수학방

십진법에서 진법과 십진법에 대해서 공부했어요.

이 글에서는 다른 방법인 이진법에 대해서 공부할 거에요. 이진법의 큰 틀은 십진법과 같아요. 거기에 몇 가지 차이가 있을 뿐이죠. 둘의 차이만 잘 구별한다면 공부하는데 별 어려움은 없을 거에요.

이진법의 전개식은 십진법의 전개식과 딱 한 가지만 달라요. 이건 이진법의 특징을 알면 금방 이해할 수 있는 차이죠.

십진법과 이진법의 같은 점과 다른 점을 잘 구별해서 공부하세요.

이진법

십진법과 십진법의 전개식에서 십진법은 숫자 10개를 사용하는 방식이라고 했어요. 이진법은 제일 앞 글자 "이"가 의미하는 것처럼 숫자 2개를 가지고 표기하는 거에요. 사용하는 숫자가 2개라고 하면 1 ~ 2까지를 생각하기 쉬운데, 이진법에서 사용하는 숫자는 0, 1이에요.

십진법은 자리가 하나 올라가면 숫자도 10배 되는 표기법이고, 이진법은 자리가 하나 올라가면 2배가 되는 표기법이에요.

십진법, 이진법 이름만 잘 이해해도 표기방법의 차이를 알 수 있겠죠?

이진법의 특징

이름만 봐서는 모르는 것들도 몇 가지 있어요.

숫자만 딱 써놓으면 이게 십진법인지 이진법인지 모르잖아요. 그래서 이진법을 십진법과 구별되도록 표시를 합니다.

1100는 십진법이고요, 1100₍₂₎는 이진법이에요. 이진법은 숫자의 오른쪽 아래에 작게 (2)라고 써요. 1111은 십진법이지만 1111₍₂₎는 이진법이에요. 숫자가 써진 것만 봐도 알아볼 수 있겠죠? 여러분이 이진법 숫자를 쓸 때도 1111₍₂₎ 이렇게 써야지 그냥 1111만 쓰면 안돼요.

또 다른 차이점 하나는 숫자를 읽는 방법이에요.

1100은 십진법이니까 천 백이라고 읽어요. 1100₍₂₎는 이진법인데, 천, 백, 십 이런 단위가 없이 그냥 숫자만 일 일 영 영이라고 읽어요. 앞에다 "이진법"을 붙여서 "이진법 일 일 영 영"이라고 읽으면 더 좋고요. 물론 천의 자리, 백의 자리 이런 표현도 사용하지 않아요.

이진법: 0, 1의 두 숫자를 이용하여 숫자를 표기하는 방법
한 자리 올라갈 때마다 숫자가 2배
숫자의 오른쪽 아래에 (2)라고 써서 구별
단위 없이 숫자만 읽음

이진법의 전개식

십진법으로 표시된 1100라는 수가 있다고 해보죠. 십진법의 전개식으로 나타내보면 1100 = 1 × 10³ + 1 × 10² 으로 쓸 수 있어요.

한 자리가 올라갈 때마다 10배가 되기때문에 10의 거듭제곱을 이용해서 나타낸 거에요. 이진법은 한 자리 올라갈 때마다 2배씩 되니까 2의 거듭제곱으로 나타내는 거죠.

1100₍₂₎ = 1 × 2³ + 1 × 2²

위 처럼 이진법의 수를 2의 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식을 이진법의 전개식이라고 해요.

1010₍₂₎를 이진법의 전개식으로 나타내 볼까요? 식으로 써보면 1010₍₂₎ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 × 1이 되겠죠.

이진법의 전개식 만드는 다른 방법을 하나 추가하자면요. 1 뒤에는 010이라는 숫자가 3개 있어요. 이 숫자 3을 1에 곱해지는 2의 지수로 쓰는 거에요. 그래서 1 × 2³가 되는 거죠. 0 뒤에는 10이라는 숫자 2개가 있죠? 2를 지수로 써서 0 × 2²가 되고요. 1뒤에는 0이라는 숫자 하나만 있으니까 1 × 2¹이 되는 거에요. 마지막 0뒤에는 숫자가 없으니까 그냥 1만 곱해요.

