명제의 역
명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.
논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.
명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.
명제의 역, 이, 대우
명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.
여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.
이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 "~p → ~q"가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.
마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.
집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (AC)C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?
어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.
명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.
위 그림에서 QC ⊂ PC가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.
명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.
다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면 x2 = 4이다
명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.
위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x2 = 4네요.
명제 p → q : x = 2이면 x2 = 4이다
역 q → p: x2 = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x2 ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x2 ≠ 4이면 x ≠ 2이다.
일단 명제는 x = 2이면 x2 = 4니까 참이죠?
역에서 x2 = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x2 = 4이므로 이도 거짓이고요.
x2 ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.
명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.
삼단논법
논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.
명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.
삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.
p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.
p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.
참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.
보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.
함께 보면 좋은 글
명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역
명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
명제의 참, 거짓
필요조건, 충분조건, 필요충분조건
명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역
조금은 생소한 단원이에요. 명제라는 단원인데요.
복잡한 계산이 나오는 게 아니라 얼핏 보면 쉬워보일 수 있는데, 개념이 중요해서 생각을 많이 해야 하는 단원이에요.
생각할 거리가 많으니까 머리를 잘 굴려야 해요. 그냥 단순히 문장만 보고 식만 보고 해결할 수 없으니까 글자 하나하나에 주의해서 보세요.
1학년 때 배웠던 집합과 비슷한 부분이 많아요. 또 도형 단원에서 배웠던 여러 가지 용어들에 대한 뜻도 정확히 알면 문제 푸는 데 도움이 되니까 한 번쯤 정리해보세요.
명제
명제는 참, 거짓을 분명하게 판단할 수 있는 문장이나 식을 말해요. 집합에서 제일 중요한 건 집합의 조건이 아주 명확하고 객관적이어야 한다고 했어요. 명제에서도 아주 명확하고 객관적으로 참 거짓을 판단할 수 있어야 해요.
보기. "소녀시대는 예쁘다."는 문장이 있어요. 소녀시대는 예쁜가요? 대부분의 사람은 소녀시대를 예쁘다고 생각할 거예요. 그럼 참인가요? 그런데 어떤 사람들은 별로라고 생각할 수도 있잖아요. 이런 사람들은 이 문장이 거짓이라고 생각할 거예요. 그래서 이건 명제라고 할 수 없어요.
"소녀시대 멤버는 9명이다." 이 문장은요. 누가봐도 소녀시대 멤버는 9명이잖아요. 그래서 이 문장은 참이죠. 참이라고 결론 내릴 수 있으니까 이 문장은 명제라고 할 수 있어요.
"설리는 소녀시대 멤버이다." 이 문장은 어떨까요? 설리는 소녀시대의 멤버가 아니라 f(x)의 멤버잖아요. 틀린 문장이죠? 거짓이라는 얘기에요. 거짓이라고 판단할 수 있으니까 이 문장도 명제에요.
그 문장이 참인지 거짓인지는 중요하지 않아요. 참/거짓인지 판단할 수 있으면 명제에요. 많은 학생이 거짓이면 명제가 아니라고 착각하는데, 그런 실수는 하지 마세요.
명제가 항상 옳으면 참인 명제라고 해요. 만약에 명제가 항상 참이 아니고 어떤 경우에 하나라도 옳지 않으면 거짓인 명제라고 합니다.
"2의 배수는 짝수이다."라는 문장이 있어요. 이건 항상 옳죠? 그래서 참인 명제에요.
"모든 소수는 홀수이다."라는 문장이 있어요. 소수는 2, 3, 5, …등이 있는데, 2는 짝수이고 나머지는 모두 홀수에요. 모두 홀수라고 했는데, 2는 짝수잖아요. 엄청나게 많은 수의 소수가 홀수인데, 2 하나 때문에 이 문장은 옳지 않은 문장이 되어버렸어요. 따라서 거짓인 명제에요. 명제가 거짓인지 아닌지를 얘기할 때는 그걸 만족하지 않는 딱 하나만 찾으세요.
다음 문장에서 명제를 찾고, 참/거짓은 판별하시오.
(1) 6은 3의 배수이다
(2) 정사각형 네 변의 길이는 같다
(3) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(4) 100은 큰 수이다.
(5) x + 3 = 2이다.
(1)번 6은 3의 배수이다.
6은 3의 배수가 맞죠? 참인 명제에요.
(2)번 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
정다각형 중에서 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같은 사각형을 정사각형이라고 정의하죠? 정사각형의 정의에 따르면 네 변의 길이는 모두 같으니까 이 문장도 참인 명제네요.
