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다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수에서 다항식에서도 약수와 배수가 있다고 했어요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 공부했고요.

이 글에서는 최대공약수와 최소공배수 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보고, 이를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

최대공약수와 최소공배수의 관계는 [중등수학/중1 수학] - 최대공약수와 최소공배수의 관계에서 공부한 적이 있어요. 원리는 같은데, 중학교 때는 숫자를 이용했다면 이제는 다항식을 이용하는 거죠.

추가로 다항식의 합과 차, 곱, 최대공약수, 최소공배수 사이의 관계도 공부할 거예요.

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용

두 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최고공배수를 L이라고 하면

a, b는 서로소
최대공약수 = G
최소공배수 L = abG

A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = aG, B를 G로 나눈 몫이 b니까 B = bG 가 되겠죠?

A, B의 사칙연산을 해보죠.

• A + B = aG + bG = (a + b)G
• A - B = aG - bG = (a - b)G
• AB = aG × bG = abG² = LG
• A ÷ B = aG ÷ bG = a/b

두 다항식의 사칙연산을 해보면, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 최대공약수인 G가 들어있다는 걸 알 수 있어요. 나눗셈에는 들어있지 않네요. 특히 두 다항식을 곱한 것과 최대공약수와 최소공배수를 곱한 게 같다는 것도 알 수 있어요.

A ± B = (a ± b)G
AB = LG → 두 다항식의 곱 = (최대공약수) × (최소공배수)

이차항의 계수가 1인 두 이차식 A, B의 최대공약수가 x - 1, 최소공배수는 x³ + 4x² + x - 6일 때, 두 다항식 A, B를 구하여라.

A = aG, B = bG, G = x - 1, L = abG = x³ + 4x² + x - 6이에요. (a, b는 서로소)

L을 인수정리를 이용한 인수분해를 해보죠. L은 G를 인수로 가지니까 x - 1로 나누어떨어져요.

L = (x - 1)(x² + 5x + 6)
   = (x - 1)(x + 2)(x + 3)

L = abG로 G = x - 1이니까 x - 1을 제외한 나머지 두 인수가 ab에 해당하겠죠? 둘 중 하나를 a라고 하면 나머지 하나는 b가 될 거예요. a = (x + 2), b = (x + 3)이라고 해보죠. a, b를 바꿔도 상관은 없어요.

A = aG = (x - 1)(x + 2), B = bG = (x - 1)(x + 3)이네요.

이차항의 계수가 1인 두 이차식의 곱이 x⁴ - 9x² + 4x + 12이고, 최대공약수가 일차식일 때, 두 다항식의 합을 구하여라.

두 다항식을 A, B, 두 다항식의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 해보죠. A = aG, B = bG, A + B = (a + b)G, AB = abG² = LG예요.

AB를 인수정리를 이용한 인수분해로 인수분해 해볼까요?

AB = x⁴ - 9x² + 4x + 12
     = (x + 1)(x - 2)(x² + x - 6)
     = (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x + 3)
     = (x - 2)²(x + 1)(x + 3)

AB = abG²이므로 일차식의 제곱인 (x - 2)가 G에 해당하고, 남은 인수가 a, b겠죠. a = x + 1, b = x + 3이라고 해보죠. 물론 a, b가 바꿔도 상관없어요.

A + B = (a + b)G = (x + 1 + x + 3)(x - 2) = (2x + 4)(x - 2) = 2(x + 2)(x - 2)

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숫자에서 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있었죠?

다항식에서도 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 다항식은 인수분해를 해요. 여기서 인수가 바로 약수에 해당하는 거예요. 따라서 다항식의 약수와 배수를 구하려면 인수분해를 먼저 해야 해요.

다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수는 어떤 걸 말하는지 또 이들 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아보죠.

숫자에서 식으로 바꾼 것뿐 내용은 비슷하니까 금방 이해할 수 있을 거예요.

다항식의 약수와 배수

다항식 A가 A = BC로 인수분해 될 때, A를 B, C의 배수라고 하고, B, C는 A의 약수라고 해요.

다른 다항식 D가 B를 약수로 가지면 이 다항식 D와 A 둘 다 B를 약수로 가지므로 B를 공약수라고 합니다.

서로 다른 두 다항식이 같은 배수를 가지면 이 공통된 배수를 공배수라고 부르고요. 모든 게 숫자랑 똑같아요.

숫자에서 숫자가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 숫자가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 하죠? 다항식에서는 차수가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 차수가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요. 최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Divisor(GCM)인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple(LCM)의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.