그리고 십진법의 전개식에서와 마찬가지로 숫자가 0이면 생략해요.
1010₍₂₎ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 × 1
          = 1 × 2³ + 1 × 2

이진법의 전개식: 이진법의 수를 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식
자리의 숫자가 0이면 전개식에서 생략

다음 식을 이진법의 전개식으로 나타내어라.
(1) 1001₍₂₎       (2) 11001₍₂₎

(1) 1001₍₂₎에서 첫 번째 자리 1 뒤에는 숫자가 3개 있으니까 1 × 2³, 두 번째, 세 번째 숫자는 0이니까 생략하고요. 제일 마지막은 1 × 1이죠.

정리해보면, 1001₍₂₎ = 1 × 2³ + 1 × 1

(2)번 11001₍₂₎ = 1 × 2 ⁴ + 1 × 2³ + 1 × 1

다음 이진법의 전개식을 이진법으로 나타내어라.
(1) 1 × 2² + 1 × 2 + 1 × 1
(2) 1 × 2⁴ + 1 × 2² + 1 × 1

이진법의 전개식을 이진법으로 나타낼 때 제일 먼저 할 일은 몇 자리 수인지 찾는 거에요. 2의 거듭제곱에서 지수가 가장 큰 것보다 한 자리 많게 하면 돼요. 그 다음에는 × 2^□ 앞에 있는 숫자들을 각 자리에 맞게 숫자를 쓰는 거지요.

(1)에서 2의 지수가 가장 큰 건 2²이에요. 지수가 2이니까 이 숫자는 세 자리 숫자인 거죠. 1, 1, 1인데, 각 자리에 맞게 쓰면 111₍₂₎네요.

(2)에서 2의 지수가 가장 큰 건 2⁴이니까 이 숫자는 다섯 자리 숫자에요. 다섯자리 숫자인데, 1, 1, 1의 세 숫자밖에 없어요. 자리 찾기를 잘 해야겠군요. 첫 번째 1은 2⁴에서 뒤에서 다섯 번째 자리의 숫자고, 두 번째 1은 2²에서 뒤에서 세 번째 자리 숫자, 마지막 1은 일의 자리 숫자네요. 나머지 뒤에서 두 번째, 네 번째 숫자가 없는 건 0이라서 생략한 거라는 걸 알 수 있어요.

정리해보면 10101₍₂₎가 되는 거죠.

이제부터는 진법에 대해서 공부할 거에요. 진법은 숫자를 표기하는 방법이에요. 숫자 쓸 줄 모르는 사람은 없으니 이미 절반은 먹고 들어가는 거에요.

거기다 이 글에서 공부할 십진법은 용어만 새로울 뿐이고 내용은 이미 다 알고 있는 거라서 걱정할 필요없어요. 십진법의 전개식이라고 하는 것도 새로운 표현 방법이긴 하지만 초등학교에서 많이 연습했던 것 중의 하나에요.

새로은 내용을 배운다기 보다는 우리가 잘 알고 잘 쓰고 있던 것들의 몰랐던 이름을 배우는 과정이라고 생각하면 될 거에요.

그럼 시작하지요.

십진법

십진법은 제일 앞 글자 "십"이 의미하는 것처럼 숫자 10개를 가지고 표기하는 거에요. 사용하는 숫자가 10개라고 하면 1 ~ 10까지를 생각하기 쉬운데, 10은 1과 0을 섞어서 만든 숫자에요. 십진법에서 사용하는 숫자는 0 ~ 9까지에요.

1234 모르는 사람 있어요? 일천 이백 삼십 사죠? 지금 우리가 사용하고 있는 숫자 체계가 바로 십진법이에요. 십진법이라는 용어를 처음 들어본 것일 뿐 그게 뭔지는 이미 다 알고 있는거에요.

일의 자리, 십의 자리, 백의 자리... 가 있는데, 한 자리가 올라갈 때마다 숫자는 어떻게 되나요? 바로 뒷자리의 10배가 되죠? 십의 자리는 일의 자리의 10배, 백의 자리는 십의 자리의 10개, 천의 자리는 백의 자리의 10배처럼요. 이처럼 십진법은 자리가 하나 올라가면 숫자도 10배 되는 표기법이에요.