(3)번 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
가로가 4cm이고 세로가 6cm인 삼각형과 가로가 3cm이고 세로가 8cm인 삼각형은 넓이가 같아요. 하지만 서로 포개지지 않으니까 합동은 아니잖아요. 따라서 이 문장은 거짓이에요. 거짓이라고 판별할 수 있으니까 명제가 맞네요. 거짓인 명제입니다.
(4)번 100은 큰 수이다.
100이라는 수는 1보다는 크지만 10,000보다는 작은 수에요. 때에 따라서 사람에 따라서 크고 작고가 달라질 수 있죠? 따라서 참/거짓을 판단할 수 없어요. 명제가 아니에요.
(5)번 x + 3 = 2이다.
일차방정식이네요. 만약에 x가 1이라면 이 문장은 거짓이 돼요. 그럼 거짓인 명제일까요? 아니에요. 방정식이나 부등식처럼 x의 값에 따라서 참/거짓이 달라지는 경우에는 명제라고 할 수 없어요.
명제의 가정과 결론
"두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다."처럼 일반적으로 명제는 "OO이면 □□이다."라고 표현해요. 여기서 OO이면을 가정, □□이다를 결론이라고 합니다.
수학은 기호로 표시해요. 가정인 OO이면을 p, 결론 □□이다를 q라고 하는데, 이걸 기호로 p → q로 표시해요.
다음 명제에서 가정과 결론을 말하여라.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
명제 "OO이면 □□이다"에서 OO이면이 가정, □□이다는 결론이에요.
(1)번 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
이 명제에서 "같으면"을 기준으로 두 문장으로 되어 있어요. "두 삼각형의 넓이가 같다."와 "두 삼각형은 서로 합동이다."이죠. "두 삼각형은 넓이가 같다."는 가정, "두 삼각형은 서로 합동이다."는 결론이 되겠네요.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
여기에는 OO이면이 없어요. 그럼 가정이 없을까요? OO이면이 없는 명제에서는 주어나 전제에 해당하는 부분이 가정이에요. 이 문장은 "어떤 사각형은 정사각형이다."와 "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."로 나눌 수 있어요. "어떤 사각형은 정사각형이다."는 가정, "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."는 결론에 해당해요. 이런 명제에서 가정과 결론을 찾는 건 연습이 조금 필요합니다.
명제의 역
역이라는 건 한자로 바꾸다라는 뜻이 있어요. 명제의 역은 명제를 바꾸는 데 어떻게 바꾸느냐? 명제의 가정과 결론의 위치를 바꾸는 거예요.
명제 "OO이면 □□이다"의 가정과 결론의 위치를 바꾼 "□□이면 OO이다"가 명제의 역이 되는 거예요. 명제를 "p → q"라고 쓴다고 했으니까 명제의 역은 "q → p"가 되는 거죠.
어떤 명제가 이미 있고 그 명제의 가정과 결론의 위치를 바꾼 게 그 명제의 역이 되는 거예요. 어디서 갑자기 툭 튀어나오는 게 아니에요.
명제가 참이라고 해서 명제의 역이 참이 되는 건 아니에요. 마찬가지로 명제가 거짓이라고 해서 명제의 역이 거짓이 되는 것도 아니에요. 명제와 명제의 역의 참/거짓은 서로 아무런 관계가 없어요.
다음 명제의 역을 말하시오.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
위에서 명제의 가정과 결론을 알아봤죠? 자리만 그대로 바꾸면 돼요.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
"두 삼각형의 넓이가 같다." → "두 삼각형은 서로 합동이다."라는 명제였어요.
자리를 바꾸면 "두 삼각형은 서로 합동이다." → "두 삼각형의 넓이가 같다."이므로 한 문장으로 합치면 "두 삼각형이 서로 합동이면 넓이가 같다."라는 명제의 역이 만들어져요.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
"어떤 사각형은 정사각형이다." → "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."
위치를 바꾸면 "이 사각형은 네 변의 길이가 같다." → "어떤 정사각형이 있다."가 되네요. 한 문장으로 합치면 "네 변의 길이가 같은 사각형은 정사각형이다"라는 명제를 만들 수 있어요.
추가로 명제와 명제의 참/거짓을 알아볼까요?
(1)에서 명제는 거짓이었어요. 명제의 역은 참이죠? 두 삼각형이 합동이면 서로 포개어지는 거고 가로, 세로의 길이가 같으니까 넓이도 같잖아요.
(2)에서 명제는 참이었어요. 명제의 역은 거짓이에요. 네 변의 길이가 같더라도 네 각의 크기가 다를 수 있잖아요. 이걸 마름모라고 해요.
명제의 참/거짓과 명제의 역의 참/거짓은 아무런 상관이 없다는 걸 알아두세요.