합으로 표시하면 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}가 돼요.

정사각형의 성질

정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모이기도 해요. 직사각형과 마름모는 평행사변형의 한 종류고요. 따라서 정사각형은 직사각형의 성질과 마름모의 성질, 평행사변형의 성질을 모두 가져요.

평행사변형의 성질, 직사각형의 성질, 마름모의 성질을 정리해보죠.

• 두 쌍의 대변의 길이가 같다. (평행사변형의 성질)
• 두 쌍의 대각의 크기가 같다. (평행사변형의 성질)
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다. (평행사변형의 성질)
• 두 대각선의 길이가 같다. (직사각형의 성질)
• 두 대각선은 서로 다른 대각선을 수직이등분한다. (마름모의 성질)

위에 나오는 성질 전부가 정사각형의 성질이에요. 이미 앞 글에서 다 증명을 했으니까 이 글에서는 증명을 생략하도록 할게요.

정사각형이 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건

정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 직사각형이 정사각형이 되려면 추가로 마름모의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 직사각형은 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 직사각형이 정사각형이 되려면 평행사변형이 마름모가 되는 것과 같은 조건이 필요해요.

(직사각형이 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 마름모가 되는 조건)
이웃하는 두 변의 길이가 같다.
두 대각선이 서로 직교한다.

마름모가 정사각형이 되는 조건

마찬가지에요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 마름모가 정사각형이 되려면 추가로 직사각형의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 마름모도 역시 평행사변형의 한 종류라서 마름모가 정사각형이 되려면 평행사변형이 직사각형이 되는 것과 같은 조건이 필요해요.

(마름모가 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 직사각형이 되는 조건)
한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같다.
두 대각선의 길이가 같다.

□ABCD가 정사각형일 때, 아래 물음에 답하여라.
(1) ∠BOC의 크기를 구하여라.
(2) △OBC는 어떤 삼각형인가?

(1) □ABCD가 정사각형이므로 마름모의 성질을 가지고 있어요. 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하지요. 따라서 ∠BOC = 90°에요.

(2) □ABCD가 정사각형이므로 직사각형의 성질을 가지고 있어요. 직사각형의 성질에 따르면 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 성질에 따르면 대각선은 서로를 이등분하지요. 에요. 따라서 △OBC는 두 변의 길이가 같고, 그 끼인각이 직각인 직각이등변삼각형입니다.

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이번에는 마름모입니다. 마름모는 다 알잖아요. 다이아몬드처럼 생긴 거. 보통 그렇게 그리잖아요. 직사각형과 마찬가지로 마름모의 정의와 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건을 알아보죠. 또 각 내용을 증명해보고요.

평행사변형, 직사각형, 마름모가 나오면서 각 사각형의 정의와 성질, 조건이 헷갈릴 수 있어요. 주의해서 보세요. 앞으로도 더 많은 사각형이 나오니까 벌써 헷갈리기 시작하면 안 돼요.

마름모의 정의

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형으로 정의해요.

네 변의 길이가 모두 같으니까 마주 보는 대변의 길이도 같겠죠? 평행사변형이 되는 조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같으면 평행사변형이라고 했어요. 그러니까 마름모도 평행사변형이에요

직사각형도 평행사변형의 한 종류였죠? 마름모도 평행사변형의 한 종류에요. 하지만 직사각형과 마름모 사이에는 아무런 관계가 없으니까 주의하세요.

마름모의 성질

마름모는 평행사변형의 한 종류라서 평행사변형의 성질을 모두 가져요. 여기에 하나가 추가됩니다.

평행사변형의 성질은 세 가지가 있었어요.

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

마름모는 두 대각선이 서로 수직이등분해요. 평행사변형에서는 대각선이 서로 이등분만 했는데, 마름모는 여기에 수직으로 이등분합니다.

두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

마름모의 대각선이 서로 수직이등분하는 것을 증명해보죠. 마름모는 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 대각선은 서로 이등분하죠. 이등분하는 건 알고 있으니까 여기서는 두 대각선이 서로 수직인지만 증명하면 돼요.

마름모에 대각선을 그었어요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠.

