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유효숫자라는 걸 공부할 거예요. 유효숫자가 무엇인지 또 어떤 숫자들이 유효숫자인지도요. 특히 0은 유효숫자인지 아닌 지 알아보기가 까다롭기 때문에 이 부분도 살펴볼 겁니다.

유효숫자는 오차의 한계와 구하는 방법이 비슷하기때문에 둘을 함께 비교하면서 공부하면 좋아요. 그래야 외우기도 쉽고, 헷갈리지 않아요.

유효숫자는 다음에 공부할 근삿값의 표현에서 꼭 필요하기때문에 정확히 알아야 해요.

유효숫자

유효숫자는 믿을 수 있는 숫자에요. 근삿값을 사용하다보면 오차가 생기기때문에 근삿값의 모든 숫자가 다 정확한 건 아니에요. 하지만 오차를 고려하더라도 몇 개는 신뢰할 만한 숫자가 있는데, 그게 바로 유효숫자에요

일반적으로 백화점에서 49,800원짜리 옷을 하나 산 후에 누군가 옷의 가격을 물어보면 "50,000원에 샀어"라고 얘기합니다. 실제는 49,800원인데 50,000원 줬다고 얘기하면 둘 사이에 200원이라는 오차가 생기죠. 오차는 200원이니까 100원 단위를 틀리게 말할 수 있지만, 만원 단위, 천원 단위까지 틀리게 말하는 건 아니잖아요. 이 경우에는 만원 단위인 5와 천원 단위인 0의 두 숫자는 믿을 수 있는 숫자로 유효숫자에요.

유효숫자는 이름 그대로 숫자로 표현합니다. 단위는 무시해요. 위 경우에서 유효숫자는 5만과 0천이 아니라 5, 0입니다.

유효숫자를 구하는 방법

어떤 숫자를 일의 자리에서 반올림한다고 해보죠. 일의 자리에서 반올림을 하면 일의 자리 숫자는 그냥 그대로 버리고 0으로 쓰죠. 따라서 일의 자리 숫자 0은 원래의 의미가 없어져버려서 믿을 수 없는 숫자가 되버려요.

십의 자리 숫자는 그대로 이거나 +1이 되고, 그 외의 숫자는 그대로죠. 이런 숫자들은 조금씩 바꿀 수는 있겠지만 그 의미까지 완전히 없어졌다고 보기는 힘들겠죠? 따라서 이런 숫자들은 믿을 수 있는 유효숫자로 할 수 있어요.

십의 자리에서 반올림한다면 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자는 그냥 버려서 0이 되니까 의미가 없어지고, 백의 자리 숫자와 그 이의의 숫자는 모양은 바뀔 수 있지만 신뢰할 수 있는 유효숫자에요.

반올림을 할 때는 반올림을 받은 자리까지의 숫자가 유효숫자에요.

어떤 도구를 이용해서 측정한 값도 근삿값이므로 오차가 생기고, 거기에도 유효숫자라는 게 있어요.

측정값에서의 유효숫자는 최소 눈금 단위의 숫자까지 입니다. 최소눈금 단위 아래의 숫자는 그냥 버리잖아요. 1cm눈금이 있는 자로 물건을 잴 때는 9cm, 10cm 이렇게 재지, 9.6cm, 10.3cm 이렇게 하지 않잖아요.

유효숫자는 오차의 한계와 관련성을 이용해서 외우는 게 좋아요.

일의 자리에서 반올림해서 얻은 1110이라는 근삿값에서 유효숫자를 찾아볼까요? 일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림을 받은 자리고, 앞에서부터 십의 자리까지의 모든 숫자가 유효숫자에요. 1, 1, 1 이죠. 여기서 1이 세 개라고 해서 1을 하나만 쓰면 안돼요. 중복되는 숫자가 있더라도 모두 써주야 합니다. 유효숫자는 1 하나가 아니라 1, 1, 1 이렇게 세 개입니다.

다음에서 유효숫자를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(2) 백의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(3) 최소 눈금 단위가 1cm인 자로 잰 100cm
(4) 최소 눈금 단위가 10cm인 자로 잰 100cm

유효숫자는 반올림 받은 자리까지 그리고 최소 눈금 단위까지의 숫자가 모두 유효숫자에요. 그 아래의 숫자는 유효숫자가 아니죠.

(1) 십의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 백의 자리에요. 앞에서부터 백의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리인 1, 천의 자리인 2, 백의 자리인 0 세 숫자가 유효숫자에요. 답은 1, 2, 0네요. 1 2 0 0 0

(2) 백의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 천의 자리에요. 앞에서부터 천의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리 1, 천의 자리 2이 유효숫자에요. 답은 1, 2입니다. 1 2 0 0 0

(3) 최소 눈금 단위가 1cm이므로 앞에서부터 1cm 단위까지가 유효숫자에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0, 일의 자리 0 세 수가 모두 유효숫자에요. 1, 0, 0이 답이네요. 1 0 0

(4) 최소 눈금 단위가 10cm이므로 앞에서부터 10cm 단위까지만 유효숫자이고, 그 아래 숫자는 유효숫자가 아니에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0은 유효숫자고, 마지막 일의 자리 0은 유효숫자가 아닙니다. 1, 0이 답이에요. 1 0 0

유효숫자 판별

근삿값을 구한 다음에 유효숫자를 판별하는 방법은 위 과정으로 하면 됩니다.

