이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
보통 도형에서의 위치관계는 수직, 평행 등을 묻는데 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 그런 게 아니에요. 교점이 몇 개 생기느냐를 말하죠. 앞서 했던 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 내용과 비슷하니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 거의 한 쌍둥이라고 할 수 있어요.
이차함수 그래프의 대략적인 모습과 직선을 그리면 조금 더 쉽게 이해할 수 있으니까 그림도 함께 외우세요.
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요.
이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
= 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해
중학교 2학년 때 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식에 대해서 잠깐 공부한 적이 있어요. x축은 식으로 나타내면 y = 0이라는 직선의 방정식으로 나타낼 수 있죠? x축도 직선이니까 이걸 확장하면 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 구할 수 있는 거죠.
이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축이 몇 개의 교점을 가지느냐를 알아볼 때 어떻게 했나요? x축이 y = 0이니까 이걸 이차함수 식에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식 D의 부호를 구했죠? D > 0이면 교점이 2개, D = 0이면 교점이 1개, D < 0이면 교점이 0개예요.
이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 직선 y = mx + n 사이의 관계를 구할 때도 똑같아요. 직선 y = mx + n를 이차함수 y = ax2 + bx + c에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식의 부호를 구하면 교점의 개수를 알 수 있어요.
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b - m)x + c - n = 0
위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.
D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.
이차함수의 그래프와 직선 둘 다좌표평면 위에 있어서 실수 범위에서만 다루기니까 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.
위 내용을 표로 정리해 볼게요.
| 이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용 | |||
| 판별식 | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
| 위치관계 | 서로 다른 두 점에서 만난다. | 한 점에서 만난다. (접한다.) | 만나지 않는다. |
| 그래프 |  |
 |
 |
| 교점의 개수 | 2개 | 1개 | 0개 |
표에서는 a > 0일 때의 그래프만 그렸는데, a < 0이면 그래프가 위로 볼록이니까 그림을 180° 뒤집으면 돼요.
이차함수 y = x2 + 3x - 3의 그래프와 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하여라.
기울기가 1이라고 했으니까 직선은 y = x + b가 되겠네요.
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.
이 직선이 y = x2 + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.
x2 + 3x - 3 = x + b
x2 + 2x - 3 - b = 0
D/4 = 12 - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4
따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.
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