△OAB와 △OAD를 보세요.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으니까  = ……… (1)

마름모는 평행사변형이므로 대각선은 다른 대각선을 이등분해요.  = ……… (2)

는 공통이죠. ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응각인 ∠AOB = ∠AOD가 되는데, 두 각의 합은 평각인 180°에요. 크기가 같은 두 각의 합이 180°니까 ∠AOB = ∠AOD = 90°가 됩니다.

따라서 입니다.      (증명 끝.)

마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형. 평행사변형의 한 종류
마름모의 성질: (평행사변형의 성질) + 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

평행사변형이 마름모가 되는 조건

이웃하는 두 변의 길이가 같다.

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같아요. 그런데 바로 이웃한 변의 길이가 같으면 결국 네 변의 길이가 같아지는 거예요. 네 변의 길이가 같은 사각형을 마름모라고 정의했으니까 이 경우에 평행사변형이 마름모가 되는 거죠.

두 대각선이 서로 직교한다.

마름모의 성질 중에 두 대각선을 서로 다른 것을 수직이등분한다고 했죠? 증명할 때는 두 대각선이 직교하는 것만 증명했어요. 이걸 거꾸로 하면 바로 마름모가 되는 조건이 되는 겁니다.

평행사변형의 두 대각선이 직교하면 마름모가 되는지 증명해볼까요? △OAB와 △OAD를 보세요.

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하니까  = 에요. ……… (1)

두 대각선이 직교한다고 했으니 ∠AOB = ∠AOD = 90° ……… (2)

는 공통 ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응변인  = 죠. 평행사변형의 두 쌍의 대변은 길이가 같으므로 인데,  = 라고 했으니까 결국 네 변의 길이가 모두 같아요.

따라서 평행사변형의 두 대각선이 직교하면 이 평행사변형은 마름모가 됩니다.     (증명 끝.)

평행사변형이 마름모가 되는 조건
1. 이웃하는 두 변의 길이가 같다.
2. 두 대각선이 서로 직교한다.

□ABCD가 평행사변형이고, 각의 크기가 그림과 같을 때 ∠ACD의 크기를 구하여라.

조금 어려운 문제일 수 있어요.

□ABCD가 평행사변형이므로 ∠CAD = ∠ACB = 50°가 돼요. (엇각)
그러면 △OBC에서 두 내각의 크기가 40°, 50°이므로 ∠BOC = 90°가 되지요.

두 대각선의 교각이 90°니까 두 대각선은 서로 수직이등분합니다. 즉 이 평행사변형은 그냥 평행사변형이 아니라 마름모인 거죠.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 △BCD는 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질에서 두 밑각은 크기가 같다고 했잖아요. 따라서 ∠DBC = ∠BDC = 40°가 됩니다. ∠BCD = 180° - 80° = 100°인데, ∠ACB = 50°이므로 ∠ACD = 50°가 됩니다.

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평행사변형에 이어 사각형 두 번째입니다. 바로 직사각형이에요. 직사각형이 어떤 건지는 모두 알고 있을 거예요. 직각으로 이루어진 사각형이죠.

이 글에서는 직사각형의 성질과 어떤 조건을 만족해야 직사각형이 되는지 알아볼 거예요.

직사각형의 성질과 조건은 평행사변형의 성질과 조건의 연장선에 있어요. 둘의 내용이 많이 다르지 않으니까 이해하기도 쉽지만, 헷갈리지 않게 잘 보세요.

직사각형의 정의

직사각형은 네 개의 내각의 크기가 모두 같은 사각형으로 정의합니다. 다각형 내각의 크기의 합에서 사각형 내각의 크기의 합은 360°이기 때문에 한 내각의 크기는 360° ÷ 4 = 90°가 되겠죠.

네 내각의 크기가 90°로 모두 같으니까 마주보는 두 쌍의 대각의 크기가 서로 같아요. 따라서 직사각형은 평행사변형의 한 종류라고 할 수 있어요.

직사각형을 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형이라고 정의하기도 합니다. 한 내각의 크기가 90°이면 평행사변형의 성질 중 대각의 크기가 서로 같다는 성질에 의해서 마주 보는 각의 크기도 90°가 돼요. 나머지 두 각의 크기의 합이 180°가 되어야 하는데, 이 두 각의 크기도 같으니까 각각 90°가 되어서 결국 네 각의 크기가 모두 90°로 같아지는 거죠.

