'피타고라스 정리의 활용' 태그의 글 목록

대각선의 길이 구하는 공식 - 피타고라스 정리의 활용 - 평면도형 1
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2012.09.12
피타고라스 정리의 활용 - 사각형
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2012.09.10

이제 피타고라스의 정리에 대해서 익숙해졌나요?

이제부터는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 도형에 적용해서 문제를 푸는 걸 연습해봐야 해요. 직각삼각형을 얼마나 쉽게 만드느냐가 중요해요.

첫 번째로 직사각형과 정사각형에 적용해보죠. 직사각형과 정사각형은 이미 직각이 포함되어 있기 때문에 직각삼각형을 쉽게 만들 수 있어요. 따라서 별다른 작업 없이 피타고라스의 정리를 바로 적용할 수 있지요. 직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

직사각형의 대각선 길이

한 변의 길이가 a이고 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형이 있다고 하죠. 직사각형은 마주 보는 변의 길이는 같으니까 다른 변의 길이도 a, b이죠? (직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건)

대각선의 길이 구하기 - 직사각형

직사각형에서 대각선을 그으면 두 개의 직각삼각형으로 나뉘고, 대각선은 직각삼각형의 빗변이 돼요. (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + b²
(대각선의 길이) =

두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

한 변의 길이가 3cm이고, 다른 한 변의 길이는 4cm인 직사각형의 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a, 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형의 대각선의 길이는 이니까 공식에 바로 대입해보죠.

a = 3cm, b = 4cm이므로 (cm)입니다.

정사각형 대각선의 길이

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 90°로 같은 사각형이에요. (정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건)

대각선의 길이 구하기 - 정사각형

정사각형 한 변의 길이를 a라고 해볼까요?

대각선을 그으면 직각삼각형 두 개가 만들어지는데, 이 직각삼각형은 두 변의 길이가 a로 같은 이등변삼각형이 돼요.

직사각형과 마찬가지로 (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + a² = 2a²
(대각선의 길이) =

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 =

대각선을 그으면 직각삼각형이 바로 보이니까 사각형의 대각선의 길이 구하는 건 별로 어렵지 않죠?

한 변의 길이가 5cm인 정사각형 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 에요. 공식에 바로 대입해보죠.

a = 5이므로 대각선의 길이는 × 5 = 5(cm)가 되네요.

정리해볼까요

사각형 대각선의 길이

두 변의 길이가 a, b,인 직사각형의 대각선 길이 =
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 =

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중3 수학 목차

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그리드형

피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?

피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.

이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.

피타고라스 정리의 활용

사각형에서 두 대각선이 직교할 때

다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.

피타고라스의 정리 활용 - 사각형 1

대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒ + = +

다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.
피타고라스 정리의 활용 - 사각형 1 예제

마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 8² + x² = 12² + 6²
64 + x² = 144 + 36
x² = 116
x = (cm, x > 0)

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

피타고라스 정리의 활용 - 사각형 2

이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.

라고 할께요.