또 두 숫자의 공약수가 1뿐일 때를 서로소라고 하죠? 두 다항식의 공약수가 1, 2, 3, … 등 상수일 때를 서로소라고 합니다. 2(x + 1), 2(x + 2)

최대공약수, 최소공배수 구하는 방법

거듭제곱 형태로 되어 있는 수에서 최대공약수 구하는 방법은 밑이 같은 것 중에서 지수가 작은 걸 선택했어요. 다항식에서도 마찬가지예요. 여기서는 소인수가 아니라 다항식이 밑이라는 차이만 있을 뿐이죠.

A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)²의 최대공약수를 구해보죠.

공통으로 들어있는 인수는 (x + 1)과 (x + 2)네요. (x + 1)은 둘 다 지수가 1이고요. A의 (x + 2)는 지수가 1, B의 (x + 2)는 지수가 2니까 더 작은 1을 선택해요. 따라서 최대공약수는 (x + 1)(x + 2)이에요.

최소공배수 구하는 방법은 일단 모든 밑을 쓰고, 밑이 겹치면 지수가 큰 걸 선택했어요. 물론 다항식에도 똑같아요.

A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)²의 최소공배수를 구해보죠.

일단 인수에 해당하는 다항식을 다 써보죠. 3(x + 1)(x + 2)(x + 3) 인데, A의 (x + 2)의 지수는 1인데, B에서 (x + 2)의 지수가 2니까 지수가 큰 2를 선택해야 해요. 따라서 두 다항식의 최소공배수는 3(x + 1)(x + 2)²(x + 3)이에요.

다음 다항식들의 최대공약수와 최소공배수를 구하여라.
(1) A = ab³c, B = a²bc, C = abcd
(2) A = x³ - 3x - 2, B = 2x² - 4x - 6

최대공약수는 공통인수 중에서 지수가 작은 것들의 곱이고, 최소공배수는 모든 인수를 다 쓰고, 공통인 경우에는 지수가 큰 걸 쓰는 거예요.

(1)번은 항이 세 개예요. 세 항 모두에 a, b, c가 들어있는데, 지수가 가장 작은 건 모두 1이에요. 따라서 최대공약수는 abc예요.

최소공배수는 일단 인수를 다 써요. 그리고 인수의 지수를 비교해야 하는데 a는 지수가 가장 큰 게 2, b는 3, c와 d는 1이네요. 최소공배수는 a²b³cd

(2)번은 인수분해가 안 돼 있죠? 인수분해를 먼저 해야 해요.

인수정리를 이용해서 인수분해를 하면

A = x³ - 3x - 2 = (x + 1)(x² - x - 2) = (x + 1)²(x - 2)
B = 2(x - 3)(x + 1)

(x + 1)이 공통인데, A는 지수가 2, B는 지수가 1이네요. 최대공약수는 (x + 1)이고 최소공배수는 2(x - 3)(x - 2)(x + 1)²

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최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 이해했나요? 대부분의 경우에 최대공약수와 최소공배수는 소인수분해를 이용하는 방법으로 구해요. 이 방법은 초등학교 때 많이 해봤던 방법이니까 자신 있죠? 그리고 새로 배운 지수를 이용하는 방법은 숫자가 거듭제곱 꼴로 나왔을 때만 사용하세요.

이번에는 최대공약수와 최소공배수를 다른 방법으로 구하는 걸 공부할 거예요. 물론 문제에 따라서는 최대공약수와 최소공배수가 아니라 자연수를 구하는 경우도 있을 수 있어요.

공식은 하나고요, 문제를 어떻게 내느냐에 따라 구하는 게 달라지는 거예요. 아주 짧은 공식이니까 걱정하지 마세요.

최대공약수와 최소공배수의 관계

최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Measure인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.

두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 하면 아래처럼 표시할 수 있죠? 여기서 a, b는 서로소이고요.

최대공약수 = G
최소공배수 L = G × a × b
A × B = L × G

A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = G × a로 쓸 수 있어요. 마찬가지로 B = G × b가 되겠죠. 최대공약수는 G고, 최소공배수는 L = G × a × b에요.

2 × 3과 3 × 2은 6으로 서로 같지요? 곱하기에서는 부호 바로 양쪽에 있는 숫자나 문자끼리 서로 자리를 바꿔도 결과가 같아요. 더 자세한 건 나중에 따로 공부할 거예요. 일단 곱하기에서는 자리를 바꿔도 값이 같다는 것만 알아두세요. B = G × b와 인데 B = b × G라고 써도 되는 거죠.

