수학방

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요

$$\frac{y}{x}\quad=\quad\frac{1000}{1}\quad=\quad\frac{2000}{2}\quad=\quad\frac{3000}{3}\quad =\quad … =\quad=\quad 1000$$

$\frac{y}{x}$= 1000이니까 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

일반적으로 x, y가 정비례할 때 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요.

정비례의 그래프

y = 2x가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 그래프를 그릴 수 있어요.

y = 2x에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 끝없이 계속 이어지는 그래프예요.

앞에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요. (-3, 6), (-2, 4), (-1, 2), (0, 0), (1, -2), (2, -4), (3, -6)

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 직선을 그으면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, … 이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 직선으로 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

공식을 몰라도 열심히만 하면 풀 수 있는 수학 문제를 소개할께요.

경우의 수 문제 푸는 법에서 소개한 것과 비슷하게, 정말로 근성과 끈기만 있다면 누구든지 풀 수 있는 문제에요. 문제만 제대로 이해하고 그림만 제대로 그리고 숫자만 잘 세면 어렵지 않게(?) 풀 수 있으니까 한 번 도전해보세요.

그림의 주인공은 문제를 정말 정말 열심히 풀었는데, 아쉽게도 틀렸어요. 글자가 작아서 어디에서 잘못되었는지 확인할 수가 없네요.

근성으로 푸는 수학문제

조금 더 쉬운 방법으로 풀어보죠. 그림 속의 사각형을 보면서 둘레의 길이를 구해볼까요? 둘레의 길이니까 실선으로 표시된 부분의 길이만 구해야겠죠?

아랫부분의 정사각형이 1개 있을 때 둘레의 길이: 4
아랫부분의 정사각형이 2개 있을 때 둘레의 길이: 8
아랫부분의 정사각형이 3개 있을 때 둘레의 길이: 12

아랫부분의 정사각형의 개수가 1, 2, 3개로 늘어날 때 둘레의 길이는 4, 8, 12로 늘어나요. 정비례하는 규칙을 찾을 수 있겠죠?

(둘레의 길이) = 4 × (아랫부분의 정사각형의 개수)

x를 아랫부분의 정사각형의 개수, y를 둘레의 길이라고 놓으면 y = 4x라는 함수의 관계식으로 쓸 수 있어요.

문제에서 구하는 건 아랫부분의 정사각형의 개수가 50개일 때, 즉 x = 50일 때의 y니까 위 식에 넣어보면

사각형 둘레의 길이 = 4 × 50 = 200

200이네요.

원래 이 문제는 고등학교 수학의 등차수열 문제에요. 따라서 원래대로 수열을 이용해서 푼다면 a₁ = 4이고 공차 d = 4인 등차수열로 풀어야 해요. a_n = 4 + (n - 1) × 4 = 4n이라고 쓸 수 있지요.

a₅₀ = 4 × 50 = 200

어찌 됐든 답은 200이네요.

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함수의 활용은 일차방정식의 활용과 비슷해요. 문제가 비슷한 게 아니라 문제를 푸는 순서가 비슷하다는 거죠.

차이가 있다면 일차방정식의 활용은 미지수가 x 하나인 것에 반해, 함수의 활용은 변수가 x, y 두 개라는 것이지요. 대신 함수는 관계식의 기본형태 두 가지가 주어져 있어서 그대로 이용하면 되기 때문에 오히려 쉬운 부분이 있어요.

그리고 함수의 활용에서는 일차방정식의 활용 2에서 사용했던 공식을 사용하기도 하니까 이 공식을 잘 외워두세요. 또 정비례와 반비례를 이용하여 함수의 관계식을 구하는 과정이 필수이므로 이 내용 또한 이해하고 있어야 합니다.

함수의 활용

함수의 활용 문제를 푸는 단계는 아래와 같아요.

1. 주어진 문제에서 변화하는 두 양을 x, y로 놓아요.
   함수에서 사용하는 문자 x, y는 변수에요. 문제에서 변하는 양을 찾아서 x, y로 놓아요.
2. x, y의 관계가 정비례, 반비례인지 확인하고 함수식을 구해요.
   정비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때 y도 2배, 3배, …가 되는 관계이고 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
   반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 관계로 (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
3. 특정한 값을 대입하거나 그래프를 그려서 구하는 값을 찾으세요.
   ②에서 만든 함수식을 이용하여 구하는 값을 찾으세요.
4. 문제에서 원하는 답을 고르세요.
   함수식을 통해 구한 값 중에서 문제의 뜻에 맞는 답을 고릅니다. 예를 들어 거리나 사람 수 등은 양수를 선택하세요.

문제에 따라서 사용하는 함수의 기본꼴이 달라지기 때문에 어떤 함수식을 사용해야하는지 결정하는 단계인 ②번이 매우 중요해요.

함수의 활용 - 정비례

정비례는 x가 2배, 3배, …가 되면 y도 2배, 3배, …가 되는 걸 말해요. 이때 기본식은 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 정비례는 문제에서 바로 알 수 있는 경우도 있지만, 혹시 그렇지 않다면 비례식을 세울 수 있는지 보세요. 이때도 정비례 관계에요. 비례식을 세울 수 있을 때는 정비례의 기본꼴을 이용하지 않고 비례식을 풀면 곧바로 함수식을 구할 수 있어요.

