등차수열의 합, 등차수열의 합 공식

이번 글에서는 등차수열의 각 항을 더한 등차수열의 합을 구할 거예요.

아주 간단히 생각만 살짝 바꾸면 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있어요. 방법은 어렵지 않으니까 그 원리를 금방 이해할 수 있을 거예요. 등차수열의 합 공식은 두 가지예요. 사실은 한 가지인데, 등차수열에서 어떤 조건을 알려주느냐에 따라 모양이 다르니까 둘의 차이를 잘 비교하세요.

문제를 활용하기에 따라서 쉬운 문제와 어려운 문제의 수준 차이가 많이 나니까 문제를 풀 때 집중해서 잘 봐야 해요.

등차수열의 합

등차수열 1, 2, 3, 4, 5, …, 10을 이루는 항들의 합을 구해볼까요?

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 …… ①

바로 계산할 수도 있는데 우변의 순서를 거꾸로 해보죠.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 …… ②

순서를 바꿔놓고 봤더니
①식의 제1항 1과 ②식의 제1항 10을 더하면 11
①식의 제2항 2와 ②식의 제2항 9를 더하면 11
①식의 제3항 3과 ②식의 제3항 8을 더하면 11
①식의 제10항 10과 ②식의 제10항 1을 더하면 11

①과 ②식은 총 열 개의 항으로 되어 있는데 같은 순서에 있는 항끼리 더하면 모두 11로 같아요. 11인 항이 10개 있으니까 그 합은 11 × 10이에요. 그런데 이건 S가 아니라 2S죠. 2로 나눠주면 S = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10을 구할 수 있어요.

식으로 정리해보죠. ①과 ② 두 식을 더해요.

① + ②
2S = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + … + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2S = 11 + 11 + 11 + … + 11 + 11 + 11
2S = 11 × 10
S = 55

1부터 10까지 자연수를 모두 더하면 55가 나와요.

더해야 하는 항의 순서를 거꾸로 해서 한 번 더 더하면 그냥 더하는 것보다 훨씬 더 계산이 쉬워져요.

이번에는 등차수열 a_n의 제1항부터 제n항까지 합을 구하는데 그 합을 S_n이라고 해보죠.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n - 1} + a_n

첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d이죠? 그리고 합을 구하는 마지막 제n항 a_n을 l이라고 해보죠.

a₁ = a
a₂ = a + d
a₃ = a + 2d
a₄ = a + 3d
a_{n - 1} = a + (n - 2)d = l - d
a_n = a + (n - 1)d = l

위 내용을 S_n에 대입해요.

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l - 2d) + (l - d) + l …… ③

우변은 a₁부터 a_n까지 순서대로 더하는 건데 이 순서를 거꾸로 해볼까요?

S_n = l + (l - d) + (l - 2d) +  … + (a + 2d) + (a + d) + a …… ④

두 식을 더해보죠.

제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요.

원래 마지막 항 l = a_n = a + (n - 1)d니까 대입해보면,

등차수열의 합 공식을 두 개 얻었어요. 처음 공식은 n, a, l로 이루어져 있죠? 첫째항과 마지막 항을 알 때 사용하는 공식이에요. 두 번째 공식은 n, a, d로 이루어져 있으니까 첫째항과 공차를 알 때 사용하는 공식이에요.

등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n
첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
첫째항이 a, 공차가 d일 때:

다음을 구하여라.
(1) 제10항이 17, 제20항이 37인 등차수열의 제1항부터 제20항까지의 합
(2) 두 자리 자연수 중에서 2의 배수 또는 5의 배수의 합
(3) 제1항부터 제10항까지의 합이 120, 제11항부터 제20항까지의 합이 320인 등차수열의 제21항부터 제30항까지의 합

(1)번에서 합을 구하는 끝항을 알려줬어요. 첫 항만 구하면 되겠네요.

a₁₀ = a + 9d = 17
a₂₀ = a + 19d = 37

연립해서 풀어보면 d = 2, a = -1이 나와요.

합을 구하는 등차수열의 첫 항과 끝항을 알았으니까 공식에 대입해보죠.

답은 360이네요.

(2) 두 자리 자연수니까 10 ~ 99까지의 자연수예요.

2의 배수인 수열: 10, 12, 14, …, 96, 98
5의 배수인 수열: 10, 15, 20, …, 90, 95
2의 배수이면서 5의 배수인 수열: 10, 20, 30, …, 80, 90

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)

집합으로 표시하면 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)이에요.

2의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 98, 공차는 2예요. 등차수열의 합 공식을 이용하려면 항이 몇 개인지 구해야겠네요.

a_n = a + (n - 1)d
98 = 10 + (n - 1) × 2
98 = 10 + 2n - 2
n = 45

2의 배수의 수열의 합 =

5의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 95, 공차는 5예요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
95 = 10 + (n - 1) × 5
95 = 10 + 5n - 5
n = 18

5의 배수의 수열의 합 =

10의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 90, 공차는 10이에요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
90 = 10 + (n - 1) × 10
90 = 10 + 10n - 10
n = 9

10의 배수의 수열의 합 =

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
= 2430 + 945 - 450
= 2925

(3)번은 어려운 문제니까 집중해서 잘 보세요.

제1항부터 제10항까지, 제11항부터 제20항까지, 제21항부터 제30항까지 세 개의 식을 세워야 해요.

제1항부터 제10항까지 합이 120이니까 이걸 이용해서 식을 세워보죠.

첫째항이 a, 공차가 d일 때 등차수열의 합:

제11항부터 제20항까지의 합은 제11항을 제1항으로 하고, 제20항을 제10항으로 하는 새로운 등차수열 b_n을 생각할 수 있겠죠?

b₁ = a₁₁ = a + 10d
b₁₀ = a₂₀ = a + 19d

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (b₁ ~ b₁₀까지의 합)

a와 d에 대한 연립방정식이 되었어요.

a = 3, d = 2가 나오네요.

a₂₁ = c₁, a₃₀ = c₁₀인 새로운 수열 c_n을 이용해서 제21항부터 제30항까지의 합을 구해보죠.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합) = (c₁ ~ c₁₀까지의 합)

c₁ = a₂₁ = a + 20d = 3 + 20 × 2 = 43
c₁₀ = a₃₀ = a + 29d = 3 + 29 × 2 = 61

제21항부터 제30항까지의 합은 520이네요.

이걸 새로운 수열 b_n, c_n를 생각하지 않고 조금 다르게 풀어볼까요? 합과 합의 관계를 이용하는 거예요.

제1항부터 제10항까지의 합은 위에서와 똑같이 구해요.

제11항부터 제20항까지의 합을 구하는 과정을 아래처럼 생각할 수 있겠죠?

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (a₁ ~ a₂₀까지의 합) - (a₁ ~ a₁₀까지의 합)

마찬가지로 a와 d에 대한 연립방정식을 만들 수 있어요.

여기서도 a = 3, d = 2가 나와요.

마지막 제21항부터 제30항까지의 합을 구하는 과정도 위처럼 합을 이용해서 나타낼 수 있어요.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합)
= (a₁ ~ a₃₀까지의 합) - (a₁ ~ a₂₀까지의 합)

답은 똑같이 520이 나와요.

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정리해볼까요

등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n

• 첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
• 첫째항이 a, 공차가 d일 때:

등차수열 일반항의 성질, 등차중항

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등차수열의 합과 등차수열의 관계