A × B = G × a × b × G로 쓸 수 있겠죠?
A × B = L × G      (앞에 있는 G × a × b = L이므로)

두 수를 곱했더니 최대공약수와 최소공배수를 곱한 것과 같아졌어요. 그러니까 최대공약수 구하는 방법과 최소공배수 구하는 방법에서 공부했던 두 가지 방법 말고도 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 또 최대공약수와 최소공배수, 한 자연수를 알 때 다른 자연수도 구할 수 있고요.

다음 물음에 답하여라.
(1) 두 자연수 A, 30의 최대공약수가 6, 최소공배수가 120일 때, A를 구하여라.
(2) 두 자연수의 곱이 256, 최소공배수가 32일 때, 두 자연수의 최대공약수를 구하여라.

먼저 (두 자연수의 곱) = (최대공약수) × (최소공배수)인 것만 기억해두세요.

(1) 두 자연수가 A, 30이면 둘의 곱은 A × 30이고, 최대공약수 × 최소공배수 = 6 × 120 = 720이에요. A × 30 = 720, 어떤 자연수 A와 30을 곱했더니 720이 되려면 어떤 자연수 A는 24가 되어야겠네요.

(2) 최대공약수를 구하라고 했으니까 □라고 해보죠. 두 자연수의 곱이 이미 나와 있네요. 256 = □ × 32에요. □에 32를 곱해서 256이 되어야 하니까 □ = 8이에요. 즉 최대공약수는 8이에요.

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최대공약수와 최소공배수를 배웠으니 이제 그 활용법에 대해서 공부해보죠.

최대공약수와 최소공배수를 활용하는 문제 유형이 정해져 있어요. 그 유형만 잘 파악하면 문제 푸는 데 어려움이 없을 거예요. 물론 문제를 읽고 유형을 파악하는 게 쉬운 건 아니지만요.

최대공약수와 최소공배수의 활용 문제는 서술형으로 나오는 경우가 많아서 문제를 잘 읽어야 해요. 문제에 몇 가지 힌트를 주는데 이 힌트를 잘 조합해보면 문제 유형을 파악할 수 있어요.

문제에서 어떤 힌트를 주는지 지 그리고 힌트들을 어떻게 조합하는지를 알아보고, 최대공약수와 최소공배수 중 어떤 걸 이용해야 하는지도 알아보죠.

최대공약수의 활용

최대공약수, 최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 활용하는 문제를 알아보는 힌트는 세 가지 경우로 나눠서 생각할 수 있어요. 첫 번째는 문제 유형이에요. 가지고 있는 물건을 여러 사람에게 나눠주거나 그 크기를 쪼개거나 개수를 나누는 경우에는 최대공약수를 이용해요.

또 최대공약수를 이용하는 문제에는 "가장 큰", "가능한 한 많이"라는 표현이 있어요. 가장 큰, 가능한 한 많이는 바로 "최대"라는 단어로 바꿀 수 있겠죠?

최대공약수는 원래의 수보다 작아요. 개수를 나누거나 크기는 쪼개는 건 원래의 것보다 작아지는 거죠? 따라서 문제에서 처음에 주어졌던 숫자보다 결과로 나오는 숫자가 더 적어지는 경우에도 최대공약수를 이용해요.

문제 유형: 똑같이 나누는 문제, 크기를 쪼개는 문제
표현: 가장 큰, 가능한 한 많은
문제에 주어진 숫자보다 더 작은 수를 구하는 경우

가로 길이가 180cm, 세로 길이가 200cm인 벽에 남는 부분이 없도록 크기가 같은 타일을 붙이려고 한다. 가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 사용하려고 할 때, 타일의 한 변의 크기를 구하여라.

문제 속에 "가능한 한 큰"이라는 표현이 있어요. 바로 최대공약수를 이용하라는 뜻이에요. 또 타일의 크기는 문제에서 주어진 벽의 가로, 세로 길이보다 작아야 하죠? 그래서 최대공약수를 이용하는 거예요.

180과 200의 최대공약수를 구해보죠.
180 = 2² × 3² × 5
200 = 2³ × 5²

최대공약수는 공통인 것 중에서 지수가 작은 걸 쓰니까, 2² × 5 = 20가 되겠네요. 한 변의 길이가 20cm인 정사각형 모양의 타일이 남는 공간이 없이 붙일 수 있는 가장 큰 타일이에요.