직사각형의 성질

직사각형은 평행사변형의 한 종류이기 때문에 평행사변형의 성질을 모두 갖고 있어요. 여기에 하나가 더 추가됩니다.

먼저 평행사변형의 성질을 정리해볼까요?

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 상의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

위 세 가지 성질에 추가되는 게 두 "대각선의 길이가 같다."입니다.

대각선의 길이가 같다

직사각형에 대각선을 두 개 그었어요. △ABC와 △DCB를 보세요.

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (1)

또 직사각형은 내각의 크기가 모두 90°니까 ∠ABC = ∠DCB = 90°죠. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

대응변이라서 가 되는 거죠.     (증명 끝.)

직사각형: 내각의 크기가 모두 같은 사각형 or 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형
직사각형의 성질: (평행사변형의 성질) + 대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 직사각형이 되는 조건

한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.

평행사변형의 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형은 두 대각의 크기가 같아요. 직사각형의 정의에서 설명한 것처럼 한 내각의 크기가 90°가 되면 마주 보는 각도 90°가 되고, 나머지 두 각도 90°가 되기 때문에 모든 내각의 크기가 90°가 돼요.

평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기가 같으면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 크기는 180°라는 걸 알고 있어요. 두 각의 크기가 같은데 더했더니 180°가 되려면 한 내각의 크기가 90°라는 말이 되죠? 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 되는 건 바로 윗줄에서 설명했어요.

대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 되는 조건에서도 평행사변형의 성질을 거꾸로 해서 평행사변형이 되는 조건이 되는 걸 봤어요. 여기서도 마찬가지로 직사각형의 성질을 거꾸로 하면 직사각형이 되는 조건이 되는 거예요.

직사각형의 성질 중에 두 대각선의 길이가 같다는 성질이 있었어요. 이 성질을 거꾸로 해서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 되는 거죠.

△ABC와 △DCB를 보세요.

두 대각선의 길이가 같으니까 에요.…… (1)

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

합동이니까 대응각의 크기가 같겠죠? ∠B = ∠C가 됩니다. 그런데 ∠B와 ∠C는 이웃하는 두 내각이에요. 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°인데, 크기가 같으니까 ∠B = ∠C = 90°가 되죠. 대각의 크기도 서로 같으므로 평행사변형의 내각이 모두 90°가 되요.

따라서 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 돼요.     (증명 끝.)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건
1. 한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.
2. 대각선의 길이가 같다.

아래 그림에서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것을 고르시오.

(1)           (2) ∠C = 90°          (3)
(4) ∠B = ∠C        (5)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건들을 쭉 나열해보죠.

첫 번째는 한 내각의 크기가 90°일 때에요. (2)가 여기에 해당하네요.
두 번째는 이웃한 두 내각의 크기가 같을 때에요. (4)가 해당하고요.
세 번째는 두 대각선의 길이가 같아야 해요. (1)이 해당하네요.

남은 건 (3)번과 (5)번인데요. 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분해요. 따라서 라는 말은 라는 얘기죠. 즉 가 된다는 것과 같은 말이에요. (5) 번도 맞는 얘기입니다.

(3) 번은 그냥 평행사변형의 조건 중 하나일 뿐이에요. 따라서 조건이 아닌 것은 (3)번이네요.

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평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.

평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.

여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.

삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.

평행사변형과 넓이

대각선을 하나만 그었을 때

평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.

평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니,  = 입니다. △ABC에서 밑변은 , 높이는 점 A에서 까지의 거리죠. △CDA에서 밑변은 , 높이는 점 C에서 까지의 거리에요.

두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S₁ = S₂. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이죠.

대각선을 두 개 그었을 때

이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서  = ,  = 입니다.

△OAB와 △OCD를 볼까요?  = ,  = 이고, 맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD에요. 두 삼각형은 SAS합동이죠. 합동이니까 넓이가 같아요. S₁ = S₃

△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S₂ = S₄

△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고( = ), 높이도 점 A에서 까지의 거리로 같아요. 따라서 넓이도 같죠. S₁ = S₄

결국 S₁ = S₂ = S₃= S₄가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이 되겠죠?