그런데, 어떤 방법으로 유효숫자를 구했는지 모른 체 그냥 근삿값만 알려준 경우에는 유효숫자를 구하기가 까다롭죠. 특히 다른 숫자들은 괜찮은데 0이 문제에요.

어느 자리에서 반올림 했는 지는 모르는 근삿값 1200이라는 숫자가 있다고 해보죠. 여기서 십의 자리 0을 보세요. 원래 숫자가 0이었는지, 원래는 9였는데 일의 자리에서 반올림을 받아서 0이 된 거지, 십의 자리에서 반올림을 하고 버려서 0이 되었는 지 알 수가 없지요.

이럴 때 십의 자리 0이 유효숫자인지 아닌 지 알아볼 수 있는 방법이 있어야겠죠?

• 유효숫자
  0이 아닌 모든 숫자
  0이 아닌 숫자 사이에 있는 0 - 2013, 1.05
  소수에서 뒤에 있는 0 - 1.40
• 유효숫자 인지 아닌 지 알 수 없는 경우
  정수의 끝에 있는 0 - 30, 100
• 유효숫자가 아닌 경우
  소수에서 자릿수를 표시하는 0 - 0.002

다음 중 유효숫자의 개수가 다른 것을 고르시오.
(1) 1301     (2) 1031     (3) 1.010     (4) 0.101

0이 아닌 모든 숫자는 유효숫자에요. 0이 아닌 숫자 사이에 있는 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 소수에서 자릿수를 표시하기 위해 사용하는 0은 유효숫자가 아니에요.

(1) 1301은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 3과 1 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개네요.

(2) 1031은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 1과 3 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개입니다.

(3) 1.010은 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있어요. 또 1과 1 사이의 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 따라서 유효숫자는 4개에요.

(4) 0.101에서 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있고요. 1과 1 사이의 0도 유효숫자에요. 하지만 소수점 앞에 있는 0은 소수라는 걸 알려주기 위한 0이므로 유효숫자가 아니에요. 유효숫자는 3개입니다.

따라서 답은 유효숫자가 3개인 (4)번이 되겠네요.

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참값, 근삿값, 오차, 오차의 한계, 참값의 범위
근삿값의 표현

새로운 용어가 나오는데, 그 차이가 애매해서 뭔지 잘 모를 수 있어요. 작은 차이를 잘 이해해야 합니다.

개념을 이해하기 어려워서 그렇지 실제 계산하는 건 어렵지 않아요. 반대로 개념을 못 잡으면 쉬운 계산도 할 수 없어요.

양이 별로 많지 않으니 굳이 나눠서 하기보다는 글 하나에 모두 담겠습니다. 차이를 서로 비교하는 데 조금 더 도움이 될 거예요.

오차의 한계와 참값의 범위는 서로 연관성이 높으니까 잘 보세요.

참값, 근삿값, 오차

참값은 진짜 값이에요. 나이, 개수, 번호 등 실제 값 등은 대체로 참값이에요. 물론 어림잡아 말하는 값들은 나이나 개수더라도 참값이 아닐 수도 있어요.

측정값은 자나 저울 등의 기구로 측정해서 얻은 값이에요. 길이나 무게, 부피 등이 있겠지요. 근삿값은 참값은 아니지만, 참값에 가까운 값이에요. 측정값은 모두 근삿값이에요.

측정값이라 하더라도 문제에서 참값이라고 하면 그건 참값이에요. 예를 들어 "참값이 1.25m인 책상의 길이를 다시 재봤더니 1.30m가 나왔다"는 문제에서 1.25m라는 값도 실제로는 길이를 재봤으니까 알 수 있는 값으로 측정값이에요. 하지만 문제에서 참값이라고 했으니까 참값이라고 생각해야 합니다. 1.25m는 참값, 1.30m는 측정값이죠.

오차는 참값과 근삿값의 차이인데, 근삿값에서 참값을 빼서 구합니다. 빼는 순서가 중요하니까 주의하세요. 오차는 양수일 수도 있고, 음수일 수도 있어요.

오차 = 근삿값 - 참값

다음을 참값과 근삿값으로 나누어라.
(1) 3반의 학생 수는 30명이다.
(2) 수정이의 키는 163cm이다.
(3) 집에서 학교까지의 거리가 1.3km다.
(4) 빅토리아가 반장 선거에서 얻은 표는 25표이다.
(5) 어제 비가 15mm 내렸다.
(6) 엠버는 2학년 5반이다.