십진법: 0 ~ 9까지의 숫자를 이용하여 숫자를 표기하는 방법
한 자리 올라갈 때마다 숫자가 10배
지금 우리가 사용하고 있는 숫자 표시법

십진법의 전개식

1234라는 수가 있다고 해보죠. 여기서 1은 천의 자리, 2는 백의 자리, 3은 십의 자리, 4는 일의 자리 숫자에요.

1234 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1로 나타낼 수 있죠? 이걸 거듭제곱으로 나타내보죠.
1234 = 1 × 10³ + 2 × 10² + 3 × 10 + 4 × 1

위 처럼 십진법의 수를 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식을 십진법의 전개식이라고 해요.

2013를 십진법의 전개식으로 나타내 볼까요? 천의 자리는 2, 백의 자리는 0, 십의 자리는 1, 일의 자리가 3네요. 식으로 써보면 2013 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10 + 3 × 1이 되겠죠.

십진법의 전개식 만드는 다른 방법을 하나 추가하자면요. 2 뒤에는 013이라는 숫자가 3개 있어요. 이 숫자 3을 2에 곱해지는 10의 지수로 쓰는 거에요. 그래서 2 × 10³가 되는 거죠. 0 뒤에는 13이라는 숫자 2개가 있죠? 2를 지수로 써서 0 × 10²가 되고요. 1뒤에는 3이라는 숫자 하나만 있으니까 1 × 10¹이 되는 거에요. 마지막 3뒤에는 숫자가 없으니까 그냥 1만 곱해요.

그리고 한 가지 2013 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10 + 3 × 1에서 0 × 10²은 0이잖아요. 그래서 생략해도 괜찮아요.
2013 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10 + 3 × 1
       = 2 × 10³ + 1 × 10 + 3 × 1

십진법의 전개식: 십진법의 수를 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식
자리의 숫자가 0이면 전개식에서 생략

다음 식을 십진법의 전개식으로 나타내어라.
(1) 2580       (2) 53138

(1) 2580에서 첫 번째 자리 2 뒤에는 숫자가 3개 있으니까 2 × 10³, 두 번째 5 뒤에는 숫자가 2개 있으니까 5 × 10², 8 뒤에는 숫자가 1개니까 8 × 10, 자릿수가 0일 때는 전개식에서 생략할 수 있으니까 생략하죠.

다시 정리해보면, 2580 = 2 × 10³ + 5 × 10² + 8 × 10

(2)번 53138 = 5 × 10 ⁴ + 3 × 10³ + 1 × 10² + 3 × 10 + 8 × 1

다음 십진법의 전개식을 십진법으로 나타내어라.
(1) 4 × 10² + 2 × 10 + 5 × 1
(2) 3 × 10⁴ + 5 × 10² + 2 × 1

십진법의 전개식을 십진법으로 나타낼 때 제일 먼저 할 일은 몇 자리 수인지 찾는 거에요. 10의 거듭제곱에서 지수가 가장 큰 것보다 한 자리 많게 하면 돼요. 그 다음에는 × 10^□ 앞에 있는 숫자들을 각 자리에 맞게 숫자를 쓰는 거지요.

(1)에서 10의 지수가 가장 큰 건 10²이에요. 지수가 2이니까 이 숫자는 세 자리 숫자인 거죠. 4, 2, 5인데, 각 자리에 맞게 쓰면 425네요.

(2)에서 10의 지수가 가장 큰 건 10⁴이니까 이 숫자는 다섯 자리 숫자에요. 다섯자리 숫자인데, 3, 5, 2의 세 숫자밖에 없어요. 자리 찾기를 잘 해야겠군요. 3은 10⁴에서 만의 자리 숫자고, 5는 10²에서 백의 자리 숫자, 2는 일의 자리 숫자네요. 나머지 천의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 없는 건 0이라서 생략한 거라는 걸 알 수 있어요.

정리해보면 30502가 되는 거죠.