평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm²일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.

평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의 입니다.

△OAB =  × 60

△OAB = 15(cm²)

임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때

이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?

, 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그어보죠. 또 , 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그려보죠.

두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.

그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S₁ + S₃  = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S₂ + S₄ = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S₁ + S₃ = S₂ + S₄가 성립하죠.

평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.

여기는 S₁, S₂, S₃, S₄의 넓이가 같지 않아요. 이 점에 주의하세요.

평행사변형 □ABCD의 내부에 임의의 점 P를 잡고, 꼭짓점에 선을 그었더니 네 개의 사각형이 생겼다. 평행사변형 □ABCD의 넓이가 100cm²이고, △PAB의 넓이가 30cm²일 때, △PCD의 넓이를 구하여라.

위 그림에서 △PAB + △PCD = □ABCD이므로

30 + △PCD =  × 100

△PCD = 20(cm²)

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평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형이 어떤 특징을 가지고 있는지 알아봤어요. 대변과 대각, 대각선에 관한 내용이었지요.

이 글에서는 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지 알아볼 거예요. 그리고 왜 그렇게 되는지 증명도 해볼거고요.

평행사변형이 되는 조건은 총 다섯 가지인데, 그중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 내용이에요. 평행사변형의 성질과 조건이 깊은 관계가 있으니까 잘 비교해보세요.

새로운 내용은 하나밖에 없으니까 그것만 주의 깊게 보면 되겠네요.

평행사변형이 되는 조건

평행사변형이 되는 조건 중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 거라고 했으니까, 평행사변형의 성질을 다시 정리해보죠.

• 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이라고 정의
• 평행사변형에서 두 쌍의 대변은 길이가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 쌍의 대각은 크기가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

평행사변형이 되는 조건은 바로 위 성질을 거꾸로 하면 돼요. 위 성질의 역이 바로 조건이 되는 거죠.

변의 길이가 같거나 각의 크기가 같은 건 합동을 이용해서 증명했어요. 평행사변형이 되는 걸 증명하려면 네 변이 각각 평행하다는 것을 증명해야 하잖아요? 이때는 어떤 성질을 이용해야 할까요? 평행하다는 것을 증명하려면 평행선에서 동위각과 엇각에서 배웠던 것처럼 동위각과 엇각의 크기가 같다는 것을 보여주면 돼요.

두 쌍의 대변이 평행하다.

평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형은 두 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이라고 정의했어요. 이 정의에 따라서 두 쌍의 대변이 평행한 사각형은 평행사변형이 되는 거예요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어보세요. ∠BAC와 ∠DCA가 엇각의 위치에 있어요.

조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같다고 했으니까  = , = 에요. 거기에 는 공통이죠. 세 변의 길이가 같으니까 SSS합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠BAC와 ∠DCA의 크기는 같은 거죠. 즉, 엇각인 ∠BAC와 ∠DCA가 크기가 같으므로 와 는 평행이에요.

∠BCA와 ∠DAC도 같은 방법으로 증명하면 와 가 평행인 걸 알 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

두 쌍의 대각의 크기가 같다고 했으니까 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2(∠A + ∠B) = 360°가 돼요. 즉 ∠A + ∠B = 180°죠. 다시 말해 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180°라는 새로운(?) 성질을 알 수 있어요.

□ABCD에서 의 연장선을 긋고, 그 위에 임의의 점 E를 잡아요.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있어요. 그런데 이웃하는 두 각의 합에 따라 ∠BAD + ∠B = 180°이고, 평각인 ∠EAB = ∠BAD + ∠EAD = 180°에요. ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠EAD에서 ∠EAD = ∠B임을 알 수 있죠.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있으면서 크기가 같으니까 와 는 서로 평행이에요.

의 연장선 위에 임의의 점 F를 잡아서 위와 같은 방법을 이용하면 와 도 평행인 걸 증명할 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

두 대각선의 교점을 점 O라고 할게요. △OAB와 △OCD를 보세요. 대각선이 서로를 이등분한다고 했으니  = ,  = 에요.

맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD죠. (맞꼭지각, 동위각, 엇각)

그러면 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OCD

대응변인  = 가 되죠.

