등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계
등비수열의 합과 등비수열의 일반항의 관계는 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계에서 했던 내용의 반복이에요. 수열만 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것뿐이에요.
등차수열의 합을 나타내는 식을 보면 등차수열의 제1항과 공차를 바로 구할 수 있었죠? 여기서도 등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 공비를 바로 구하는 방법을 알아볼 거예요. 더 나아가 등비수열의 일반항을 바로 구하는 공식도 공부할 거고요.
합에 대한 식만 주어졌을 때 이 식이 등비수열의 합을 나타내는 식인지 아는 방법도 알아볼 거예요.
등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계
등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계에서 했던 것처럼 등비수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
Sn = a1 + a2 + … + an = Sn - 1 + an
마지막 줄을 보죠.
Sn = Sn - 1 + an
an = Sn - Sn - 1
등비수열의 합을 이용해서 등비수열의 일반항을 구할 수 있어요.
근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 an = Sn - Sn - 1은 제2항부터 나타낼 수 있어요.
그럼 제1항부터 일반항 an으로 나타낼 수 있는지 확인하려면 어떻게 해야 할까요? an에 n = 1을 대입해서 S1과 값이 같으면 제1항도 일반항 an으로 나타낼 수 있어요.
등비수열 제1항부터 제n항까지의 합이 Sn일 때
a1 = S1
an = Sn - Sn - 1 (n ≥ 2인 자연수)
(an에 n = 1을 대입) = S1 → an = Sn - Sn - 1 (n ≥ 1인 자연수)
등비수열의 합을 보고 일반항 구하기
제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 등비수열의 합 공식을 전개해보죠.
a, r은 상수니까
이라고 한다면 식을 아래처럼 바꿀 수 있어요.
Sn = Arn - A
어떤가요? 등비수열의 합에서 rn의 계수와 상수항을 더하면 0이라는 걸 알 수 있어요.
이렇게 간단하게 쓴 등비수열의 합 공식을 이용해서 등비수열의 일반항 an을 구해보죠.
an = Sn - Sn - 1
= (Arn - A) - (Arn - 1 - A)
= Arn - Arn - 1
= rArn - 1 - Arn - 1
= Arn - 1(r - 1)
= A(r - 1)rn - 1
이 방법은 n ≥ 2인 일반항을 나타내는 식이에요. 그런데 n = 1일 때도 이 일반항으로 나타낼 수 있으면 좋겠죠? an에 n = 1을 대입해서 S1과 값이 같은지 확인해보죠.
an = A(r - 1)rn - 1
a1 = A(r - 1)r1 - 1 = A(r - 1)
그다음 Sn = Arn - A에도 n = 1을 대입해요.
a1 = S1 = Ar1 - A = A(r - 1)
두 방법으로 구한 a1이 서로 같아요. 그러니까 이 방법은 n ≥ 2일 때뿐 아니라 n = 1일 때도 사용하는 방법이에요.
등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 일반항을 바로 구할 수 있어요. 공식으로 외워두면 좋은데 굳이 외우지 않아도 상관은 없어요.
예를 들어 Sn = 10n - 1이 주어졌다고 해보죠.
Sn = 10n - 1 = 1 × 10n - 1로 10n의 계수 1과 상수항 -1을 더하면 0이니까 이 식은 등비수열의 합을 나타내는 식이에요. A = 1, r = 10이죠.
따라서 an = A(r - 1)rn - 1 = 1 × (10 - 1)10n - 1 = 9 × 10n - 1라는 걸 바로 구할 수 있어요.
등비수열의 합은 Sn = Arn - A꼴
이때, an = A(r - 1)rn - 1
Sn = 4n - 2 + x가 등비수열의 합을 나타낸 식일 때 x를 구하여라.
합을 나타내는 식이 Sn = Arn - A꼴이면 등비수열이에요.
Sn = 4n - 2 + x = 4-2 × 4n + x
제1항부터 제n항까지의 수열의 합이 다음과 같을 때 일반항 an를 구하여라.
(1) 2n - 1
(2) 3n + 1 - 3
수열의 합이라고 알려줬는데 어떤 수열인지부터 알아야겠죠? Sn = Arn - A꼴이면 등비수열이에요.
(1) Sn = 2n - 1 = 1 × 2n - 1
등비수열의 합이고 A = 1, r = 2이네요.
an = Sn - Sn - 1
= 2n - 1 - (2n - 1 - 1)
= 2n - 2n - 1
= 2 × 2n - 1 - 2n - 1
= 2n - 1
n ≥ 2일 때는 일반항으로 나타낼 수 있는데, a1도 이 일반항으로 나타낼 수 있는지 알아보죠.
a1 = S1 = 21 - 1 = 1
an = 2n - 1
a1 = 21 - 1 = 1
S1를 이용해서 구한 a1과 an에 n = 1을 대입해서 구한 a1이 같으니까 모든 항을 일반항 an으로 나타낼 수 있네요.
그래서 답은 an = 2n - 1
(2) Sn = 3n + 1 - 3 = 3 × 3n - 3
Sn = Arn - A꼴로 A = 3, r = 3인 등비수열의 합을 나타내는 식이네요.
공식으로 한 번 풀어볼까요?
Sn = Arn - A일 때, an = A(r - 1)rn - 1
an = 3(3 - 1)3n - 1 = 6 × 3n - 1 = 2 × 3n
이 공식은 유도과정에서 이미 a1도 일반항 an으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했으니까 굳이 확인할 필요가 없어요.
따라서 답은 an = 6 × 3n - 1
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