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부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.

공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.

부채꼴 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.

2π : 2πr = θ : l
l = rθ

원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?

2π : πr² = θ : S

위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.

반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.

이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.

공식을 유도할 수 있겠죠?

부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)

S = r²θ = × 4² × π = 8π(cm²)

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앞서 원주각과 중심각의 크기에서는 원주각은 중심각의 절반이고, 중심각은 원주각의 두 배라는 걸 공부했어요.

1학년 때, 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이가 정비례한다는 걸 공부했어요. 현의 길이는 중심각의 크기와 전혀 상관이 없다는 것까지요.

이 글에서는 원주각과 중심각의 관계, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이는 정비례한다는 사실 두 가지를 하나로 합쳐서 원주각의 크기와 호의 길이는 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.

원주각의 크기와 호의 길이

원주각과 중심각의 크기에서 원주각의 크기는 중심각 크기의 절반이라고 했어요. 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각의 크기도 서로 같아져요. 1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이도 같다는 걸 공부했어요.

이 두 가지를 정리해보면, 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각이 같고, 중심각이 같으면 호의 길이가 같아요. 즉 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이가 같아지죠.

서로 다른 두 호에서 원주각의 크기가 같다. → 중심각의 크기가 같다. → 호의 길이가 같다.

∠APB = ∠CQD
  → ∠AOB = ∠COD   (∵ 2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD =  ∠COD)
  → 호AB = 호CD

이 명제의 역도 성립해요. 호의 길이가 같으면 이에 대한 원주각의 크기도 같아요.

한 원 또는 지름이 같은 원에서
크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.
길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

원주각의 크기와 호의 길이는 정비례

1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각과 호의 길이는 정비례한다는 걸 공부했어요. 호에 대한 중심각은 원주각의 두 배니까 중심각 자리에 원주각을 넣으면 역시 비례가 성립하지요. 

∠AOB : ∠COD = 호AB : 호CD
 → 2∠APB : 2∠CQD = 호AB : 호CD  ( ∵  2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD = ∠COD)
 → ∠APB : ∠CQD = 호AB : 호CD

한 원 또는 지름이 같은 원에서
원주각의 크기 ∝ 호의 길이
중심각의 크기 ∝ 호의 길이
현의 길이는 중심각, 원주각의 크기와 비례하지 않는다.

그림처럼 원 위에 8개의 점이 있다. 이 점들 간의 거리가 모두 같을 때, 다음을 구하여라.
(1) 호EF의 중심각과 크기가 같은 원주각을 갖는 호를 모두 찾아라.
(2) ∠DBE와 같은 길이의 호를 갖는 원주각을 모두 찾아라.

우선 각 점들 간의 거리가 같다고 했으니 각 점들로 이루어진 호의 길이가 같겠죠? 이 호의 길이를 a라고 놓아보죠. 또 각 호의 길이가 같으니까 이 호의 길이에 대한 원주각의 크기도 같은데, 이 각을 x라고 놓아보죠.

(1) 호EF의 길이는 a이고, 원주각의 크기는 x에요. 중심각의 크기는 2x겠네요.
즉, 문제는 원주각의 크기가 2x인 호를 찾으라는 건데, 크기가 2x인 원주각은 ∠EAG, ∠DBF, ∠AGC이므로 호EG와 호DF, 호AC가 되겠네요.

(2) ∠DBE에 대한 호의 길이는 a이고 원주각의 크기는 x에요. 호의 길이가 같으면 원주각의 크기도 같아요. 각의 크기가 x인 원주각은 ∠EBF, ∠BEA네요.

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