△OAD와 △OCB에서도 같은 방법을 이용하면  = 임을 알 수 있어요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

이건 평행사변형의 성질과 직접적인 관련은 없는 거예요. 일단, 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다고 했으니  = ,  //  라고 해보죠.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어요.

△ABC와 △CDA에서  // 이고 엇각이므로 ∠ACB와 ∠CAD는 크기가 같아요.

 = 이고 는 공통이므로 SAS 합동이죠. △ABC ≡ △CDA

대응변인  = 가 됩니다.

따라서 두 쌍의 대변의 길이가 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

평행사변형이 되는 조건
두 쌍의 대변이 평행하다. - 평행사변형의 정의
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

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여러 가지 사각형 사이의 관계

삼각형의 성질에 이어 사각형의 성질입니다.

그 첫 번째로 평행사변형의 성질인데요. 평행사변형이 어떻게 생겼는지는 알고 있을 거예요.

이 글에서는 평행사변형을 어떻게 정의하는지 그리고 평행사변형은 어떤 성질을 가졌는지 알아보고, 그 성질들을 증명해볼 거예요. 증명은 어렵지 않아요. 모든 성질이 하나의 증명방법으로 증명되거든요.

여러 사각형이 나오고 사각형 별로 비슷하면서도 다른 성질을 가지고 있으니 잘 구별할 줄 알아야 합니다.

평행사변형이란?

평행사변형이라는 이름을 잘 들여다보세요. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않은 걸 말하죠? 사변은 네 개의 변을 말해요. 즉 네 개의 변이 있는데 이게 평행하다는 거예요. 네 개가 다 평행한 게 아니고 이 중 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 말하는 거죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각에서 대변과 대각의 정의에 대해서 공부했었어요. 대변은 마주 보는 변이고, 대각은 마주 보는 각이죠.

평행사변형의 성질

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그으면 △ABC와 △CDA가 생기죠?

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠B = ∠D이 되죠.
또 ∠A = ∠BAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠BCA = ∠C가 됩니다.

따라서 ∠B = ∠D, ∠A = ∠C입니다.       (증명 끝.)

이 성질에서 나온 다른 성질이 하나 있는데, 알아두면 좋을 겁니다.

∠B = ∠D, ∠A = ∠C이므로 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2∠A + 2∠B = 360°가 돼요.

∠A + ∠B = 180°라는 결론이 나오죠. ∠A = ∠C니까 A와 C를 바꿔도 되겠죠? 또 ∠B = ∠D니까 B와 D를 바꿔도 되고요.

결국, 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°가 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 x + y를 구하여라.

이웃한 두 각의 크기의 합은 180°에요. x° + 80° = 180°이므로 x = 100가 됩니다. 마주 보는 두 각, 즉 대각은 크기가 같으므로 2y° = 80°에서 y = 40이 되고요.

따라서 x + y = 100 + 40 = 140

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어 △ABC와 △CDA를 만듭니다.

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

다음 그림을 보고 평행사변형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라.

두 대변의 길이는 같으므로 2x + 4 = 3x + 1이에요. x = 3이네요. x = 3을 대입하면,  = = 10cm이고요. = = 14cm죠.

따라서 평행사변형 ABCD의 둘레는 2 × (14 + 10) = 48(cm)입니다.

두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

대각선을 긋고 대각선의 교점을 점 O라고 하죠.

△OAB와 △OCD를 볼게요. 위 평행사변형의 성질 증명에서 = 임을 알 수 있어요. … (1)
평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠OAB = ∠OCD (엇각) … (2)
와 가 평행하므로 ∠OBA = ∠ODC (엇각) … (3)
(1), (2), (3)에 의해서 △OAB ≡ △OCD (ASA 합동)

따라서 대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

점 O가 평행사변형 ABCD의 대각선의 교점일 때 △OAB의 둘레의 길이를 구하여라.

평행사변형에서 두 대변의 길이는 같으므로 = = 6cm

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로  =  =  × = 5cm

마찬가지로 =  =  × = 4cm

삼각형 △OAB의 둘레는 6 + 4 + 5 = 15(cm)

평행사변형의 성질
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

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