가로, 세로, 높이가 각각 40cm, 48cm, 24cm인 나무를 남김없이 잘라서 가능한 한 큰 정육면체 모양의 나무토막을 만들려고 한다. 크기가 같은 나무토막을 몇 개 만들 수 있는지 구하여라.

큰 나무토막을 "쪼개는" 유형이에요. 그리고 "가능한 한 큰"이라는 표현이 들어있고요. 나무토막을 자르면 당연히 문제에서 주어진 원래 크기보다 작아지겠죠? 이런 이유로 이 문제에서는 최대공약수를 이용해야 하는 거예요.

세 수의 최대공약수를 구해보죠.
40 = 2³ × 5
48 = 2⁴ × 3
24 = 2³ × 3

따라서 최대공약수는 2³이에요. 여기서 최대공약수는 나무토막의 개수가 아니라 원래 나무토막을 잘라서 만들 수 있는 가장 큰 정육면체 모양의 나무토막의 가로, 세로, 높이의 길이에요.

가로 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 40 ÷ 8 = 5(개)
세로 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 48 ÷ 8 = 6(개)
높이 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 24 ÷ 8 = 3(개)

총 만들 수 있는 나무토막의 개수는 5 × 6 × 3 = 90(개)

최소공배수의 활용

최소공배수, 최소공배수 구하는 방법

최소공배수를 활용하는 문제도 비슷한 유형이 있어요.

이번에도 세 가지 경우로 나눠서 생각해보죠. 첫 번째 문제 유형이에요. 작은 물건들 여러 개를 붙이거나 쌓는 경우예요. 혹은 기차나 톱니바퀴 같은 게 동시에 출발해서 다시 만나는 경우를 묻는 문제 유형이 있지요.

최소공배수를 이용하는 문제에는 "가장 작은", "가능한 한 작게"라는 표현이 있어요. 가장 작은, 가능한 한 작게는 바로 "최소"라는 단어로 바꿀 수 있겠죠?

최소공배수는 원래의 수보다 커요. 어떤 물건을 여러 개 붙이거나 쌓아서 만든 결과물은 원래의 것보다 크기나 길이가 커지겠죠? 따라서 문제에서 처음에 주어졌던 숫자보다 결과로 나오는 숫자가 더 커지는 경우에도 최소공배수를 이용해요.

문제 유형: 동시에 출발, 가장 작은 도형, 연결, 쌓기
표현: 가장 작은, 가능한 한 작게, 동시에
문제에 주어진 숫자보다 더 큰 수를 구하는 경우

가로 길이가 10cm, 세로 길이가 6cm인 색종이를 빈틈없이 붙여서 가능한 한 크기가 작은 정사각형을 만들려고 할 때 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.

문제에서 "가능한 한 크기가 작은" 이라는 표현이 들어있어요. 그리고 정사각형의 한 변의 길이는 문제에서 주어진 색종이의 크기보다 크겠죠? 따라서 최소공배수를 이용하는 문제에요.

10 = 2 × 5
6 = 2× 3

두 수의 최소공배수는 2 × 3 × 5 = 30이므로 정사각형의 가로, 세로 길이는 30cm네요.

A 시내버스는 버스 노선을 한 바퀴 도는 데 60분이 걸리고, B 버스는 노선을 한 바퀴 도는 데 50분이 걸린다고 한다. A, B 두 버스가 오전 10시에 C 정류장을 동시에 출발한다고 했을 때, 두 버스가 C 정류장에서 처음으로 다시 만나는 시각을 구하여라.

두 버스가 "동시에" 출발하죠. 그리고 버스가 노선을 몇 바퀴 돌든지 한 바퀴 도는 시간보다는 많겠죠? 따라서 이 문제도 최소공배수를 이용하는 문제에요.

60 = 2² × 3 × 5
50 = 2 × 5²

두 수의 최소공배수는 2² × 3 × 5² = 300

A, B 두 버스는 300분 뒤에 C 정류장에서 다시 만나요. 300분이면 5시간 뒤니까 오후 3시에 C 정류장에서 처음으로 만나게 되겠군요.

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이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.

이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.

공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.

최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

최대공약수

최대공약수의 뜻과 성질

공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.

최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.

예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.

이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.

최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.

최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1

최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.

최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기

소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.

바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.

60과 48의 최대공약수를 구해보죠.

60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.

왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 2² × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.

한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.

60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?

최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용

두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해 볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2²이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 2² × 3이에요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126      (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 3²

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²와 2³중 지수가 작은 건 2²
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 2² × 7이에요.

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