한 상자에 10,000원인 사과가 있다. 사과 상자의 개수를 x, 사과의 가격을 y라고 할 때 x, y의 관계식을 구하고 사과 7상자를 사려면 얼마의 돈이 필요한지 구하여라.

1상자에 10,000원이면 2상자는 20,000원, 3상자는 30,000원이겠죠? x와 y가 정비례 관계에요.
y = ax의 꼴인데, 1상자가 10,000원이므로 x = 1, y = 10000을 대입하면
y = 10000x라는 관계식을 구할 수 있어요.

7 상자를 살 때의 가격을 물어봤으니 x = 7을 대입하면 y = 10000 × 7 = 70000(원)이네요.

1L의 기름으로 20km를 가는 자동차가 있다. 이 자동차에 xL의 기름을 채웠을 때 달릴 수 있는 거리를 ykm라고 한다면, 8L의 기름으로 자동차가 갈 수 있는 거리를 구하여라.

1L의 기름 : 20km의 거리 = xL : ykm라는 비례식을 세울 수 있네요. 이건 비례식을 바로 풀어버리죠. (내항의 곱) = (외항의 곱)인 건 알고 있죠?
y = 20x
여기에 문제에서 구하라고 한 기름이 8L일 때의 거리니까 y = 20 × 8 = 160(km)이에요.

함수의 활용 - 반비례

반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 걸 말하는데, 이때 기본식은  (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 반비례인지 확신이 서지 않을 때는 x, y의 곱이 일정한 값을 가지는지 보세요. xy가 일정한 값을 가지면 양변을 x로 나눠주세요. 반비례 함수의 기본꼴과 같아져요.

48개의 사탕이 있다. x명의 학생에게 사탕을 나누어주면 한 사람이 y개의 사탕을 받을 때, 여덟 명의 학생에게 사탕을 나누어 준다면 한 학생당 몇 개의 사탕을 받을 수 있는지 구하여라.

학생이 1명이라면 48개의 사탕을 다 받을 수 있죠? 그런데 학생이 2명이라면 한 명이 24개의 사탕을 가져요. 학생이 3명이라면 한 학생당 16개의 사탕을 받을 수 있어요. 즉 학생 수가 2배, 3배가 되면 한 학생이 받는 사탕의 수는 배, 배 되는 반비례 관계에 있어요.

사탕의 개수는 48개, 학생 수가 8명이라고 했으니 에 a = 48, x = 8을 대입해보죠.

한 사람당 6개씩 받을 수 있어요.

선영이는 총 300쪽인 책을 매일 같은 양씩 읽으려고 한다. 하루 x쪽씩 y일 동안 읽는다고 할 때 다음을 구하여라.
(1) x, y의 관계식을 구하여라.
(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 할 때, 책을 다 읽으려면 며칠이 걸리는가?

(1) 하루에 책을 x쪽씩 y일 동안 읽는 책은 양은 xy에요. 그런데 이게 300쪽이죠. 따라서 xy = 300에서 양변을 x로 나눠주면 이 돼요.

(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 했으니까 x = 15를 대입하면

20일 걸리네요.

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두 변수 x y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 하나의 y가 정해질 때, y를 x의 함수라고 한다고 했어요. x가 정해지면 y가 하나만 결정되는데, 이때 x와 y의 관계에서 정비례, 반비례라는 용어를 사용해요.

정비례와 반비례는 평소에 많이 들어본 말일 거예요. 정비례는 단순히 하나가 커지면 다른 하나도 커지는 것, 반비례는 하나가 작아지면 다른 것도 작아지는 것 정도로 알고 있을 텐데, 수학에서는 그 의미가 조금 달라요.

이 글에는 정비례와 반비례의 정확한 의미를 이해하고 이걸 함수식으로 표현하는 방법까지 공부해볼 거예요. 또 정비례, 반비례가 아닌 경우도 알아볼 거고요.

함수의 관계식 - 정비례와 반비례

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x, y는 변수이고, 하나의 x에 하나의 y가 결정되니까 함수에요.

그런데 x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요.

함수가 정비례하는 경우에 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요. 이 경우에는 y = 1000x죠.

반비례

정비례와 반대인 경우를 볼까요?

넓이가 30cm²인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.

가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 배가 되죠.

이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 배, 배가 되는 걸 반비례라고 해요.

함수가 반비례하는 경우에는 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요. 이 경우에는 xy = 30이죠.

정비례, 반비례가 아닌 경우

어떤 주머니에 빨간 공과 파란 공을 합쳐서 10개의 공이 들어있어요. 주머니 속에 들어있는 빨간 공의 개수를 x개, 파란 공의 개수를 y개라고 해보죠.

이때는 빨간 공의 개수가 1개 → 2개로 두 배가 되면 파란 공의 개수는 9개 → 8개가 되고, 빨간 공의 개수가 1개 → 3개로 3배가 되면 파란 공의 개수는 9개 → 7개가 돼요.

x가 2배, 3배가 될 때, y가 바뀌기는 하지만 몇 배씩 바뀌는 건 아니죠? 이런 경우에는 정비례도 아니고 반비례도 아닌 경우예요.

y가 x에 정비례하고, x = 10일 때, y = 20인 함수의 관계식을 구하여라.

y가 x에 정비례하면 함수의 관계식은 y = ax (a ≠ 0)이죠. 여기에 x = 10, y = 20를 대입해보죠.
20 = a × 10
a = 2

따라서 x와 y의 관계식은 y = 2x

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