사람 수, 개수 등은 참값이고 자나 저울 등으로 재서 얻은 측정값은 근삿값이에요.

(1), (4), (6) 번은 개수와 번호로 참값이고, (2), (3), (5)는 길이, 거리, 부피로 기구를 이용해서 측정한 근삿값입니다.

무게가 230g인 연필을 진리와 선영이가 저울을 이용하여 무게를 쟀더니 진리는 235g, 선영이는 220g이 나왔다. 두 사람이 측정한 값의 오차를 구하여라.

먼저 문제에서 "무게가 230g"이라고 했는데, 이 230g은 저울을 이용해서 얻은 측정값이라고 생각할 수 있어요. 하지만 문제에서 주어진 만큼 참값이라고 생각해야 합니다.

오차 = 근삿값 - 참값이므로 여기에 넣어서 오차를 구해보죠.
진리의 오차 = 235 - 230 = 5(g)
선영이의 오차 = 220 - 230 = -10(g)

오차의 한계

어떤 수를 일의 자리에서 반올림해서 130이라는 값을 얻었다고 해보죠. 그렇다면 어떤 수 x는 125 ≤ x < 135에요. 130은 반올림해서 얻은 값이므로 근삿값이고, 125와 135 사이의 어떤 수가 참값이지요.

오차를 구해보면 130 - 125 = 5일 때 가장 크고, 130 - 135 = -5일 때 가장 작아요. -5 < 오차 ≤ 5

오차의 한계는 오차가 가장 클 때의 절댓값을 말해요. 위 경우에서는 5가 되겠죠.

오차는 오차의 한계 내에서 생길 수 있어요. 오차의 한계를 넘어가는 오차는 없는 거죠.

1cm 단위만 표시된 자를 이용해서 연필의 길이를 쟀다고 해보죠. 이 연필이 9cm와 10cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있어요. 그럼 10cm라고 얘기할 수 있죠? 이 10cm는 근삿값이에요. 연필이 9cm보다는 10cm에 더 가깝게 있었기 때문에 실제 연필의 길이는 9.5cm보다는 길거나 같아요.

이번에는 다른 연필을 쟀더니 10cm와 11cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있을 때도 10cm라는 근삿값을 얻을 수 있어요. 이때 연필은 10.5cm보다는 더 짧을 거예요.

두 경우에서 모두 10cm라는 길이를 얻었어요. 하지만 실제 길이는 9.5cm ≤ 연필의 길이 < 10.5cm에요.

-0.5 < 오차 ≤ 0.5로 오차가 가장 클 때의 절댓값은 0.5cm에요. 1cm 단위의 자에서 오차의 한계는 0.5cm인 거죠.

오차의 한계는 아래 방법으로 구할 수 있어요.

반올림했을 때: 반올림 받은 자리의 절반
기구를 이용해서 측정했을 때: 최소눈금 단위의 절반
오차의 한계는 절댓값이므로 무조건 양수

다음에서 오차의 한계를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

반올림했을 때 오차의 한계는 반올림 받은 자리의 절반이고, 도구를 이용하여 측정했을 때는 최소눈금 단위의 절반이에요. 오차의 한계를 구할 때 근삿값은 전혀 신경 쓰지 않아도 됩니다. 어느 자리에서 반올림했는지 최소눈금 단위가 얼마인지만 보세요.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

참값의 범위

근삿값과 오차만 알고, 실제 참값을 모를 때는 참값의 대략적인 범위만 알 수 있어요.

(오차) = (근삿값) - (참값)에서 이항하면 (참값) = (근삿값) - (오차)에요. 그런데 오차를 정확하고 알고 있으면 상관없지만, 오차를 범위로 알고 있을 때, 즉 오차의 한계만 알고 있을 때는 참값을 딱 떨어지는 어떤 값으로 얘기할 수 없어요. 오차는 -(오차의 한계)와 +(오차의 한계) 사이에서 생기기 때문에, 이 오차를 위 식에 대입해서 참값의 범위를 구할 수 있어요.

(근삿값) - (오차의 한계) ≤ (참값의 범위) < (근삿값) + (오차의 한계)

잘 보세요. 왼쪽에는 등호가 있고, 오른쪽에는 등호가 없어요.

다음에서 참값의 범위를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

참값의 범위를 구할 때는 먼저 오차의 한계를 구해야 해요. 그리고 근삿값과의 합, 차를 이용해서 참값의 범위를 구하죠.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

1200 - 50 ≤ 참값의 범위 < 1200 + 50
1150 ≤ 참값의 범위 < 1250

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(150 - 5)cm ≤ 참값의 범위 < (150 + 5)cm
145cm ≤ 참값의 범위 < 155cm

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

(300 - 2.5)g ≤ 참값의 범위 < (300 + 2.5)g
297.5g ≤ 참값의 범위 < 302.5g

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